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Articulo de referencia

Teorema de Hartman-Grobman

En matemáticas , en el estudio de sistemas dinámicos , el teorema de Hartman-Grobman , o teorema de linealización , describe el comportamiento local de sistemas dinámicos en las...

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En matemáticas , en el estudio de sistemas dinámicos , el teorema de Hartman-Grobman , o teorema de linealización , describe el comportamiento local de sistemas dinámicos en las proximidades de un punto de equilibrio hiperbólico . Este teorema afirma que la linealización —una simplificación natural del sistema— es eficaz para predecir patrones cualitativos de comportamiento. El teorema debe su nombre a Philip Hartman y David M. Grobman .

El teorema establece que el comportamiento de un sistema dinámico en un dominio cercano a un punto de equilibrio hiperbólico es cualitativamente el mismo que el comportamiento de su linealización cerca de dicho punto de equilibrio, donde la hiperbolicidad implica que ningún valor propio de la linealización tiene parte real igual a cero. Por lo tanto, al tratar con tales sistemas dinámicos, se puede utilizar la linealización más simple del sistema para analizar su comportamiento en torno a los puntos de equilibrio. [ 1 ]

Teorema principal

Consideremos un sistema que evoluciona en el tiempo con un estadotú(t)∈Rnorte{\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{n}}que satisface la ecuación diferencialdtú/dt=F(tú){\displaystyle du/dt=f(u)}para un mapa suaveF:Rnorte→Rnorte{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}Ahora supongamos que el mapa tiene un estado de equilibrio hiperbólico.tú∗∈Rnorte{\displaystyle u^{*}\in \mathbb {R} ^{n}}: eso es,F(tú∗)=0{\displaystyle f(u^{*})=0}y la matriz jacobianaA=[∂Fi/∂incógnitaj]{\displaystyle A=[\partial f_{i}/\partial x_{j}]}deF{\displaystyle f}en el estadotú∗{\displaystyle u^{*}}no tiene ningún valor propio con parte real igual a cero. Entonces existe un vecindario.norte{\displaystyle N}del equilibriotú∗{\displaystyle u^{*}}y un homeomorfismoh:norte→Rnorte{\displaystyle h\colon N\to \mathbb {R} ^{n}}, de tal manera que h(tú∗)=0{\displaystyle h(u^{*})=0}y de tal manera que en el vecindarionorte{\displaystyle N}el flujo dedtú/dt=F(tú){\displaystyle du/dt=f(u)}es topológicamente conjugado por la aplicación continuaU=h(tú){\displaystyle U=h(u)}al flujo de su linealizacióndU/dt=AU{\displaystyle dU/dt=AU}. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] Un resultado similar se cumple para mapas iterados y para puntos fijos de flujos o mapas en variedades.

Una mera conjugación topológica no proporciona información geométrica sobre el comportamiento cerca del equilibrio. De hecho, los entornos de dos equilibrios cualesquiera son topológicamente conjugados siempre que las dimensiones de las direcciones de contracción (autovalores negativos) coincidan y las dimensiones de las direcciones de expansión (autovalores positivos) también coincidan. [ 6 ] Pero la conjugación topológica en este contexto sí proporciona la imagen geométrica completa. En efecto, el retrato de fase no lineal cerca del equilibrio es una miniatura del retrato de fase del sistema linealizado. Este es el significado de los siguientes resultados de regularidad, y se ilustra con el equilibrio de silla en el ejemplo siguiente.

Incluso para mapas infinitamente diferenciablesF{\displaystyle f}, el homeomorfismoh{\displaystyle h}No es necesario que sea suave, ni siquiera localmente Lipschitz. Sin embargo, resulta ser continua de Hölder , con un exponente arbitrariamente cercano a 1. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] Además, en una superficie, es decir, en dimensión 2, el homeomorfismo linealizante y su inverso son continuamente diferenciables (con, como en el ejemplo siguiente, el diferencial en el equilibrio siendo la identidad) [ 4 ] pero no es necesario que seado2{\displaystyle C^{2}}. [ 11 ] Y en cualquier dimensión, siF{\displaystyle f}Si tiene derivada continua de Hölder, entonces el homeomorfismo linealizante es diferenciable en el equilibrio y su diferencial en el equilibrio es la identidad. [ 12 ] [ 13 ]

El teorema de Hartman-Grobman se ha extendido a espacios de Banach de dimensión infinita y sistemas no autónomos.dtú/dt=F(tú,t){\displaystyle du/dt=f(u,t)}(potencialmente estocástico), y para atender las diferencias topológicas que ocurren cuando hay valores propios con parte real cero o casi cero. [ 10 ] [ 8 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]

Ejemplo

El álgebra necesaria para este ejemplo se realiza fácilmente mediante un servicio web que calcula transformaciones de coordenadas en forma normal de sistemas de ecuaciones diferenciales, autónomas o no autónomas, deterministas o estocásticas . [ 19 ]

Consideremos el sistema 2D en variablestú=(y,z){\displaystyle u=(y,z)}evolucionando según el par de ecuaciones diferenciales acopladas

dydt=−3y+yzydzdt=z+y2.{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-3y+yz\quad {\text{y}}\quad {\frac {dz}{dt}}=z+y^{2}.}

Mediante cálculo directo se puede ver que el único equilibrio de este sistema se encuentra en el origen, es decirtú∗=0{\displaystyle u^{*}=0}. La transformación de coordenadas,tú=h−1(U){\displaystyle u=h^{-1}(U)}dóndeU=(Y,Z){\displaystyle U=(Y,Z)}, dado por

y≈Y+YZ+142Y3+12YZ2z≈Z−17Y2−13Y2Z{\displaystyle {\begin{aligned}y&\approx Y+YZ+{\tfrac {1}{42}}Y^{3}+{\tfrac {1}{2}}YZ^{2}\\[5pt]z&\approx Z-{\tfrac {1}{7}}Y^{2}-{\tfrac {1}{3}}Y^{2}Z\end{aligned}}}

es un mapa suave entre el originaltú=(y,z){\displaystyle u=(y,z)}y nuevoU=(Y,Z){\displaystyle U=(Y,Z)}coordenadas, al menos cerca del equilibrio en el origen. En las nuevas coordenadas el sistema dinámico se transforma en su linealización.

dYdt=−3YydZdt=Z.{\displaystyle {\frac {dY}{dt}}=-3Y\quad {\text{y}}\quad {\frac {dZ}{dt}}=Z.}

Es decir, una versión distorsionada de la linealización proporciona la dinámica original en un entorno finito.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Arrowsmith, DK; Place, CM (1992). «El teorema de linealización» . Sistemas dinámicos: ecuaciones diferenciales, mapas y comportamiento caótico . Londres: Chapman & Hall. págs. 77–81 . ISBN  978-0-412-39080-7.
  2. ^ Grobman, DM (1959). "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений" [ Homeomorfismos de sistemas de ecuaciones diferenciales ] . Doklady Akademii Nauk SSSR . 128 : 880–881 .
  3. ↑ Hartman, Philip (agosto de 1960). "Un lema en la teoría de la estabilidad estructural de ecuaciones diferenciales" . Proc. AMS . 11 (4): 610– 620. doi : 10.2307/2034720 . JSTOR 2034720 . 
  4. 1 2 Hartman, Philip (1960). "Sobre homeomorfismos locales de espacios euclidianos". Bol. Soc. Math. Mexicana . 5 : 220– 241.
  5. ↑ Chicone, C. (2006). Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones . Textos en matemáticas aplicadas. Vol. 34 (2.ª ed.). Springer. ISBN   978-0-387-30769-5.
  6. ↑ Katok, Anatole; Hasselblatt, Boris (1995). Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos . Cambridge University Press, Cambridge. pág. 262. doi : 10.1017/CBO9780511809187 . ISBN  0-521-34187-6.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
  7. ↑ Belitskii, Genrich; Rayskin, Victoria (2011). "Sobre el teorema de Grobman-Hartman en la clase α-Hölder para espacios de Banach" (PDF) . Documento de trabajo .
  8. 1 2 Barreira, Luis; Valls, Claudia (2007). "Linealización de Hölder Grobman-Hartman" . Sistemas dinámicos discretos y continuos. Serie A. 18 ( 1): 187– 197. doi : 10.3934/dcds.2007.18.187 .
  9. ↑ Zhang, Wenmeng; Zhang, Weinian (2016). "Linealización α-Hölder de difeomorfismos hiperbólicos con resonancia". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 36 (1): 310– 334. doi : 10.1017/etds.2014.51 .
  10. 1 2 Newhouse, Sheldon E. (2017). "Sobre un teorema de linealización diferenciable de Philip Hartman". Contemp. Math . Contemporary Mathematics. 692 : 209–262 . doi : 10.1090/conm/692 . ISBN 978-1-4704-2560-9.
  11. ↑ Sternberg, Shlomo (1957). "Contracciones locales y un teorema de Poincaré". American Journal of Mathematics . 79 (4): 809– 824. doi : 10.2307/2372437 . JSTOR 2372437 . 
  12. ↑ Guysinsky, Misha; Hasselblatt, Boris; Rayskin, Victoria (2003). "Diferenciabilidad de la linealización de Hartman-Grobman" . Sistemas dinámicos discretos y continuos. Serie A. 9 ( 4): 979– 984. doi : 10.3934/dcds.2003.9.979 .
  13. ↑ Lu, Kening; Zhang, Weinian; Zhang, Wenmeng (2017). "Diferenciabilidad de la conjugación en el teorema de Hartman-Grobman" . Transactions of the American Mathematical Society . 369 (7): 4995– 5030. doi : 10.1090/tran/6810 .
  14. ↑ Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). «Variedades integrales para ecuaciones diferenciales de tipo Carathéodory en espacios de Banach». En Aulbach, B.; Colonius, F. (eds.). Seis conferencias sobre sistemas dinámicos . Singapur: World Scientific. pp. 45–119 . ISBN  978-981-02-2548-3.
  15. ↑ Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "Foliaciones invariantes para ecuaciones diferenciales de tipo Carathéodory en espacios de Banach". En Lakshmikantham, V.; Martynyuk, AA (eds.). Avances en la teoría de la estabilidad a finales del siglo XX . Gordon & Breach. CiteSeerX 10.1.1.45.5229 . ISBN  978-0-415-26962-9.
  16. ↑ Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "El teorema de Hartman-Grobman para ecuaciones diferenciales de tipo Carathéodory en espacios de Banach". Non-linear Analysis . 40 ( 1– 8): 91– 104. doi : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .
  17. ↑ Roberts, AJ (2008). "Las transformaciones de forma normal separan los modos lentos y rápidos en sistemas dinámicos estocásticos". Physica A . 387 (1): 12– 38. arXiv : math/0701623 . Bibcode : 2008PhyA..387...12R . doi : 10.1016/j.physa.2007.08.023 . S2CID 13521020 . 
  18. ↑ Kvalheim, Matthew D.; Sontag, Eduardo D. (2025). "Linealización global de sistemas asintóticamente estables sin hiperbolicidad" . Systems & Control Letters . 203 106163. doi : 10.1016/j.sysconle.2025.106163 .
  19. ↑ Roberts, AJ (2007). "Forma normal de ecuaciones diferenciales multiescala estocásticas o deterministas" . Archivado del original el 9 de noviembre de 2013.

Lecturas adicionales

  • Irwin, Michael C. (2001). «Linealización» . Sistemas dinámicos suaves . World Scientific. págs. 109–142 . ISBN  981-02-4599-8.
  • Perko, Lawrence (2001). Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (Tercera  ed.). Nueva York: Springer. pp. 119–127 . ISBN  0-387-95116-4.
  • Robinson, Clark (1995). Sistemas dinámicos: estabilidad, dinámica simbólica y caos . Boca Raton: CRC Press. pp. 156–165 . ISBN  0-8493-8493-1.
  • Coayla-Teran, E.; Mohammed, S.; Ruffino, P. (febrero de 2007). "Teoremas de Hartman-Grobman a lo largo de trayectorias estacionarias hiperbólicas" . Sistemas dinámicos discretos y continuos . 17 (2): 281– 292. doi : 10.3934/dcds.2007.17.281 .
  • Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
  • "El teorema más adictivo de las matemáticas aplicadas" . Scientific American .