Sistema dinámico lineal

Los sistemas dinámicos lineales son aquellos cuyas funciones de evolución son lineales . ^{[ 1 ]} Si bien los sistemas dinámicos, en general, no tienen soluciones analíticas , los sistemas dinámicos lineales pueden resolverse de forma exacta y poseen un amplio conjunto de propiedades matemáticas. Los sistemas lineales también pueden utilizarse para comprender el comportamiento cualitativo de sistemas dinámicos generales, calculando los puntos de equilibrio del sistema y aproximándolo como un sistema lineal alrededor de cada uno de ellos.

En un sistema dinámico lineal, la variación de un vector de estado (un${\displaystyle N}$vector de -dimensiones denotado${\displaystyle \mathbf {x} }$) es igual a una matriz constante (denotada${\displaystyle \mathbf {A} }$) multiplicado por ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Esta variación puede adoptar dos formas: ya sea como un flujo , en el que${\displaystyle \mathbf {x} }$varía continuamente con el tiempo

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)}$

o como una asignación, en la que ${\displaystyle \mathbf {x} }$varía en pasos discretos

${\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \mathbf {x} _{m}}$

Estas ecuaciones son lineales en el siguiente sentido: si ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$y${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ Si son dos soluciones válidas, entonces también lo es cualquier combinación lineal de las dos soluciones, por ejemplo, ${\displaystyle \mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)}$ dónde${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son dos escalares cualesquiera . La matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$ no tiene por qué ser simétrico .

Los sistemas dinámicos lineales pueden resolverse de forma exacta, a diferencia de la mayoría de los no lineales. En ocasiones, un sistema no lineal puede resolverse exactamente mediante un cambio de variables a un sistema lineal. Además, las soluciones de (casi) cualquier sistema no lineal pueden aproximarse bien mediante un sistema lineal equivalente cerca de sus puntos fijos . Por lo tanto, comprender los sistemas lineales y sus soluciones es un primer paso crucial para comprender los sistemas no lineales más complejos.

Si el vector inicial${\displaystyle \mathbf {x} _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (t=0)}$ está alineado con un vector propio derecho${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$de la matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$La dinámica es simple.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}}$

dónde${\displaystyle \lambda _{k}}$es el valor propio correspondiente ; la solución de esta ecuación es

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

como puede confirmarse mediante sustitución.

Si${\displaystyle \mathbf {A} }$es diagonalizable , entonces cualquier vector en un${\displaystyle N}$El espacio de dimensión puede representarse mediante una combinación lineal de los autovectores derecho e izquierdo (denotado${\displaystyle \mathbf {l} _{k}}$) de la matriz${\displaystyle \mathbf {A} }$.

${\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}}$

Por lo tanto, la solución general para${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$es una combinación lineal de las soluciones individuales para los autovectores derechos

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

Consideraciones similares se aplican a las aplicaciones discretas.

Las raíces del polinomio característico det( A - λ I ) son los valores propios de A . El signo y la relación de estas raíces,${\displaystyle \lambda _{n}}$, entre sí pueden utilizarse para determinar la estabilidad del sistema dinámico.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).}$

Para un sistema bidimensional, el polinomio característico tiene la forma${\displaystyle \lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0}$dónde${\displaystyle \tau }$es el rastro y${\displaystyle \Delta }$es el determinante de A. Por lo tanto, las dos raíces tienen la forma:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}$,

y${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$y${\displaystyle \tau =\lambda _ {1}+\lambda _ {2}}$. Por lo tanto, si${\displaystyle \Delta <0}$entonces los valores propios tienen signo opuesto y el punto fijo es un punto de silla. Si${\displaystyle \Delta >0}$entonces los autovalores son del mismo signo. Por lo tanto, si${\displaystyle \tau >0}$ambos son positivos y el punto es inestable, y si${\displaystyle \tau <0}$Entonces ambos son negativos y el punto es estable. El discriminante indicará si el punto es nodal o espiral (es decir, si los valores propios son reales o complejos).

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