ecuación de onda

Un pulso que viaja a través de una cuerda con extremos fijos, modelado mediante la ecuación de onda.

Ondas esféricas provenientes de una fuente puntual.

Una solución a la ecuación de onda 2D

La ecuación de onda es una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que describe ondas o campos de ondas estacionarias, como ondas mecánicas (por ejemplo, ondas de agua , ondas sonoras y ondas sísmicas ) u ondas electromagnéticas (incluidas las ondas de luz ). Surge en campos como la acústica , el electromagnetismo y la dinámica de fluidos .

Este artículo se centra en las ondas en la física clásica . La física cuántica utiliza una ecuación de ondas basada en operadores, a menudo como una ecuación de ondas relativista .

Introducción

La ecuación de onda es una ecuación diferencial parcial hiperbólica que describe ondas, incluyendo ondas viajeras y estacionarias ; estas últimas pueden considerarse como superposiciones lineales de ondas que viajan en direcciones opuestas. Este artículo se centra principalmente en la ecuación de onda escalar que describe ondas en escalares mediante funciones escalares. $u=u(x,y,z,t)$ de una variable de tiempo $t$ (una variable que representa el tiempo) y una o más variables espaciales $x,y,z$ (variables que representan una posición en un espacio en discusión). Al mismo tiempo, existen ecuaciones de onda vectoriales que describen ondas en vectores , como ondas para un campo eléctrico, un campo magnético, un potencial vectorial magnético y ondas elásticas . En comparación con las ecuaciones de onda vectoriales, la ecuación de onda escalar puede verse como un caso especial de las ecuaciones de onda vectoriales; en el sistema de coordenadas cartesianas , la ecuación de onda escalar es la ecuación que debe satisfacer cada componente (para cada eje de coordenadas, como el $x$ componente para el eje x ) de una onda vectorial sin fuentes de ondas en el dominio considerado (es decir, espacio y tiempo). Por ejemplo, en el sistema de coordenadas cartesianas, para ${\ Displaystyle (E_ {x}, E_ {y}, E_ {z})}$ como la representación de una onda de campo vectorial eléctrico ${\vec {E}}$ en ausencia de fuentes de ondas, cada componente del eje de coordenadas $E_{i},i=x,y,z,$ debe satisfacer la ecuación de onda escalar. Otras soluciones de la ecuación de onda escalar $u$ son para cantidades físicas en escalares , como la presión en un líquido o gas, o el desplazamiento a lo largo de una dirección específica de partículas de un sólido vibrante alejándose de sus posiciones de reposo (equilibrio).

La ecuación de onda escalar es

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)$

dónde

$c$ es un coeficiente real fijo no negativo que representa la velocidad de propagación de la onda.
$u$ es un campo escalar que representa el desplazamiento o, más generalmente, la cantidad conservada (por ejemplo, presión o densidad ).
$x,y,$ y $z$ son las tres coordenadas espaciales y $t$ siendo la coordenada de tiempo.

La ecuación establece que, en cualquier punto dado, la segunda derivada de $u$ con respecto al tiempo es proporcional a la suma de las segundas derivadas de $u$ con respecto al espacio, siendo la constante de proporcionalidad el cuadrado de la velocidad de la onda.

Utilizando notaciones del cálculo vectorial , la ecuación de onda se puede escribir de forma compacta como $u_{tt}=c^{2}\Delta u,$ o $\Box u=0,$ donde el doble subíndice denota la derivada parcial de segundo orden con respecto al tiempo, $\Delta$ es el operador de Laplace y $\Box$ el operador d'Alembert , definido como: $u_{tt}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\qquad \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}},\qquad \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta .$

La solución a esta ecuación de onda (bidireccional) puede ser bastante compleja. Sin embargo, puede analizarse como una combinación lineal de soluciones simples que son ondas planas sinusoidales con diversas direcciones de propagación y longitudes de onda, pero todas con la misma velocidad de propagación. $c$ Este análisis es posible porque la ecuación de onda es lineal y homogénea, de modo que cualquier múltiplo de una solución también es una solución, y la suma de dos soluciones cualesquiera es, de nuevo, una solución. Esta propiedad se conoce en física como el principio de superposición .

La ecuación de onda por sí sola no especifica una solución física; generalmente se obtiene una solución única planteando el problema con condiciones adicionales, como condiciones iniciales , que prescriben la amplitud y la fase de la onda. Otra clase importante de problemas se presenta en espacios cerrados especificados por condiciones de contorno , para los cuales las soluciones representan ondas estacionarias o armónicos , análogos a los armónicos de los instrumentos musicales.

Ecuación de onda en una dimensión espacial

La ecuación de onda en una dimensión espacial se puede escribir de la siguiente manera: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$ Esta ecuación se describe típicamente como si tuviera una sola dimensión espacial. $x$ porque la única otra variable independiente es el tiempo $t$ .

Derivación

La ecuación de onda en una dimensión espacial puede derivarse en diversos contextos físicos. El ejemplo más conocido es el de una cuerda que vibra en un plano bidimensional, donde cada uno de sus elementos es estirado en direcciones opuestas por la fuerza de tensión . ^{[ 2 ]}

Otro marco físico para la derivación de la ecuación de onda en una dimensión espacial utiliza la ley de Hooke . En la teoría de la elasticidad , la ley de Hooke es una aproximación para ciertos materiales, que establece que la cantidad en que se deforma un cuerpo material (la deformación ) está relacionada linealmente con la fuerza que causa la deformación (la tensión ).

Ley de Hooke

La ecuación de onda en el caso unidimensional se puede derivar de la ley de Hooke de la siguiente manera: imaginemos una matriz de pequeñas masas $m$ interconectados con resortes sin masa de longitud ⁠ $h$ ⁠ . Los resortes tienen una constante elástica de ⁠ $k$ :

Aquí la variable dependiente $u(x)$ mide el desplazamiento horizontal desde el equilibrio de la masa situada en ⁠ $x$ ⁠ , para que $u(x)$ esencialmente mide la magnitud de una perturbación (es decir, deformación) que se propaga en un material elástico. La fuerza resultante ejercida sobre la masa $m$ en la ubicación $x+h$ es: ${\begin{aligned}F_{\text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]-k[u(x+h,t)-u(x,t)].\end{aligned}}$

Al igualar la última ecuación con ${\begin{aligned}F_{\text{Newton}}&=m\,a(t)=m\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t),\end{aligned}}$

la ecuación de movimiento para el peso en la ubicación ⁠ $x+h$ Se obtiene: ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {k}{m}}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)].$ Si la matriz de pesos consta de $N$ pesos espaciados uniformemente a lo largo de la longitud $L=Nh$ de masa total $M=Nm$ y la constante elástica total del conjunto $K=k/N$ ⁠ , podemos escribir la ecuación anterior como ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]}{h^{2}}}.$

Tomar el límite $N\rightarrow \infty ,h\rightarrow 0$ y suponiendo suavidad, uno obtiene ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}},$ lo cual proviene de la definición de una segunda derivada . $KL^{2}/M$ es el cuadrado de la velocidad de propagación en este caso particular.

Pulso de estrés en una barra

En el caso de un pulso de tensión que se propaga longitudinalmente a través de una barra, la barra actúa de forma muy parecida a un número infinito de resortes en serie y puede considerarse como una extensión de la ecuación derivada para la ley de Hooke. Una barra uniforme, es decir, de sección transversal constante, hecha de un material elástico lineal tiene una rigidez $K$ dado por $K={\frac {EA}{L}},$ dónde $A$ es el área de la sección transversal, y $E$ es el módulo de Young del material. La ecuación de onda se convierte en ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {EAL}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$

$AL$ es igual al volumen de la barra y, por lo tanto, ${\frac {AL}{M}}={\frac {1}{\rho }},$ dónde $\rho$ es la densidad del material. La ecuación de onda se reduce a ${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$

Por lo tanto, la velocidad de una onda de tensión en una barra es: ${\sqrt {E/\rho }}$ .

Solución general

Enfoque algebraico

Para la ecuación de onda unidimensional se puede encontrar una solución general relativamente simple. Definiendo nuevas variables ^{[ 3 ]} ${\begin{aligned}\xi &=x-ct,\\\eta &=x+ct\end{aligned}}$ cambia la ecuación de onda en ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}(x,t)=0,$ lo que conduce a la solución general $u(x,t)=F(\xi )+G(\eta )=F(x-ct)+G(x+ct).$

En otras palabras, la solución es la suma de una función que se desplaza hacia la derecha. $F$ y una función de desplazamiento hacia la izquierda $G$ . "Viajar" significa que la forma de estas funciones arbitrarias individuales con respecto a $x$ permanece constante, sin embargo, las funciones se trasladan hacia la izquierda y hacia la derecha con el tiempo a la velocidad $c$ . Esto fue derivado por Jean le Rond d'Alembert . ^{[ 4 ]}

Otra forma de llegar a este resultado es factorizar la ecuación de onda utilizando dos operadores diferenciales de primer orden: $\left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.$ Entonces, para nuestra ecuación original, podemos definir $v\equiv {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}},$ y descubrimos que debemos tener ${\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.$

Esta ecuación de advección se puede resolver interpretándola como que nos dice que la derivada direccional de $v$ en el $(1,-c)$ la dirección es 0. Esto significa que el valor de $v$ es constante en líneas características de la forma $x + ct = x 0$ , y por lo tanto que $v$ debe depender únicamente de $x + ct$ , es decir, tener la forma $H (x + ct)$ . Entonces, para resolver la primera ecuación (no homogénea) que relaciona $v$ Para $u$ , podemos observar que su solución homogénea debe ser una función de la forma $F (x - ct)$ , por una lógica similar a la anterior. Suponiendo una solución particular de la forma $G (x + ct)$ , encontramos que

$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]G(x+ct)=H(x+ct).$

Desarrollando el lado izquierdo, reorganizando los términos y luego usando el cambio de variables $s = x + ct$ se simplifica la ecuación a

$G'(s)={\frac {H(s)}{2c}}.$

Esto significa que podemos encontrar una solución particular $G$ de la forma deseada mediante integración. Por lo tanto, hemos demostrado nuevamente que $u$ obedece $u (x, t) = F (x - ct) + G (x + ct)$ . ^{[ 5 ]}

Para un problema de valor inicial , las funciones arbitrarias $F$ y $G$ pueden determinarse para satisfacer las condiciones iniciales: $u(x,0)=f(x),$ $u_{t}(x,0)=g(x).$

El resultado es la fórmula de d'Alembert : $u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.$

En el sentido clásico, si $f (x) \in C k$ , y $g (x) \in C k -1$ , entonces $u (t, x) \in C k$ . Sin embargo, las formas de onda $F$ y $G$ también pueden ser funciones generalizadas , como la función delta. En ese caso, la solución puede interpretarse como un impulso que se propaga hacia la derecha o hacia la izquierda.

La ecuación de onda básica es una ecuación diferencial lineal , por lo que se rige por el principio de superposición . Esto significa que el desplazamiento neto causado por dos o más ondas es la suma de los desplazamientos que habría causado cada onda individualmente. Además, el comportamiento de una onda se puede analizar descomponiéndola en componentes; por ejemplo, la transformada de Fourier descompone una onda en componentes sinusoidales.

Modos propios de onda plana

Otra forma de resolver la ecuación de onda unidimensional es analizar primero sus modos propios de frecuencia . Un modo propio es una solución que oscila en el tiempo con una frecuencia angular constante bien definida $ω$ , de modo que la parte temporal de la función de onda toma la forma $e - iωt = cos(ωt) - i sin(ωt)$ , y la amplitud es una función $f (x)$ de la variable espacial $x$ , lo que da una separación de variables para la función de onda: $u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).$

Esto produce una ecuación diferencial ordinaria para la parte espacial $f (x)$ : ${\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right).$

Por lo tanto, ${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),$ que es precisamente una ecuación de autovalores para $f (x)$ , de ahí el nombre de modo propio. Conocida como la ecuación de Helmholtz , tiene las conocidas soluciones de onda plana . $f(x)=Ae^{\pm ikx},$ con número de onda $k = ω / c$ .

La función de onda total para este modo propio es entonces la combinación lineal. $u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},$ donde los números complejos $A$ y $B$ dependen en general de cualquier condición inicial y de contorno del problema.

Los modos propios son útiles para construir una solución completa a la ecuación de onda, porque cada uno de ellos evoluciona en el tiempo trivialmente con el factor de fase. $e^{-i\omega t},$ para que una solución completa pueda descomponerse en una expansión de modos propios : $u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\,d\omega ,$ o en términos de ondas planas, ${\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\,d\omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\,d\omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct),\end{aligned}}$ que es exactamente la misma forma que en el enfoque algebraico. Las funciones $s \pm (ω)$ se conocen como el componente de Fourier y están determinadas por las condiciones iniciales y de contorno. Este es un llamado método del dominio de la frecuencia , alternativo a las propagaciones directas del dominio del tiempo , como el método FDTD , del paquete de ondas $u (x, t)$ , que es completo para representar ondas en ausencia de dilataciones del tiempo. La completitud de la expansión de Fourier para representar ondas en presencia de dilataciones del tiempo ha sido cuestionada por soluciones de ondas chirp que permiten la variación temporal de $ω$ . ^{[ 6 ]} Las soluciones de ondas chirp parecen particularmente implicadas por residuos de radar muy grandes pero previamente inexplicables en la anomalía de sobrevuelo y difieren de las soluciones sinusoidales en que solo se pueden recibir a cualquier distancia en frecuencias y dilataciones del tiempo desplazadas proporcionalmente, correspondientes a estados chirp pasados de la fuente.

Ecuación de onda vectorial en tres dimensiones espaciales

La ecuación de onda vectorial (de la cual se puede derivar directamente la ecuación de onda escalar) se puede obtener aplicando un equilibrio de fuerzas a un elemento de volumen infinitesimal . Si el medio tiene un módulo de elasticidad $E$ que es homogéneo (es decir, independiente de $\mathbf {x}$ ) dentro del elemento de volumen, entonces su tensor de tensiones viene dado por $\mathbf {T} =E\nabla \mathbf {u}$ , para una deflexión elástica vectorial $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ . El equilibrio local de:

la fuerza de tensión $\operatorname {div} \mathbf {T} =\nabla \cdot (E\nabla \mathbf {u} )=E\Delta \mathbf {u}$ debido a la desviación $\mathbf {u}$ , y
la fuerza de inercia $\rho \partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}$ causado por la aceleración local $\partial ^{2}\mathbf {u} /\partial t^{2}$

se puede escribir como $\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-E\Delta \mathbf {u} =\mathbf {0} .$

Al fusionar la densidad $\rho$ y módulo de elasticidad $E,$ la velocidad del sonido $c={\sqrt {E/\rho }}$ resultados (ley material). Después de la inserción, sigue la conocida ecuación de onda que rige un medio homogéneo: ^{[ 7 ]} ${\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta \mathbf {u} ={\boldsymbol {0}}.$ (Nota: En lugar de vectorial $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t),$ solo escalar $u(x,t)$ se puede utilizar, es decir, las ondas viajan solo a lo largo de la $x$ eje, y la ecuación de onda escalar se deduce como ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$ .)

La ecuación diferencial parcial vectorial de segundo orden anterior proporciona dos soluciones mutuamente independientes. A partir del término de velocidad cuadrática $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ Se puede observar que hay dos ondas que viajan en direcciones opuestas. $+c$ y $-c$ son posibles, de ahí la denominación "ecuación de onda bidireccional". Se puede demostrar para la propagación de ondas longitudinales planas que la síntesis de dos ecuaciones de onda unidireccionales conduce a una ecuación de onda bidireccional general. Para $\nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,$ Ecuación especial de dos ondas con el operador de d'Alembert resultados: ^{[ 8 ]} $\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )\mathbf {c} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+(\mathbf {c} \cdot \nabla )^{2}\right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .$ Para $\nabla \mathbf {c} =\mathbf {0} ,$ esto se simplifica a $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+c^{2}\Delta \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} .$ Por lo tanto, la ecuación de onda vectorial unidireccional de primer orden con ondas que viajan en una dirección de propagación predefinida $\mathbf {c}$ resultados ^{[ 9 ]} como ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mathbf {c} \cdot \nabla \mathbf {u} =\mathbf {0} .$

Ecuación de onda escalar en tres dimensiones espaciales

La solución del problema de valor inicial para la ecuación de onda en tres dimensiones espaciales se puede obtener a partir de la solución correspondiente para una onda esférica. Este resultado también se puede utilizar para obtener la misma solución en dos dimensiones espaciales.

Ondas esféricas

Para obtener una solución con frecuencias constantes, aplique la transformada de Fourier. $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi (\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\,d\omega ,$ lo que transforma la ecuación de onda en una ecuación diferencial parcial elíptica de la forma: $\left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=0.$

Esta es la ecuación de Helmholtz y se puede resolver mediante la separación de variables . En coordenadas esféricas, esto conduce a una separación de las variables radiales y angulares, escribiendo la solución como: ^{[ 10 ]} $\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=\sum _{l,m}f_{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ).$ La parte angular de la solución toma la forma de armónicos esféricos y la función radial satisface: $\left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0.$ independiente de $m$ , con $k^{2}=\omega ^{2}/c^{2}$ Sustituyendo $f_{l}(r)={\frac {1}{\sqrt {r}}}u_{l}(r),$ transforma la ecuación en $\left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {(l+{\frac {1}{2}})^{2}}{r^{2}}}\right]u_{l}(r)=0,$ que es la ecuación de Bessel .

Ejemplo

Consideremos el caso $l = 0.$ Entonces no hay dependencia angular y la amplitud depende solo de la distancia radial, es decir, $Ψ(r, t) \to u (r, t)$ . En este caso, la ecuación de onda se reduce a $\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)=0,$ o $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0.$

Esta ecuación se puede reescribir como ${\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0,$ donde la cantidad $ru$ satisface la ecuación de onda unidimensional. Por lo tanto, existen soluciones de la forma $u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),$ donde $F$ y $G$ son soluciones generales de la ecuación de onda unidimensional y pueden interpretarse como ondas esféricas salientes y entrantes, respectivamente. La onda saliente puede generarse mediante una fuente puntual y produce señales nítidas cuya forma se ve alterada únicamente por una disminución de la amplitud al aumentar $r$ (véase la ilustración de una onda esférica en la parte superior derecha). Dichas ondas existen solo en espacios con dimensiones impares.

Para ejemplos físicos de soluciones a la ecuación de onda 3D que poseen dependencia angular, consulte la radiación dipolar .

Onda esférica monocromática

Aunque el término "monocromático" no es del todo preciso, ya que se refiere a la luz o radiación electromagnética con una frecuencia bien definida, la idea es descubrir el modo propio de la ecuación de onda en tres dimensiones. Siguiendo la derivación de la sección anterior sobre los modos propios de ondas planas , si restringimos nuevamente nuestras soluciones a ondas esféricas que oscilan en el tiempo con una frecuencia angular constante bien definida $ω$ , entonces la función transformada $ru (r, t)$ tiene simplemente soluciones de onda plana: $ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},$ o $u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i(\omega t\pm kr)}.$

De esto podemos observar que la intensidad máxima de la oscilación de onda esférica, caracterizada como la amplitud de onda cuadrada $I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}},$ cae a una tasa proporcional a $1/ r 2$ , un ejemplo de la ley del inverso del cuadrado .

Solución de un problema general de valor inicial

La ecuación de onda es lineal en $u$ y no se ve alterada por traslaciones en el espacio y el tiempo. Por lo tanto, podemos generar una gran variedad de soluciones trasladando y sumando ondas esféricas. Sea $φ (ξ, η, ζ)$ una función arbitraria de tres variables independientes, y sea la forma de onda esférica $F$ una función delta . Sea una familia de ondas esféricas con centro en $(ξ, η, ζ)$ , y sea $r$ la distancia radial desde ese punto. Así,

$r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.$

Si $u$ es una superposición de tales ondas con función de ponderación $φ$ , entonces ${\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta$ el denominador $4 πc$ es una conveniencia.

A partir de la definición de la función delta, $u$ también puede escribirse como $u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\,d\omega ,$ donde $α$ , $β$ y $γ$ son coordenadas en la esfera unitaria $S$ , y $ω$ es el elemento de área en $S.$ Este resultado tiene la interpretación de que $u (t, x)$ es $t$ veces el valor medio de $φ$ en una esfera de radio $ct$ centrada en $x$ : $u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\varphi ].$

Resulta que $u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z).$

El valor medio es una función par de $t$ , y por lo tanto si $v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}tM_{ct}[\varphi ]{\big )},$ entonces $v(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.$

Estas fórmulas proporcionan la solución al problema de valor inicial de la ecuación de onda. Muestran que la solución en un punto $P$ dado , dado $(t, x, y, z),$ depende únicamente de los datos de la esfera de radio $ct$ que es intersectada por el cono de luz trazado hacia atrás desde $P.$ No depende de los datos del interior de esta esfera. Por lo tanto, el interior de la esfera es una laguna para la solución. Este fenómeno se conoce como el principio de Huygens . Solo es válido para dimensiones espaciales impares, donde para una dimensión la integración se realiza sobre el límite de un intervalo con respecto a la medida de Dirac . ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

Ecuación de onda escalar en dos dimensiones espaciales

En dos dimensiones espaciales, la ecuación de onda es

$u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).$

Podemos utilizar la teoría tridimensional para resolver este problema si consideramos $u$ como una función en tres dimensiones que es independiente de la tercera dimensión. Si

$u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),$

Entonces la fórmula de solución tridimensional se convierte en:

$u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,$

donde $α$ y $β$ son las dos primeras coordenadas en la esfera unitaria, y $d ω$ es el elemento de área en la esfera. Esta integral puede reescribirse como una integral doble sobre el disco $D$ con centro $(x, y)$ y radio $ct :$

$u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .$

Es evidente que la solución en $(t, x, y)$ depende no solo de los datos en el cono de luz donde $(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},$ pero también en datos que se encuentran dentro de ese cono.

Ecuación de onda escalar en dimensión general y fórmulas de Kirchhoff

Queremos encontrar soluciones para $u tt - Δ u = 0$ para $u : R n \times (0, \infty) \to R$ con $u (x, 0) = g (x)$ y $u t (x, 0) = h (x)$ . ^{[ 13 ]}

Dimensiones extrañas

Supongamos $que n \geq 3$ es un entero impar, y $g \in C m +1 (R n)$ , $h \in C m (R n)$ para $m = (n + 1)/2$ . Sea $γ n = 1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (n - 2)$ y sea

$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]$

Entonces

$u\in C^{2}{\big (}\mathbf {R} ^{n}\times [0,\infty ){\big )}$ ,
$u_{tt}-\Delta u=0$ en $\mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )$ ,
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$ ,
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$ .

Dimensiones uniformes

Supongamos $que n \geq 2$ es un entero par y $g \in C m +1 (R n)$ , $h \in C m (R n)$ , para $m = (n + 2)/2$ . Sea $γ n = 2 \times 4 \times \dots \times n$ y sea

$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]$

entonces

$u \in C 2 (R n \times [0, \infty))$
$u tt - Δ u = 0$ en $R n \times (0, \infty)$
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$
$\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$

La función de Green

Consideremos la ecuación de onda no homogénea en $1+D$ dimensiones $(\partial _{tt}-c^{2}\nabla ^{2})u=s(t,x)$ Al reescalar el tiempo, podemos establecer la velocidad de la onda. $c=1$ .

Dado que la ecuación de onda $(\partial _{tt}-\nabla ^{2})u=s(t,x)$ Tiene orden 2 en el tiempo, hay dos respuestas impulsionales : un impulso de aceleración y un impulso de velocidad. El efecto de aplicar un impulso de aceleración es cambiar repentinamente la velocidad de la onda. $\partial _{t}u$ El efecto de aplicar un impulso de velocidad es cambiar repentinamente el desplazamiento de la onda. $u$ .

Para el impulso de aceleración, $s(t,x)=\delta ^{D+1}(t,x)$ dónde $\delta$ es la función delta de Dirac . La solución a este caso se llama función de Green. $G$ para la ecuación de onda.

Para el impulso de velocidad, $s(t,x)=\partial _{t}\delta ^{D+1}(t,x)$ , entonces si resolvemos la función de Green $G$ , la solución para este caso es simplemente $\partial _{t}G$ .

El principio de Duhamel

El principal uso de las funciones de Green es resolver problemas de valor inicial mediante el principio de Duhamel , tanto para el caso homogéneo como para el no homogéneo.

Dada la función de Green $G$ y condiciones iniciales $u(0,x),\partial _{t}u(0,x)$ , la solución a la ecuación de onda homogénea es ^{[ 14 ]} $u=(\partial _{t}G)\ast u+G\ast \partial _{t}u$ donde el asterisco es la convolución en el espacio. Más explícitamente, $u(t,x)=\int (\partial _{t}G)(t,x-x')u(0,x')dx'+\int G(t,x-x')(\partial _{t}u)(0,x')dx'.$ Para el caso no homogéneo, la solución tiene un término adicional por convolución sobre el espaciotiempo : $\iint _{t'<t}G(t-t',x-x')s(t',x')dt'dx'.$

Solución mediante transformada de Fourier

Mediante una transformada de Fourier , ${\hat {G}}(\omega )={\frac {1}{-\omega _{0}^{2}+\omega _{1}^{2}+\cdots +\omega _{D}^{2}}},\quad G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D+1}}}\int {\hat {G}}(\omega )e^{+i\omega _{0}t+i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d\omega _{0}d{\vec {\omega }}.$ El $\omega _{0}$ El término se puede integrar mediante el teorema de los residuos . Esto requeriría que perturbáramos ligeramente la integral, ya sea mediante... $+i\epsilon$ o por $-i\epsilon$ , porque es una integral impropia . Una perturbación da la solución hacia adelante y la otra la solución hacia atrás. ^{[ 15 ]} La solución hacia adelante da $G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int {\frac {\sin(\|{\vec {\omega }}\|t)}{\|{\vec {\omega }}\|}}e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }},\quad \partial _{t}G(t,x)={\frac {1}{(2\pi )^{D}}}\int \cos(\|{\vec {\omega }}\|t)e^{i{\vec {\omega }}\cdot {\vec {x}}}d{\vec {\omega }}.$ La integral se puede resolver continuando analíticamente el núcleo de Poisson , dando ^{[ 14 ]}^{[ 16 ]} $G(t,x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {C_{D}}{D-1}}\operatorname {Im} \left[\|x\|^{2}-(t-i\epsilon )^{2}\right]^{-(D-1)/2}$ dónde $C_{D}=\pi ^{-(D+1)/2}\Gamma ((D+1)/2)$ es la mitad de la superficie de un $(D+1)$ Hiperesfera -dimensional . ^{[ 16 ]}

Soluciones en dimensiones particulares

Podemos relacionar la función de Green en $D$ dimensiones a la función de Green en $D+n$ dimensiones (la reducción de la dimensión es posible en cualquier caso, el aumento es posible en simetría esférica). ^{[ 17 ]}

Reducción de dimensiones

Dada una función $s(t,x)$ y una solución $u(t,x)$ de una ecuación diferencial en $(1+D)$ dimensiones, podemos extenderlo trivialmente a $(1+D+n)$ dimensiones configurando las adicionales $n$ Las dimensiones deben ser constantes: $s(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=s(t,x_{1:D}),\quad u(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=u(t,x_{1:D}).$ Dado que la función de Green se construye a partir de $s$ y $u$ , la función de Green en $(1+D+n)$ Las dimensiones se integran a la función de Green en $(1+D)$ dimensiones: $G_{D}(t,x_{1:D})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}G_{D+n}(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})d^{n}x_{D+1:D+n}.$

Elevando dimensiones

La función de los Verdes en $D$ Las dimensiones pueden relacionarse con la función de Green en $D+2$ dimensiones. Por simetría esférica, $G_{D}(t,r)=\int _{\mathbb {R} ^{2}}G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+y^{2}+z^{2}}})dydz.$ Integrando en coordenadas polares, $G_{D}(t,r)=2\pi \int _{0}^{\infty }G_{D+2}(t,{\sqrt {r^{2}+q^{2}}})qdq=2\pi \int _{r}^{\infty }G_{D+2}(t,q')q'dq',$ donde en la última igualdad hicimos el cambio de variables $q'={\sqrt {r^{2}+q^{2}}}$ De esta forma, obtenemos la relación de recurrencia. $G_{D+2}(t,r)=-{\frac {1}{2\pi r}}\partial _{r}G_{D}(t,r).$

Soluciones en D = 1, 2, 3

Cuando $D=1$ , el integrando en la transformada de Fourier es la función sinc ${\begin{aligned}G_{1}(t,x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\sin(|\omega |t)}{|\omega |}}e^{i\omega x}d\omega \\&={\frac {1}{2\pi }}\int \operatorname {sinc} (\omega )e^{i\omega {\frac {x}{t}}}d\omega \\&={\frac {\operatorname {sgn}(t-x)+\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}\\&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\theta (t-|x|)\quad t>0\\-{\frac {1}{2}}\theta (-t-|x|)\quad t<0\end{cases}}\end{aligned}}$ dónde $\operatorname {sgn}$ es la función signo y $\theta$ es la función escalón unitario .

La dimensión se puede elevar para dar la $D=3$ caso $G_{3}(t,r)={\frac {\delta (t-r)}{4\pi r}}$ y de forma similar para la solución hacia atrás. Esto se puede integrar hacia abajo en una dimensión para obtener la $D=2$ caso $G_{2}(t,r)=\int _{\mathbb {R} }{\frac {\delta (t-{\sqrt {r^{2}+z^{2}}})}{4\pi {\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}dz={\frac {\theta (t-r)}{2\pi {\sqrt {t^{2}-r^{2}}}}}$

Frentes de onda y estelas

En $D=1$ En este caso, la solución de la función de Green es la suma de dos frentes de onda. ${\frac {\operatorname {sgn}(t-x)}{4}}+{\frac {\operatorname {sgn}(t+x)}{4}}$ moviéndose en direcciones opuestas.

En dimensiones impares, la solución directa es distinta de cero solo en $t=r$ . A medida que aumentan las dimensiones, la forma del frente de onda se vuelve cada vez más compleja, involucrando derivadas superiores de la función delta de Dirac. Por ejemplo, ^{[ 17 ]} ${\begin{aligned}&G_{1}={\frac {1}{2c}}\theta (\tau )\\&G_{3}={\frac {1}{4\pi c^{2}}}{\frac {\delta (\tau )}{r}}\\&G_{5}={\frac {1}{8\pi ^{2}c^{2}}}\left({\frac {\delta (\tau )}{r^{3}}}+{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{2}}}\right)\\&G_{7}={\frac {1}{16\pi ^{3}c^{2}}}\left(3{\frac {\delta (\tau )}{r^{5}}}+3{\frac {\delta ^{\prime }(\tau )}{cr^{4}}}+{\frac {\delta ^{\prime \prime }(\tau )}{c^{2}r^{3}}}\right)\end{aligned}}$ dónde $\tau =t-r$ y la velocidad de la onda $c$ está restaurado.

En dimensiones pares, la solución directa es distinta de cero en $r\leq t$ , toda la región detrás del frente de onda se vuelve distinta de cero, llamada estela . La estela tiene la ecuación: ^{[ 17 ]} $G_{D}(t,x)=(-1)^{1+D/2}{\frac {1}{(2\pi )^{D/2}}}{\frac {1}{c^{D}}}{\frac {\theta (t-r/c)}{\left(t^{2}-r^{2}/c^{2}\right)^{(D-1)/2}}}$ El frente de onda en sí también implica derivadas cada vez más altas de la función delta de Dirac.

Esto significa que un principio general de Huygens – el desplazamiento de la onda en un punto $(t,x)$ en el espaciotiempo depende únicamente del estado en los puntos de los rayos característicos que pasan $(t,x)$ —solo se cumple en dimensiones impares. Una interpretación física es que las señales transmitidas por ondas permanecen sin distorsión en dimensiones impares, pero se distorsionan en dimensiones pares. ^{[ 18 ]}^{: 698}

La conjetura de Hadamard afirma que este principio generalizado de Huygens sigue siendo válido en todas las dimensiones impares, incluso cuando los coeficientes de la ecuación de onda ya no son constantes. No es estrictamente correcto, pero sí lo es para ciertas familias de coeficientes ^{[ 18 ]}^{: 765}

Problemas con los límites

Una dimensión espacial

Reflexión y transmisión en el límite de dos medios

Para una onda incidente que viaja de un medio (con velocidad $c₁)$ a otro (con velocidad $c₂ ), una parte de la onda se transmite al segundo$ medio, mientras que la otra se refleja en sentido contrario y permanece en el primer medio. La amplitud de la onda transmitida y de la onda reflejada se puede calcular mediante la condición de continuidad en el límite.

Consideremos el componente de la onda incidente con una frecuencia angular $ω$ , que tiene la forma de onda $u^{\text{inc}}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-\omega t)},\quad A\in \mathbb {C} .$ En $t = 0$ , el incidente alcanza el límite entre los dos medios en $x = 0.$ Por lo tanto, la onda reflejada correspondiente y la onda transmitida tendrán las formas de onda $u^{\text{refl}}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-\omega t)},\quad u^{\text{trans}}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-\omega t)},\quad B,C\in \mathbb {C} .$ La condición de continuidad en el límite es $u^{\text{inc}}(0,t)+u^{\text{refl}}(0,t)=u^{\text{trans}}(0,t),\quad u_{x}^{\text{inc}}(0,t)+u_{x}^{\text{ref}}(0,t)=u_{x}^{\text{trans}}(0,t).$ Esto da como resultado las ecuaciones $A+B=C,\quad A-B={\frac {k_{2}}{k_{1}}}C={\frac {c_{1}}{c_{2}}}C,$ y tenemos la reflectividad y la transmisividad ${\frac {B}{A}}={\frac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}},\quad {\frac {C}{A}}={\frac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}.$ Cuando $c 2 < c 1$ , la onda reflejada tiene un cambio de fase de reflexión de 180°, ya que $B / A < 0$ . La conservación de la energía se puede verificar mediante ${\frac {B^{2}}{c_{1}}}+{\frac {C^{2}}{c_{2}}}={\frac {A^{2}}{c_{1}}}.$ La discusión anterior es válida para cualquier componente, independientemente de su frecuencia angular $ω$ .

El caso límite de $c 2 = 0$ corresponde a un "extremo fijo" que no se mueve, mientras que el caso límite de $c 2 \to \infty$ corresponde a un "extremo libre".

La formulación de Sturm-Liouville

Una cuerda flexible que se estira entre dos puntos $x = 0$ y $x = L$ satisface la ecuación de onda para $t > 0$ y $0 < x < L.$ En los puntos límite, $u$ puede satisfacer diversas condiciones de contorno. Una forma general apropiada para aplicaciones es

${\begin{aligned}-u_{x}(t,0)+au(t,0)&=0,\\u_{x}(t,L)+bu(t,L)&=0,\end{aligned}}$

donde $a$ y $b$ son no negativos. El caso en que se requiere que $u se anule en un punto final (es decir, "extremo fijo") es el límite de esta condición cuando el respectivo$ $a$ o $b$ tiende a infinito. El método de separación de variables consiste en buscar soluciones de este problema en la forma especial $u(t,x)=T(t)v(x).$

Una consecuencia es que ${\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .$

El valor propio $λ$ debe determinarse de manera que exista una solución no trivial del problema de contorno. ${\begin{aligned}v''+\lambda v=0,&\\-v'(0)+av(0)&=0,\\v'(L)+bv(L)&=0.\end{aligned}}$

Este es un caso particular del problema general de la teoría de Sturm-Liouville . Si $a$ y $b$ son positivos, los autovalores son todos positivos y las soluciones son funciones trigonométricas . Se puede obtener una solución que satisfaga las condiciones iniciales de cuadrado integrable para $u$ y $u t$ mediante el desarrollo de estas funciones en la serie trigonométrica apropiada.

Varias dimensiones espaciales

Una solución de la ecuación de onda en dos dimensiones con una condición de contorno de desplazamiento cero a lo largo de todo el borde exterior.

La teoría de valores iniciales y de contorno unidimensional puede extenderse a un número arbitrario de dimensiones espaciales. Consideremos un dominio $D$ en un espacio $x$ $de m$ dimensiones , con frontera $B.$ Entonces, la ecuación de onda debe satisfacerse si $x$ está en $D$ y $t$ $> 0.$ En la frontera de $D$ , la solución $u$ debe satisfacer

${\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,$

donde $n$ es el vector normal unitario exterior a $B$ , y $a$ es una función no negativa definida en $B.$ El caso en que $u$ se anula en $B$ es un caso límite para $a que$ tiende a infinito. Las condiciones iniciales son

$u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),$

donde $f$ y $g$ se definen en $D.$ Este problema puede resolverse expandiendo $f$ y $g$ en las autofunciones del laplaciano en $D$ , que satisfacen las condiciones de contorno. Por lo tanto, la autofunción $v$ satisface

$\nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0$

en $D$ y

${\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0$

en $B.$

En el caso de dos dimensiones espaciales, las autofunciones pueden interpretarse como los modos de vibración de un parche de tambor estirado sobre el límite $B.$ Si $B$ es un círculo, estas autofunciones tienen una componente angular que es una función trigonométrica del ángulo polar $θ$ , multiplicada por una función de Bessel (de orden entero) de la componente radial. Para más detalles, consulte la ecuación de Helmholtz .

Si el límite es una esfera en tres dimensiones espaciales, las componentes angulares de las funciones propias son armónicos esféricos y las componentes radiales son funciones de Bessel de orden semientero .

Ecuación de onda no homogénea en una dimensión

La ecuación de onda no homogénea en una dimensión es $u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)$ con condiciones iniciales $u(x,0)=f(x),$ $u_{t}(x,0)=g(x).$

La función $s (x, t)$ se suele denominar función fuente porque, en la práctica, describe los efectos de las fuentes de ondas sobre el medio que las transporta. Ejemplos físicos de funciones fuente incluyen la fuerza que impulsa una onda en una cuerda, o la densidad de carga o corriente en el calibre de Lorenz del electromagnetismo .

Un método para resolver el problema de valor inicial (con los valores iniciales planteados anteriormente) consiste en aprovechar una propiedad especial de la ecuación de onda en un número impar de dimensiones espaciales, a saber, que sus soluciones respetan la causalidad. Es decir, para cualquier punto $(x i, t i)$ , el valor de $u (x i, t i)$ depende únicamente de los valores de $f (x i + ct i)$ y $f (x i - ct i)$ y de los valores de la función $g (x)$ entre $(x i - ct i)$ y $(x i + ct i)$ . Esto se puede observar en la fórmula de d'Alembert , mencionada anteriormente, donde estas cantidades son las únicas que aparecen en ella. Físicamente, si la velocidad máxima de propagación es $c$ , entonces ninguna parte de la onda que no pueda propagarse a un punto dado en un tiempo dado puede afectar la amplitud en ese mismo punto y tiempo.

En términos de encontrar una solución, esta propiedad de causalidad significa que para cualquier punto dado en la línea considerada, la única área que debe considerarse es el área que abarca todos los puntos que podrían afectar causalmente al punto considerado. Denotemos el área que afecta causalmente al punto $(x i, t i)$ como $R C$ . Supongamos que integramos la ecuación de onda no homogénea sobre esta región: $\iint _{R_{C}}{\big (}c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t){\big )}\,dx\,dt=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$

Para simplificar esto enormemente, podemos usar el teorema de Green para simplificar el lado izquierdo y obtener lo siguiente: $\int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$

El lado izquierdo es ahora la suma de tres integrales de línea a lo largo de los límites de la región de causalidad. Resulta que estas son bastante fáciles de calcular: $\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)\,dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.$

En lo anterior, el término que se integra con respecto al tiempo desaparece porque el intervalo de tiempo involucrado es cero, por lo tanto $dt = 0$ .

Para los otros dos lados de la región, cabe destacar que $x \pm ct$ es una constante, es decir $x i \pm ct i$ , donde el signo se elige adecuadamente. Usando esto, podemos obtener la relación $d x \pm c d t = 0$ , eligiendo nuevamente el signo correcto: ${\begin{aligned}\int _{L_{1}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=\int _{L_{1}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=c\int _{L_{1}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\end{aligned}}$

Y de forma similar para el segmento límite final: ${\begin{aligned}\int _{L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=-\int _{L_{2}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=-c\int _{L_{2}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\end{aligned}}$

Sumando los tres resultados y volviéndolos a colocar en la integral original se obtiene ${\begin{aligned}\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt&=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})\\&=2cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.\end{aligned}}$

Resolviendo para $u (x i, t i)$ , llegamos a $u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c(t_{i}-t)}^{x_{i}+c(t_{i}-t)}s(x,t)\,dx\,dt.$

En la última ecuación de la secuencia, se han explicitado los límites de la integral sobre la función fuente. Al observar esta solución, válida para todas las elecciones $(x i, t i)$ compatibles con la ecuación de onda, resulta evidente que los dos primeros términos son simplemente la fórmula de d'Alembert, tal como se indicó anteriormente como la solución de la ecuación de onda homogénea en una dimensión. La diferencia radica en el tercer término, la integral sobre la fuente.

Generalizaciones adicionales

Ondas elásticas

La ecuación de ondas elásticas (también conocida como ecuación de Navier-Cauchy ) en tres dimensiones describe la propagación de ondas en un medio elástico homogéneo e isótropo . La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esta ecuación describe fenómenos como las ondas sísmicas en la Tierra y las ondas ultrasónicas utilizadas para detectar defectos en los materiales. Si bien es lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones anteriores, ya que debe tener en cuenta tanto el movimiento longitudinal como el transversal. $\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ),$ dónde:

λ

y

μ

son los denominados parámetros de Lamé que describen las propiedades elásticas del medio,

ρ

es la densidad,

f

es la función fuente (fuerza impulsora),

u

es el vector de desplazamiento.

Al usar $\nabla \times (\nabla \times u) = \nabla(\nabla \cdot u) - \nabla \cdot \nabla u = \nabla(\nabla \cdot u) - ∆ u$ , la ecuación de onda elástica se puede reescribir en la forma más común de la ecuación de Navier-Cauchy.

Cabe destacar que, en la ecuación de onda elástica, tanto la fuerza como el desplazamiento son magnitudes vectoriales . Por ello, esta ecuación se conoce a veces como ecuación de onda vectorial. Para facilitar su comprensión, el lector observará que si se igualan a cero $f$ y $\nabla \cdot u$ , la ecuación se convierte (en la práctica) en la ecuación de Maxwell para la propagación del campo eléctrico $E$ , que solo presenta ondas transversales.

Relación de dispersión

En los fenómenos de ondas dispersivas , la velocidad de propagación de la onda varía con la longitud de onda, lo cual se refleja en una relación de dispersión.

$\omega =\omega (\mathbf {k} ),$

donde $ω$ es la frecuencia angular y $k$ es el vector de onda que describe las soluciones de onda plana . Para las ondas de luz, la relación de dispersión es $ω = \pm c | k |$ , pero en general, la velocidad constante $c$ se reemplaza por una velocidad de fase variable :

$v_{\text{p}}={\frac {\omega (k)}{k}}.$

Véase también

Notas

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- Véase también: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibración" (Investigaciones adicionales sobre la curva que forma una cuerda tensa [cuando] se pone en vibración), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, pág. 220–249.
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Referencias

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Enlaces externos

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[Speiser-1] 1 2 Speiser, David. Descubriendo los principios de la mecánica 1600–1800 , p. 191 (Basilea: Birkhäuser, 2008).

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Véase también: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibrator", Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, pág. 355–360.

[mwA7A] Véase también: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibración" (Investigaciones adicionales sobre la curva que forma una cuerda tensa [cuando] se pone en vibración), Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, pág. 220–249.

[mwA7U] Véase también: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibrator", Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, pág. 355–360.

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