Ecuación diferencial lineal

En matemáticas , una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial que es lineal en la función desconocida y sus derivadas, por lo que se puede escribir en la forma $${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}$$ donde a ₀ ( x ) , ..., a _n ( x ) y b ( x ) son funciones diferenciables arbitrarias que no necesitan ser lineales, e y ′, ..., y ^{( n )} son las derivadas sucesivas de una función desconocida y de la variable x .

Dicha ecuación es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Una ecuación diferencial lineal también puede ser una ecuación diferencial parcial lineal (EDP), si la función desconocida depende de varias variables y las derivadas que aparecen en la ecuación son derivadas parciales .

Una ecuación diferencial lineal o un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes constantes en las ecuaciones homogéneas asociadas puede resolverse mediante cuadratura , lo que significa que las soluciones pueden expresarse en términos de integrales . Esto también se aplica a una ecuación lineal de primer orden con coeficientes no constantes. En general, una ecuación de segundo orden o superior con coeficientes no constantes no puede resolverse mediante cuadratura. Para ecuaciones de segundo orden, el algoritmo de Kovacic permite determinar si existen soluciones en términos de integrales y calcularlas, en caso afirmativo.

Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes polinómicos se denominan funciones holonómicas . Esta clase de funciones es estable bajo sumas, productos, diferenciación e integración , y contiene muchas funciones usuales y especiales , como la exponencial , el logaritmo , el seno , el coseno , las funciones trigonométricas inversas , la función de error , las funciones de Bessel y las funciones hipergeométricas . Su representación mediante la ecuación diferencial que las define y las condiciones iniciales permite realizar algorítmicamente (sobre estas funciones) la mayoría de las operaciones del cálculo , como el cálculo de antiderivadas , límites , desarrollo asintótico y evaluación numérica con cualquier precisión, con una cota de error certificada.

El orden más alto de derivación que aparece en una ecuación diferencial (lineal) es el orden de la ecuación. El término b ( x ) , que no depende de la función desconocida ni de sus derivadas, a veces se denomina término constante de la ecuación (por analogía con las ecuaciones algebraicas ), incluso cuando este término es una función no constante. Si el término constante es la función cero , entonces se dice que la ecuación diferencial es homogénea , ya que es un polinomio homogéneo en la función desconocida y sus derivadas. La ecuación obtenida al reemplazar, en una ecuación diferencial lineal, el término constante por la función cero es laecuación homogénea asociada . Una ecuación diferencial tienecoeficientes constantessi solofunciones constantescomo coeficientes en la ecuación homogénea asociada.

ALa solución de una ecuación diferencial es una función que satisface dicha ecuación. Las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea forman unespacio vectorial. En el caso ordinario, este espacio vectorial tiene una dimensión finita, igual al orden de la ecuación. Todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal se obtienen sumando a una solución particular cualquier solución de la ecuación homogénea asociada.

A basic differential operator of order i is a mapping that maps any differentiable function to its ith derivative, or, in the case of several variables, to one of its partial derivatives of order i. It is commonly denoted $${\displaystyle {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}}$$ in the case of univariate functions, and $${\displaystyle {\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}}$$ in the case of functions of n variables. The basic differential operators include the derivative of order 0, which is the identity mapping.

A linear differential operator (abbreviated, in this article, as linear operator or, simply, operator) is a linear combination of basic differential operators, with differentiable functions as coefficients. In the univariate case, a linear operator has thus the form^[1]$${\displaystyle a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},}$$ where a₀(x), ..., a_n(x) are differentiable functions, and the nonnegative integer n is the order of the operator (if a_n(x) is not the zero function).

Let L be a linear differential operator. The application of L to a function f is usually denoted Lf or Lf(X), if one needs to specify the variable (this must not be confused with a multiplication). A linear differential operator is a linear operator, since it maps sums to sums and the product by a scalar to the product by the same scalar.

As the sum of two linear operators is a linear operator, as well as the product (on the left) of a linear operator by a differentiable function, the linear differential operators form a vector space over the real numbers or the complex numbers (depending on the nature of the functions that are considered). They form also a free module over the ring of differentiable functions.

The language of operators allows a compact writing for differentiable equations: if $${\displaystyle L=a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},}$$ is a linear differential operator, then the equation $${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)}$$ may be rewritten $${\displaystyle Ly=b(x).}$$

Puede haber varias variantes de esta notación; en particular, la variable de diferenciación puede aparecer explícitamente o no en y y en el lado derecho de la ecuación, como Ly ( x ) = b ( x ) o Ly = b .

El núcleo de un operador diferencial lineal es su núcleo como una aplicación lineal, es decir, el espacio vectorial de las soluciones de la ecuación diferencial (homogénea) Ly = 0 .

En el caso de un operador diferencial ordinario de orden n , el teorema de existencia de Carathéodory implica que, bajo condiciones muy suaves, el núcleo de L es un espacio vectorial de dimensión n , y que las soluciones de la ecuación Ly ( x ) = b ( x ) tienen la forma $${\displaystyle S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+\cdots +c_{n}S_{n}(x),}$$ donde c ₁ , ..., c _n son números arbitrarios. Típicamente, las hipótesis del teorema de Carathéodory se satisfacen en un intervalo I , si las funciones b , a ₀ , ..., a _n son continuas en I , y hay un número real positivo k tal que | a _n ( x ) | > k para todo x en I .

Una ecuación diferencial lineal homogénea tiene coeficientes constantes si tiene la forma $${\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0}$$ donde a₁ _, ..., aₙ son números (reales o complejos). En otras palabras, tiene coeficientes constantes si se define mediante un operador lineal con coeficientes constantes _.

El estudio de estas ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se remonta a Leonhard Euler , quien introdujo la función exponencial.${\displaystyle e^{x}}$, que es la solución única de la ecuación${\displaystyle f'=f}$, de tal manera que${\displaystyle f(0)=1}$. De ello se deduce que la n -ésima derivada de${\displaystyle e^{cx}}$es${\displaystyle c^{n}e^{cx}}$y esto permite resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con bastante facilidad.

Dejar $${\displaystyle a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0}$$ sea ​​una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes (es decir, a ₀ , ..., a _n son números reales o complejos).

Buscar soluciones de esta ecuación que tengan la forma e ^αx es equivalente a buscar las constantes α tales que $${\displaystyle a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.}$$ Al factorizar e ^αx (que nunca es cero), se demuestra que α debe ser una raíz del polinomio característico.$${\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}}$$ de la ecuación diferencial, que es el lado izquierdo de la ecuación característica.$${\displaystyle a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.}$$

Cuando estas raíces son todas distintas , se obtienen n soluciones distintas que no necesariamente son reales, incluso si los coeficientes de la ecuación lo son. Se puede demostrar que estas soluciones son linealmente independientes considerando el determinante de Vandermonde de sus valores en x = 0, ..., n – 1. Juntas, forman una base del espacio vectorial de soluciones de la ecuación diferencial (es decir, el núcleo del operador diferencial).

En el caso de que el polinomio característico tenga solo raíces simples , lo anterior proporciona una base completa del espacio vectorial de soluciones. En el caso de raíces múltiples , se necesitan más soluciones linealmente independientes para tener una base. Estas tienen la forma $${\displaystyle x^{k}e^{\alpha x},}$$ donde k es un entero no negativo, α es una raíz del polinomio característico de multiplicidad m , y k < m . Para demostrar que estas funciones son soluciones, se puede observar que si α es una raíz del polinomio característico de multiplicidad m , el polinomio característico se puede factorizar como P ( t )( t − α ) ^m . Por lo tanto, aplicar el operador diferencial de la ecuación es equivalente a aplicar primero m veces el operador.${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$y luego el operador que tiene a P como polinomio característico. Por el teorema del desplazamiento exponencial , $${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},}$$

y así se obtiene cero después de k + 1 aplicación de${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$.

Como, según el teorema fundamental del álgebra , la suma de las multiplicidades de las raíces de un polinomio es igual al grado del polinomio, el número de soluciones anteriores es igual al orden de la ecuación diferencial, y estas soluciones forman una base del espacio vectorial de las soluciones.

En el caso común donde los coeficientes de la ecuación son reales, generalmente es más conveniente tener una base de soluciones que consista en funciones de valor real . Dicha base se puede obtener a partir de la base anterior observando que, si a + ib es una raíz del polinomio característico, entonces a – ib también es una raíz, de la misma multiplicidad. Así, se obtiene una base real utilizando la fórmula de Euler y reemplazando${\displaystyle x^{k}e^{(a+ib)x}}$y${\displaystyle x^{k}e^{(a-ib)x}}$por${\displaystyle x^{k}e^{ax}\cos(bx)}$y${\displaystyle x^{k}e^{ax}\sin(bx)}$.

Se puede escribir una ecuación no homogénea de orden n con coeficientes constantes.$${\displaystyle y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),}$$ donde a ₁ , ..., a _n son números reales o complejos, f es una función dada de x , e y es la función desconocida (por simplicidad, " ( x ) " se omitirá en lo que sigue).

Existen varios métodos para resolver dicha ecuación. El mejor método depende de la naturaleza de la función f que hace que la ecuación no sea homogénea. Si f es una combinación lineal de funciones exponenciales y sinusoidales, entonces se puede usar la fórmula de respuesta exponencial . Si, de forma más general, f es una combinación lineal de funciones de la forma x ⁿ e ^ax , x ⁿ cos( ax ) , y x ⁿ sin( ax ) , donde n es un entero no negativo y a una constante (que no tiene por qué ser la misma en cada término), entonces se puede usar el método de coeficientes indeterminados . Aún más general, el método del aniquilador se aplica cuando f satisface una ecuación diferencial lineal homogénea, típicamente, una función holonómica .

El método más general es la variación de constantes , que es el que se presenta aquí.

La solución general de la ecuación homogénea asociada $${\displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0}$$ es $${\displaystyle y=u_{1}y_{1}+\cdots +u_{n}y_{n},}$$ donde ( y₁ _{, ...} , yₙ ) es una base del espacio vectorial de las soluciones y u₁ _, ..., uₙ son constantes arbitrarias. El método de variación de constantes toma su nombre de la siguiente idea. En lugar de considerar u₁ _, ..., uₙ _como constantes, se pueden considerar como funciones desconocidas que deben determinarse para que y _sea una solución de la ecuación no homogénea. Para ello, se añaden las restricciones $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}\\0&=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}\\&\;\;\vdots \\0&=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)},\end{aligned}}}$$ lo cual implica (por regla del producto e inducción ) $${\displaystyle y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}}$$ para i = 1, ..., n – 1 y $${\displaystyle y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$$

Sustituyendo en la ecuación original y y sus derivadas por estas expresiones, y utilizando el hecho de que y ₁ , ..., y _n son soluciones de la ecuación homogénea original, se obtiene $${\displaystyle f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$$

Esta ecuación y las anteriores con 0 como lado izquierdo forman un sistema de n ecuaciones lineales en u ′ ₁ , ..., u ′ _n cuyos coeficientes son funciones conocidas ( f , los y _i , y sus derivadas ). Este sistema puede resolverse mediante cualquier método de álgebra lineal . El cálculo de las antiderivadas da u ₁ , ..., u _n , y luego y = u ₁ y ₁ + ⋯ + u _n y _n .

Dado que las antiderivadas se definen salvo la adición de una constante, se observa nuevamente que la solución general de la ecuación no homogénea es la suma de una solución arbitraria y la solución general de la ecuación homogénea asociada.

La forma general de una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden 1, después de dividir el coeficiente de y ′( x ) , es: $${\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x).}$$

Si la ecuación es homogénea, es decir g ( x ) = 0 , se puede reescribir e integrar: $${\displaystyle {\frac {y'}{y}}=f,\qquad \log y=k+F,}$$ donde k es una constante de integración arbitraria y${\displaystyle F=\textstyle \int f\,dx}$es cualquier antiderivada de f . Por lo tanto, la solución general de la ecuación homogénea es $${\displaystyle y=ce^{F},}$$ donde c = e ^k es una constante arbitraria.

Para la ecuación no homogénea general, es útil multiplicar ambos lados de la ecuación por el recíproco e ^{− F} de una solución de la ecuación homogénea. ^{[ 2 ]} Esto da como resultado $${\displaystyle y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.}$$ Como​${\displaystyle -fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),}$La regla del producto permitereescribir la ecuación como $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(ye^{-F}\right)=ge^{-F}.}$$ Por lo tanto, la solución general es $${\displaystyle y=ce^{F}+e^{F}\int ge^{-F}dx,}$$ donde c es una constante de integración y F es cualquier antiderivada de f (cambiar la antiderivada equivale a cambiar la constante de integración).

Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales consta de varias ecuaciones diferenciales lineales que involucran varias funciones desconocidas. En general, el estudio se limita a sistemas tales que el número de funciones desconocidas es igual al número de ecuaciones.

Una ecuación diferencial ordinaria lineal arbitraria y un sistema de tales ecuaciones se pueden convertir en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden agregando variables para todas las derivadas excepto las de orden más alto. Es decir, si${\displaystyle y',y'',\ldots ,y^{(k)}}$Si aparecen en una ecuación, se pueden reemplazar por nuevas funciones desconocidas .${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$que deben satisfacer las ecuaciones${\displaystyle y'=y_{1}}$y​​${\displaystyle y_{i}'=y_{i+1},}$para i = 1, ..., k – 1 .

Un sistema lineal de primer orden, que tiene n funciones desconocidas y n ecuaciones diferenciales, normalmente puede resolverse para las derivadas de las funciones desconocidas. Si no es así, se trata de un sistema diferencial-algebraico , y esta es una teoría diferente. Por lo tanto, los sistemas que se consideran aquí tienen la forma $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\[1ex]&\;\;\vdots \\[1ex]y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}}$$ donde​${\displaystyle b_{n}}$y el​${\displaystyle a_{i,j}}$son funciones de x . En notación matricial, este sistema puede escribirse (omitiendo " ( x ) ") $${\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} +\mathbf {b} .}$$

El método de resolución es similar al de una ecuación diferencial lineal de primer orden, pero con complicaciones derivadas de la no conmutatividad de la multiplicación de matrices.

Dejar $${\displaystyle \mathbf {u} '=A\mathbf {u} .}$$ Sea la ecuación homogénea asociada a la ecuación matricial anterior. Sus soluciones forman un espacio vectorial de dimensión n y, por lo tanto, son las columnas de una matriz cuadrada de funciones .${\displaystyle U(x)}$⁠ , cuyo determinante no es la función cero. Si n = 1 , o A es una matriz de constantes, o, más generalmente, si A conmuta con su antiderivada ⁠${\displaystyle \textstyle B=\int Adx}$⁠ , entonces se puede elegir U igual a la exponencial de B . De hecho, en estos casos, se tiene $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp(B)=A\exp(B).}$$ En el caso general, no existe una solución analítica para la ecuación homogénea, y es necesario utilizar un método numérico o un método de aproximación como la expansión de Magnus .

Conociendo la matriz U , la solución general de la ecuación no homogénea es $${\displaystyle \mathbf {y} (x)=U(x)\mathbf {y_{0}} +U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf {b} (x)\,dx,}$$ donde la matriz columna${\displaystyle \mathbf {y_{0}} }$es una constante de integración arbitraria .

Si las condiciones iniciales se dan como $${\displaystyle \mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0},}$$ La solución que satisface estas condiciones iniciales es $${\displaystyle \mathbf {y} (x)=U(x)U^{-1}(x_{0})\mathbf {y_{0}} +U(x)\int _{x_{0}}^{x}U^{-1}(t)\mathbf {b} (t)\,dt.}$$

Una ecuación lineal ordinaria de primer orden con coeficientes variables puede resolverse mediante cuadratura , lo que significa que las soluciones pueden expresarse en términos de integrales . Esto no ocurre para ecuaciones de segundo orden o superior. Este es el resultado principal de la teoría de Picard-Vessiot , iniciada por Émile Picard y Ernest Vessiot , cuyos desarrollos recientes se conocen como teoría diferencial de Galois .

La imposibilidad de resolver mediante cuadratura puede compararse con el teorema de Abel-Ruffini , que establece que una ecuación algebraica de grado al menos cinco no puede, en general, resolverse mediante radicales. Esta analogía se extiende a los métodos de demostración y motiva la denominación de teoría de Galois diferencial .

De forma similar al caso algebraico, la teoría permite determinar qué ecuaciones pueden resolverse mediante cuadratura y, de ser posible, resolverlas. Sin embargo, para ambas teorías, los cálculos necesarios son extremadamente difíciles, incluso con los ordenadores más potentes.

Sin embargo, el caso de orden dos con coeficientes racionales ha sido completamente resuelto por el algoritmo de Kovacic .

Una función holonómica , también llamada función D-finita , es una función que es solución de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes polinómicos.

La mayoría de las funciones que se consideran comúnmente en matemáticas son holonómicas o cocientes de funciones holonómicas. De hecho, las funciones holonómicas incluyen polinomios , funciones algebraicas , logaritmos , funciones exponenciales , senos , cosenos , senos hiperbólicos , cosenos hiperbólicos , funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas , y muchas funciones especiales como las funciones de Bessel y las funciones hipergeométricas .

Las funciones holonómicas poseen varias propiedades de cierre ; en particular, las sumas, productos, derivadas e integrales de funciones holonómicas son holonómicas. Además, estas propiedades de cierre son efectivas, en el sentido de que existen algoritmos para calcular la ecuación diferencial del resultado de cualquiera de estas operaciones, conociendo las ecuaciones diferenciales de entrada. ^{[ 3 ]}

La utilidad del concepto de funciones holonómicas resulta del teorema de Zeilberger, que se presenta a continuación. ^{[ 3 ]}

Una sucesión holonómica es una secuencia de números que puede generarse mediante una relación de recurrencia con coeficientes polinómicos. Los coeficientes de la serie de Taylor en un punto de una función holonómica forman una sucesión holonómica. A la inversa, si la sucesión de coeficientes de una serie de potencias es holonómica, entonces la serie define una función holonómica (incluso si el radio de convergencia es cero). Existen algoritmos eficientes para ambas conversiones, es decir, para calcular la relación de recurrencia a partir de la ecuación diferencial, y viceversa . ^{[ 3 ]}

De ello se deduce que, si se representan (en un ordenador) las funciones holonómicas mediante sus ecuaciones diferenciales definitorias y condiciones iniciales, la mayoría de las operaciones de cálculo se pueden realizar automáticamente sobre estas funciones, como la derivada , la integral indefinida y definida , el cálculo rápido de series de Taylor (gracias a la relación de recurrencia en sus coeficientes), la evaluación con alta precisión con cota certificada del error de aproximación , límites , localización de singularidades , comportamiento asintótico en el infinito y cerca de singularidades, prueba de identidades, etc. ^{[ 4 ]}

• Hipoteca con amortización continua
• transformada de Fourier
• Transformación de Laplace
• Ecuación de diferencias lineales
• Variación de parámetros

• Birkhoff, Garrett y Rota, Gian-Carlo (1978), Ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
• Gershenfeld, Neil (1999), La naturaleza del modelado matemático , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
• Robinson, James C. (2004), Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

• https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
• Diccionario dinámico de funciones matemáticas archivado el 6 de julio de 2010 en Wayback Machine . Estudio automático e interactivo de numerosas funciones holonómicas.