polinomio linealizado

En matemáticas , un polinomio linealizado (o q -polinomio) es un polinomio para el cual los exponentes de todos los monomios constituyentes son potencias de q y los coeficientes provienen de algún campo de extensión del campo finito de orden q .

Escribimos un ejemplo típico como $${\displaystyle L(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{q^{i}},}$$ donde cada${\displaystyle a_{i}}$está en ${\displaystyle F_{q^{m}}(=\operatorname {GF} (q^{m}))}$para algún entero positivo fijo${\displaystyle m}$.

Esta clase especial de polinomios es importante tanto desde un punto de vista teórico como de aplicaciones. ^{[ 1 ]} La naturaleza altamente estructurada de sus raíces hace que estas raíces sean fáciles de determinar.

• La aplicación x ↦ L ( x ) es una aplicación lineal sobre cualquier campo que contenga F _q .
• El conjunto de raíces de L es un espacio vectorial F q _y es cerrado bajo la aplicación q - Frobenius .
• Por el contrario, si U es cualquier subespacio lineal F q _de algún campo finito que contiene F _q , entonces el polinomio que se anula exactamente en U es un polinomio linealizado.
• El conjunto de polinomios linealizados sobre un cuerpo dado es cerrado bajo la suma y la composición de polinomios.
• Si L es un polinomio linealizado no nulo sobre${\displaystyle F_{q^{n}}}$con todas sus raíces en el campo${\displaystyle F_{q^{s}}}$un campo de extensión de${\displaystyle F_{q^{n}}}$, entonces cada raíz de L tiene la misma multiplicidad, que es 1 o una potencia positiva de q . ^{[ 2 ]}

En general, el producto de dos polinomios linealizados no será un polinomio linealizado, pero dado que la composición de dos polinomios linealizados da como resultado un polinomio linealizado, la composición puede usarse como reemplazo de la multiplicación y, por esta razón, la composición a menudo se denomina multiplicación simbólica en este contexto. Notacionalmente, si L ₁ ( x ) y L ₂ ( x ) son polinomios linealizados definimos$${\displaystyle L_{1}(x)\otimes L_{2}(x)=L_{1}(L_{2}(x))}$$cuando se adopta este punto de vista.

Los polinomios L ( x ) y$${\displaystyle l(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$$son q-asociados (nota: los exponentes " q ⁱ " de L ( x ) han sido reemplazados por " i " en l ( x )). Más específicamente, l ( x ) se llama el q-asociado convencional de L ( x ), y L ( x ) es el q-asociado linealizado de l ( x ).

Los polinomios linealizados con coeficientes en F _q tienen propiedades adicionales que permiten definir la división simbólica, la reducibilidad simbólica y la factorización simbólica. Dos ejemplos importantes de este tipo de polinomio linealizado son el automorfismo de Frobenius.${\displaystyle x\mapsto x^{q}}$y la función de rastreo${\textstyle \operatorname {Tr} (x)=\sum _{i=0}^{n-1}x^{q^{i}}.}$

En este caso especial se puede demostrar que, como operación , la multiplicación simbólica es conmutativa , asociativa y se distribuye sobre la suma ordinaria. ^{[ 3 ]} Además, en este caso especial, podemos definir la operación de división simbólica . Si L ( x ) y L ₁ ( x ) son polinomios linealizados sobre F _q , decimos que L ₁ ( x ) divide simbólicamente a L ( x ) si existe un polinomio linealizado L ₂ ( x ) sobre F _q tal que:$${\displaystyle L(x)=L_{1}(x)\otimes L_{2}(x).}$$

Si L ₁ ( x ) y L ₂ ( x ) son polinomios linealizados sobre F _q con q -asociados convencionales l ₁ ( x ) y l ₂ ( x ) respectivamente, entonces L ₁ ( x ) divide simbólicamente a L ₂ ( x ) si y solo si l ₁ ( x ) divide a l ₂ ( x ). ^{[ 4 ]} Además, L ₁ ( x ) divide a L ₂ ( x ) en el sentido ordinario en este caso. ^{[ 5 ]}

Un polinomio linealizado L ( x ) sobre F _q de grado > 1 es simbólicamente irreducible sobre F _q si las únicas descomposiciones simbólicas son $${\displaystyle L(x)=L_{1}(x)\otimes L_{2}(x),}$$ con L _i sobre F _q son aquellos para los cuales uno de los factores tiene grado 1. Nótese que un polinomio simbólicamente irreducible es siempre reducible en el sentido ordinario ya que cualquier polinomio linealizado de grado > 1 tiene el factor no trivial x . Un polinomio linealizado L ( x ) sobre F _q es simbólicamente irreducible si y solo si su q- asociado convencional l ( x ) es irreducible sobre F _q .

Todo q -polinomio L ( x ) sobre F _q de grado > 1 tiene una factorización simbólica en polinomios simbólicamente irreducibles sobre F _q y esta factorización es esencialmente única (salvo reordenar factores y multiplicar por elementos no nulos de F _q ).

Por ejemplo, ^{[ 6 ]} consideremos el 2-polinomio L ( x ) = x ¹⁶ + x ⁸ + x ² + x sobre F ₂ y su 2-asociado convencional l ( x ) = x ⁴ + x ³ + x + 1. La factorización en irreducibles de l ( x ) = ( x ² + x + 1)( x + 1) ² en F ₂ [ x ], da la factorización simbólica $${\displaystyle L(x)=(x^{4}+x^{2}+x)\otimes (x^{2}+x)\otimes (x^{2}+x).}$$

Sea L un polinomio linealizado sobre${\displaystyle F_{q^{n}}}$. Un polinomio de la forma${\displaystyle A(x)=L(x)-\alpha {\text{ para }}\alpha \in F_{q^{n}},}$es un polinomio afín sobre${\displaystyle F_{q^{n}}}$.

Teorema: Si A es un polinomio afín no nulo sobre${\displaystyle F_{q^{n}}}$con todas sus raíces en el campo${\displaystyle F_{q^{s}}}$un campo de extensión de${\displaystyle F_{q^{n}}}$, entonces cada raíz de A tiene la misma multiplicidad, que es 1 o una potencia positiva de q . ^{[ 7 ]}

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Campos finitos . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  20 (2.ª  ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069 . 
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Handbook of Finite Fields , Discrete Mathematics and its Applications, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6