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Articulo de referencia

Tramo lineal

El plano rayado es el intervalo lineal de u y v en R 2 y R 3 , aquí mostrado en perspectiva . En matemáticas , el intervalo lineal (también llamado envolvente lineal [ 1 ] o sim...

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El plano rayado es el intervalo lineal de u y v en R 2 y R 3 , aquí mostrado en perspectiva .

En matemáticas , el intervalo lineal (también llamado envolvente lineal [ 1 ] o simplemente intervalo ) de un conjuntoS{\displaystyle S}de elementos de un espacio vectorialV{\displaystyle V}es el subespacio lineal más pequeño deV{\displaystyle V}que contieneS.{\displaystyle S.}Es el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de los elementos de S , [ 2 ] y la intersección de todos los subespacios lineales que contienenS.{\displaystyle S.}A menudo se denota como span( S ) [ 3 ] o⟨S⟩.{\displaystyle \langle S\rangle .}

Por ejemplo, en geometría , dos vectores linealmente independientes abarcan un plano .

Para expresar que un espacio vectorial V es un espacio vectorial generado linealmente por un subconjunto S , se suele utilizar una de las siguientes frases: S genera V ; S es un conjunto generador de V ; V es generado por S ; S es un conjunto generador de V.

Los tramos se pueden generalizar a muchas estructuras matemáticas , en cuyo caso, la subestructura más pequeña que contieneS{\displaystyle S}Generalmente se denomina subestructura generada porS.{\displaystyle S.}

Definición

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K , el espacio generado por un conjunto S de vectores (no necesariamente finito) se define como la intersección W de todos los subespacios de V que contienen a S. Por lo tanto, es el subespacio más pequeño (en términos de inclusión de conjuntos ) que contiene a S. Se le denomina subespacio generado por S o por los vectores de S. Recíprocamente, S se denomina conjunto generador de W , y decimos que S genera W.

De esta definición se deduce que el espacio generado por S es el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos (vectores) de S , y puede definirse como tal. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] Es decir,durar⁡(S)={λ1v1+λ2v2+⋯+λnortevnorte∣norte∈norte,v1,...,vnorte∈S,λ1,...,λnorte∈K}{\displaystyle \operatorname {span} (S)={\biggl \{}\lambda _ {1}\mathbf {v} _ {1}+\lambda _ {2}\mathbf {v} _ {2}+\cdots +\lambda _ {n}\mathbf {v} _ {n}\mid n\in \mathbb {N} ,\;\mathbf {v} _{1},...,\mathbf {v} _{n}\in S,\;\lambda _{1},...,\lambda _{n}\in K{\biggr \}}}

Cuando S está vacío , la única posibilidad es n = 0 y la expresión anterior paradurar⁡(S){\displaystyle \operatorname {span} (S)}se reduce a la suma vacía . [ a ] ​​La convención estándar para la suma vacía implica quedurar(∅)={0},{\displaystyle {\text{span}}(\emptyset )=\{\mathbf {0} \},}una propiedad que es inherente a las demás definiciones. Sin embargo, muchos libros de texto introductorios simplemente incluyen este hecho como parte de la definición.

CuandoS={v1,…,vnorte}{\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}es finito , uno tiene durar⁡(S)={λ1v1+λ2v2+⋯+λnortevnorte∣λ1,...,λnorte∈K}{\displaystyle \operatorname {span} (S)=\{\lambda _ {1}\mathbf {v} _ {1}+\lambda _ {2}\mathbf {v} _ {2}+\cdots +\lambda _ {n}\mathbf {v} _ {n}\mid \lambda _ {1},...,\lambda _ {n}\in K\}}

Ejemplos

El espacio vectorial realR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}tiene {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} como conjunto generador. Este conjunto generador en particular también es una base . Si (−1, 0, 0) se reemplazara por (1, 0, 0), también formaría la base canónica deR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

Otro conjunto generador para el mismo espacio está dado por {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1 ⁄ 2 , 3), (1, 1, 1)}, pero este conjunto no es una base, porque es linealmente dependiente .

El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) } no es un conjunto generador deR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, ya que su espacio generado es el espacio de todos los vectores enR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}cuyo último componente es cero. Ese espacio también está generado por el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, ya que (1, 1, 0) es una combinación lineal de (1, 0, 0) y (0, 1, 0). Por lo tanto, el espacio generado no esR3.{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}Se puede identificar conR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}eliminando el tercer componente igual a cero.

El conjunto vacío es un conjunto generador de {(0, 0, 0)}, ya que el conjunto vacío es un subconjunto de todos los espacios vectoriales posibles enR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}y {(0, 0, 0)} es la intersección de todos estos espacios vectoriales.

El conjunto de monomios x n , donde n es un entero no negativo, abarca el espacio de polinomios .

Teoremas

Equivalencia de definiciones

El conjunto de todas las combinaciones lineales de un subconjunto S de V , un espacio vectorial sobre K , es el subespacio lineal más pequeño de V que contiene a S.

Demostración. Primero demostramos que el espacio generado por S es un subespacio de V. Dado que S es un subconjunto de V , solo necesitamos demostrar la existencia de un vector cero 0 en el espacio generado por S , que el espacio generado por S es cerrado bajo la suma y que el espacio generado por S es cerrado bajo la multiplicación escalar. SeaS={v1,v2,…,vnorte}{\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}, es trivial que el vector cero de V exista en el espacio generado por S , ya que0=0v1+0v2+⋯+0vnorte{\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}}. Sumar dos combinaciones lineales de S también produce una combinación lineal de S :(λ1v1+⋯+λnortevnorte)+(μ1v1+⋯+μnortevnorte)=(λ1+μ1)v1+⋯+(λnorte+μnorte)vnorte{\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n}}, donde todosλi,μi∈K{\displaystyle \lambda _{i},\mu _{i}\in K}y multiplicando una combinación lineal de S por un escalardo∈K{\displaystyle c\in K}producirá otra combinación lineal de S :do(λ1v1+⋯+λnortevnorte)=doλ1v1+⋯+doλnortevnorte{\displaystyle c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}. Por lo tanto, el espacio generado por S es un subespacio de V.
Resulta queS⊆durar⁡S{\displaystyle S\subseteq \operatorname {span} S}, ya que cada v i es una combinación lineal de S (trivialmente). Supongamos que W es un subespacio lineal de V que contiene a S. Dado que W es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar, entonces cada combinación linealλ1v1+⋯+λnortevnorte{\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}debe estar contenido en W. Por lo tanto, el espacio generado por S está contenido en cada subespacio de V que contiene a S , y la intersección de todos esos subespacios, o el subespacio más pequeño de ese tipo, es igual al conjunto de todas las combinaciones lineales de S.

El tamaño del conjunto generador es al menos el tamaño del conjunto linealmente independiente.

Todo conjunto generador S de un espacio vectorial V debe contener al menos tantos elementos como cualquier conjunto de vectores linealmente independientes de V.

Prueba. DejemosS={v1,…,vmetro}{\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}ser un conjunto generador yW={w1,…,wnorte}{\displaystyle W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}}Sea V un conjunto de vectores linealmente independientes . Queremos demostrar quemetro≥norte{\displaystyle m\geq n}.
Dado que S abarca V , entoncesS∪{w1}{\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}También debe abarcar V yw1{\displaystyle \mathbf {w} _{1}}debe ser una combinación lineal de S. Por lo tantoS∪{w1}{\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}es linealmente dependiente, y podemos eliminar un vector de S que sea una combinación lineal de los otros elementos. Este vector no puede ser ninguno de los w i , ya que W es linealmente independiente. El conjunto resultante es{w1,v1,…,vi−1,vi+1,…,vmetro}{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}, que es un conjunto generador de V. Repetimos este paso n veces, donde el conjunto resultante después del p -ésimo paso es la unión de{w1,…,wpag}{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}}y vectores m - p de S.
Se garantiza hasta el n -ésimo paso que siempre habrá algún v i para eliminar de S para cada adjunto de v , y por lo tanto hay al menos tantos v i como w i, es decirmetro≥norte{\displaystyle m\geq n}Para verificar esto, asumimos por contradicción quemetro<norte{\displaystyle m<n}. Luego, en el paso m , tenemos el conjunto{w1,…,wmetro}{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}y podemos adjuntar otro vectorwmetro+1{\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}. Pero, dado que{w1,…,wmetro}{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}es un conjunto generador de V ,wmetro+1{\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}es una combinación lineal de{w1,…,wmetro}{\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}Esto es una contradicción, ya que W es linealmente independiente.

El conjunto generador se puede reducir a una base.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Cualquier conjunto de vectores que genere V puede reducirse a una base para V , descartando vectores si es necesario (es decir, si hay vectores linealmente dependientes en el conjunto). Si se cumple el axioma de elección , esto es cierto sin la suposición de que V tenga dimensión finita. Esto también indica que una base es un conjunto generador mínimo cuando V es de dimensión finita.

Generalizaciones

Generalizando la definición del espacio generado por puntos en el espacio, un subconjunto X del conjunto base de un matroide se denomina conjunto generador si el rango de X es igual al rango de todo el conjunto base [ 7 ].

La definición de espacio vectorial también puede generalizarse a módulos. [ 8 ] [ 9 ] Dado un R -módulo A y una colección de elementos a 1 , ..., a n de A , el submódulo de A generado por a 1 , ..., a n es la suma de módulos cíclicos.Ra1+⋯+Ranorte={∑k=1norterkak|rk∈R}{\displaystyle Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}} que consiste en todas las combinaciones R -lineales de los elementos a i . Al igual que en el caso de los espacios vectoriales, el submódulo de A generado por cualquier subconjunto de A es la intersección de todos los submódulos que contienen ese subconjunto.

Tramo lineal cerrado (análisis funcional)

En análisis funcional , un espacio lineal cerrado generado por un conjunto de vectores es el conjunto cerrado mínimo que contiene el espacio lineal generado por dicho conjunto.

Supongamos que X es un espacio vectorial normado y sea E cualquier subconjunto no vacío de X. El espacio vectorial cerrado generado por E se denota porSp¯(mi){\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}oDurar¯(mi){\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} }}(E)}, es la intersección de todos los subespacios lineales cerrados de X que contienen a E .

Una formulación matemática de esto es

Sp¯(mi)={tú∈incógnita|∀ε>0∃incógnita∈Sp⁡(mi):‖incógnita−tú‖<ε}.{\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.}

El espacio lineal cerrado generado por el conjunto de funciones x n en el intervalo [0, 1], donde n es un entero no negativo, depende de la norma utilizada. Si se utiliza la norma L 2 , el espacio lineal cerrado es el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en dicho intervalo. Si se utiliza la norma máxima , el espacio lineal cerrado será el espacio de funciones continuas en el intervalo. En ambos casos, el espacio lineal cerrado contiene funciones que no son polinomios y, por lo tanto, no pertenecen al propio espacio lineal. Sin embargo, la cardinalidad del conjunto de funciones en el espacio lineal cerrado es la cardinalidad del continuo , que es la misma que la del conjunto de polinomios.

Notas

El espacio vectorial generado por un conjunto es denso en el espacio vectorial cerrado generado por dicho conjunto. Además, como se indica en el lema siguiente, el espacio vectorial cerrado generado por dicho conjunto es, en efecto, la clausura del espacio vectorial generado por el conjunto.

Los espacios lineales cerrados son importantes cuando se trata de subespacios lineales cerrados (que a su vez son muy importantes, véase el lema de Riesz ).

Un lema útil

Sea X un espacio normado y sea E cualquier subconjunto no vacío de X. Entonces

  1. Sp¯(mi){\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}es un subespacio lineal cerrado de X que contiene a E ,
  2. Sp¯(mi)=Sp⁡(mi)¯{\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}}, es decir.Sp¯(mi){\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}es el cierre deSp⁡(mi){\displaystyle \operatorname {Sp} (E)},
  3. mi⊥=(Sp⁡(mi))⊥=(Sp⁡(mi)¯)⊥.{\displaystyle E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.}
  4. (mi⊥)⊥=((Sp⁡(mi))⊥)⊥=Sp⁡(mi)¯.{\displaystyle (E^{\perp })^{\perp }=((\operatorname {Sp} (E))^{\perp })^{\perp }={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}.}

(Por lo tanto, la forma habitual de encontrar el segmento lineal cerrado es encontrar primero el segmento lineal y luego su cierre).

Véase también

Notas a pie de página

  1. ↑ Esto es lógicamente válido ya que cuando n = 0 , las condiciones para los vectores y constantes están vacías y, por lo tanto, se satisfacen trivialmente .

Citas

  1. ↑ Enciclopedia de Matemáticas (2020) . Envolvente lineal.
  2. ↑ Axler (2015) pág. 29, § 2.7
  3. ↑ Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8
  4. ↑ Hefferon (2020) pág. 100, cap. 2, Definición 2.13
  5. ↑ Axler (2015) págs. 29-30, §§ 2.5, 2.8
  6. ↑ Roman (2005) págs. 41-42
  7. ↑ Oxley (2011) , pág. 28.
  8. ↑ Roman (2005) pág. 96, cap. 4
  9. ↑ Mac Lane y Birkhoff (1999) pág. 193, cap. 6

Fuentes

Libros de texto

Web

  • Combinaciones lineales y generación de vectores: Comprensión de las combinaciones lineales y la generación de vectores , khanacademy.org.
  • Sanderson, Grant (6 de agosto de 2016). "Combinaciones lineales, espacio vectorial generado y vectores base" . Esencia del álgebra lineal. Archivado del original el 11 de diciembre de 2021 a través de YouTube .