Sistema lineal

En teoría de sistemas , un sistema lineal es un modelo matemático de un sistema basado en el uso de un operador lineal . Los sistemas lineales suelen presentar características y propiedades mucho más simples que los sistemas no lineales . Como abstracción o idealización matemática, los sistemas lineales tienen importantes aplicaciones en la teoría del control automático , el procesamiento de señales y las telecomunicaciones . Por ejemplo, el medio de propagación para sistemas de comunicación inalámbrica a menudo puede modelarse mediante sistemas lineales.

Definición

{\displaystyle y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)} — Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de aditividad para un sistema SISO determinista de tiempo continuo. El sistema satisface la propiedad de aditividad o es aditivo si y solo si $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$ para siempre $t$ y para todas las entradas $x_{1}(t)$ y $x_{2}(t)$ Haz clic en la imagen para ampliarla.

{\displaystyle y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)} — Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de homogeneidad para un sistema SISO determinista de tiempo continuo. El sistema satisface la propiedad de homogeneidad o es homogéneo si y solo si $y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)$ para siempre $t$ , para toda constante real $a$ y por todas las aportaciones $x_{1}(t)$ Haz clic en la imagen para ampliarla.

{\displaystyle y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)} — Diagrama de bloques que ilustra el principio de superposición para un sistema SISO determinista de tiempo continuo. El sistema satisface el principio de superposición y, por lo tanto, es lineal si y solo si $y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)$ para siempre $t$ , para todas las constantes reales $a_{1}$ y $a_{2}$ y para todas las entradas $x_{1}(t)$ y $x_{2}(t)$ Haz clic en la imagen para ampliarla.

Un sistema determinista general puede describirse mediante un operador, $H$ , que asigna una entrada, $x (t)$ , como función de $t$ a una salida, $y (t)$ , un tipo de descripción de caja negra .

Un sistema es lineal si y solo si satisface el principio de superposición , o equivalentemente las propiedades de aditividad y homogeneidad, sin restricciones (es decir, para todas las entradas, todas las constantes de escala y todo el tiempo). ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

El principio de superposición significa que una combinación lineal de entradas al sistema produce una combinación lineal de las salidas individuales de estado cero (es decir, salidas que establecen las condiciones iniciales a cero) correspondientes a las entradas individuales. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

En un sistema que satisface la propiedad de homogeneidad, escalar la entrada siempre resulta en escalar la respuesta de estado cero por el mismo factor. ^{[ 6 ]} En un sistema que satisface la propiedad de aditividad, sumar dos entradas siempre resulta en sumar las dos respuestas de estado cero correspondientes debidas a las entradas individuales. ^{[ 6 ]}

Matemáticamente, para un sistema de tiempo continuo, dados dos entradas arbitrarias ${\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}$ así como sus respectivas salidas de estado cero ${\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}$ entonces un sistema lineal debe satisfacer $\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$ para cualesquiera valores escalares $α$ y $β$ , para cualesquiera señales de entrada $x 1 (t)$ y $x 2 (t)$ , y para todo tiempo $t$ .

El sistema se define entonces mediante la ecuación $H (x (t)) = y (t)$ , donde $y (t)$ es una función arbitraria del tiempo y $x (t)$ es el estado del sistema. Dados $y (t)$ y $H$ , el sistema se puede resolver para $x (t)$ .

El comportamiento del sistema resultante sometido a una entrada compleja puede describirse como la suma de respuestas a entradas más simples. En los sistemas no lineales, no existe tal relación. Esta propiedad matemática hace que la solución de las ecuaciones de modelado sea más sencilla que en muchos sistemas no lineales. Para los sistemas invariantes en el tiempo, esta es la base de los métodos de respuesta impulsional o de respuesta en frecuencia (véase la teoría de sistemas LTI ), que describen una función de entrada general $x (t)$ en términos de impulsos unitarios o componentes de frecuencia .

Las ecuaciones diferenciales típicas de sistemas lineales invariantes en el tiempo se adaptan bien al análisis mediante la transformada de Laplace en el caso continuo y la transformada Z en el caso discreto (especialmente en implementaciones informáticas).

Otra perspectiva es que las soluciones a los sistemas lineales comprenden un sistema de funciones que actúan como vectores en el sentido geométrico.

Un uso común de los modelos lineales es describir un sistema no lineal mediante linealización . Esto se suele hacer por conveniencia matemática.

La definición anterior de un sistema lineal es aplicable a sistemas SISO (entrada única, salida única). Para sistemas MIMO (entrada múltiple, salida múltiple), los vectores de señal de entrada y salida ( ${\mathbf {x} }_{1}(t)$ , ${\mathbf {x} }_{2}(t)$ , ${\mathbf {y} }_{1}(t)$ , ${\mathbf {y} }_{2}(t)$ ) se consideran en lugar de señales de entrada y salida ( $x_{1}(t)$ , $x_{2}(t)$ , $y_{1}(t)$ , $y_{2}(t)$ .) ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}

Esta definición de sistema lineal es análoga a la definición de ecuación diferencial lineal en cálculo y a la de transformación lineal en álgebra lineal .

Ejemplos

Un oscilador armónico simple obedece la ecuación diferencial: $m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.$

Si $H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),$ Entonces $H$ es un operador lineal. Haciendo $y (t) = 0$ , podemos reescribir la ecuación diferencial como $H (x (t)) = y (t)$ , lo que muestra que un oscilador armónico simple es un sistema lineal.

Otros ejemplos de sistemas lineales incluyen los descritos por $y(t)=k\,x(t)$ , $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ , $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$ y cualquier sistema descrito por ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. ^{[ 4 ]} Sistemas descritos por $y(t)=k$ , $y(t)=k\,x(t)+k_{0}$ , $y(t)=\sin {[x(t)]}$ , $y(t)=\cos {[x(t)]}$ , $y(t)=x^{2}(t)$ , ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$ , $y(t)=|x(t)|$ y un sistema con salida de simetría impar que consta de una región lineal y una región de saturación (constante), son no lineales porque no siempre satisfacen el principio de superposición. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

La gráfica de salida frente a entrada de un sistema lineal no tiene por qué ser una línea recta que pase por el origen. Por ejemplo, consideremos un sistema descrito por $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ (como un condensador de capacitancia constante o un inductor de inductancia constante ). Es lineal porque cumple el principio de superposición. Sin embargo, cuando la entrada es una sinusoide, la salida también lo es, por lo que su gráfica de entrada-salida es una elipse centrada en el origen en lugar de una línea recta que pasa por él.

Además, la salida de un sistema lineal puede contener armónicos (y tener una frecuencia fundamental menor que la entrada) incluso cuando la entrada es una sinusoide. Por ejemplo, considérese un sistema descrito por $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ Es lineal porque satisface el principio de superposición. Sin embargo, cuando la entrada es una sinusoide de la forma $x(t)=\cos {(3t)}$ , utilizando identidades trigonométricas de producto a suma, se puede demostrar fácilmente que la salida es $y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}$ , es decir, la salida no consiste solo en sinusoides de la misma frecuencia que la entrada ( 3 rad/s ), sino también en sinusoides de frecuencias de 2 rad/s y 4 rad/s ; además, tomando el mínimo común múltiplo del período fundamental de las sinusoides de la salida, se puede demostrar que la frecuencia angular fundamental de la salida es de 1 rad/s , que es diferente a la de la entrada.

Respuesta impulsional variable en el tiempo

La respuesta impulsional variable en el tiempo $h (t 2, t 1)$ de un sistema lineal se define como la respuesta del sistema en el instante t = t ₂ a un único impulso aplicado en el instante $t = t 1$ . En otras palabras, si la entrada $x (t)$ a un sistema lineal es $x(t)=\delta (t-t_{1})$ donde $δ(t)$ representa la función delta de Dirac , y la respuesta correspondiente $y (t)$ del sistema es $y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})$ Entonces, la función $h (t 2, t 1)$ es la respuesta impulsional variable en el tiempo del sistema. Dado que el sistema no puede responder antes de que se aplique la entrada, debe cumplirse la siguiente condición de causalidad : $h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}$

La integral de convolución

La salida de cualquier sistema lineal general de tiempo continuo está relacionada con la entrada mediante una integral que puede escribirse sobre un rango doblemente infinito debido a la condición de causalidad: $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'$

Si las propiedades del sistema no dependen del tiempo en que se opera, entonces se dice que es invariante en el tiempo y $h$ es una función solo de la diferencia de tiempo $τ = t - t'$ que es cero para $τ < 0$ (es decir, $t < t'$ ). Al redefinir $h,$ entonces es posible escribir la relación entrada-salida de manera equivalente de cualquiera de las formas, $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(tt')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(tt')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo se caracterizan más comúnmente por la transformada de Laplace de la función de respuesta al impulso, denominada función de transferencia , que es: $H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.$

En las aplicaciones, esta suele ser una función algebraica racional de $s$ . Dado que $h (t)$ es cero para $t$ negativo , la integral puede escribirse igualmente sobre el rango doblemente infinito y, al sustituir $s = iω,$ se obtiene la fórmula para la función de respuesta en frecuencia : $H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt$

Sistemas de tiempo discreto

La salida de cualquier sistema lineal de tiempo discreto está relacionada con la entrada mediante la suma de convolución variable en el tiempo: $y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}$ o equivalentemente para un sistema invariante en el tiempo al redefinir $h$ , $y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}$ dónde $k=n-m$ representa el tiempo de retardo entre el estímulo en el tiempo m y la respuesta en el tiempo n .

Véase también

Referencias

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