Método de ondas planas aumentadas linealizado

El método de ondas planas aumentadas linealizadas ( LAPW ) es una implementación de la teoría funcional de la densidad (DFT) de Kohn-Sham adaptada a la simulación de una amplia gama de propiedades de materiales periódicos . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Generalmente, se utiliza para tratar los electrones de valencia y de núcleo en igualdad de condiciones en el contexto de la DFT, así como para tratar el potencial completo y la densidad de carga sin ninguna aproximación de forma . A menudo se le denomina método de ondas planas aumentadas linealizadas de potencial completo para todos los electrones ( FLAPW ). ^{[ 4 ]} Emplea un conjunto de bases sistemáticamente extensible y no se basa en la aproximación de pseudopotencial . Estas características lo convierten en una de las implementaciones más precisas de la DFT, aplicable a todos los materiales cristalinos, independientemente de su composición química. Puede utilizarse como referencia para evaluar otros enfoques. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

En el núcleo de la teoría del funcional de la densidad, los teoremas de Hohenberg-Kohn establecen que cada observable de un sistema de muchos electrones interactuantes es un funcional de su densidad de carga del estado fundamental y que esta densidad minimiza la energía total del sistema. ^{[ 7 ]} Los teoremas no responden a la pregunta de cómo obtener dicha densidad del estado fundamental. Walter Kohn y Lu Jeu Sham proporcionan una receta para esto al introducir un sistema auxiliar de partículas no interactuantes construido de tal manera que comparte la misma densidad del estado fundamental que el sistema de partículas interactuantes. ^{[ 8 ]} Las ecuaciones tipo Schrödinger que describen este sistema son las ecuaciones de Kohn-Sham . Con estas ecuaciones se pueden calcular los autoestados del sistema y con estos la densidad. Una contribución a las ecuaciones de Kohn-Sham es el potencial efectivo que a su vez depende de la densidad. Dado que la densidad del estado fundamental se desconoce antes de un cálculo DFT de Kohn-Sham y es tanto un dato de entrada como de salida de dicho cálculo, las ecuaciones de Kohn-Sham se resuelven mediante un procedimiento iterativo, recalculando la densidad y el potencial en cada iteración. Se parte de una estimación inicial de la densidad y, tras cada iteración, se construye una nueva densidad como una combinación de la densidad de salida y las densidades anteriores. El cálculo finaliza cuando se encuentra un punto fijo de densidad autoconsistente, es decir, cuando la densidad de entrada y la de salida son idénticas. Esta es la densidad del estado fundamental.

Un método que implementa la teoría del funcional de la densidad de Kohn-Sham (DFT) debe realizar los diferentes pasos del algoritmo iterativo descrito. El método LAPW se basa en la partición de la celda unitaria del material en esferas no superpuestas pero casi contiguas, denominadas esferas de tipo "muffin-tin" (MT), centradas en los núcleos atómicos, y una región intersticial (IR) entre ellas. La descripción física y la representación de los orbitales de Kohn-Sham, la densidad de carga y el potencial se adaptan a esta partición. A continuación, se describe con mayor detalle el diseño de este método y la extracción de sus magnitudes. Se indican las variaciones y extensiones.

El aspecto central de las implementaciones prácticas de la DFT es la cuestión de cómo resolver las ecuaciones de Kohn-Sham.

${\displaystyle \left[{\hat {T}}_{\text{s}}+V_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\right]\left|\Psi _{j}^{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\right\rangle =\epsilon _{j}^{\mathbf {k} }\left|\Psi _{j}^{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\right\rangle }$

con el operador de energía cinética de un solo electrón${\displaystyle {\hat {T}}_{\text{s}}}$, el potencial efectivo${\displaystyle V_{\text{eff}}(\mathbf {r} )}$Kohn-Sham afirma${\displaystyle \Psi _{j}^{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$, autovalores de energía${\displaystyle \epsilon _ {j}^{\mathbf {k} }}$y vectores de posición y de Bloch${\displaystyle \mathbf {r} }$y${\displaystyle \mathbf {k} }$Si bien en las evaluaciones abstractas de la DFT de Kohn-Sham el modelo para la contribución de intercambio-correlación al potencial efectivo es la única aproximación fundamental, en la práctica la resolución de las ecuaciones de Kohn-Sham conlleva la introducción de muchas aproximaciones adicionales. Estas incluyen la incompletitud del conjunto de base utilizado para representar los orbitales de Kohn-Sham, la elección de si usar la aproximación de pseudopotencial o considerar todos los electrones en el esquema DFT, el tratamiento de los efectos relativistas y posibles aproximaciones de forma al potencial. Más allá de la partición de la celda unitaria, para el método LAPW el aspecto central del diseño es el uso del conjunto de base LAPW.${\displaystyle \left\lbrace \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }(\mathbf {r} )\right\rbrace }$para representar los orbitales de electrones de valencia como

${\displaystyle \left|\Psi _{j}^{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\right\rangle =\sum \limits _{\mathbf {G} }c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\left|\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }(\mathbf {r} )\right\rangle ,}$

dónde${\displaystyle c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }}$son los coeficientes de expansión. La base LAPW está diseñada para permitir una representación precisa de los orbitales y un modelado exacto de la física en cada región de la celda unitaria.

Considerando una celda unitaria de volumen${\displaystyle \Omega }$átomos que cubren${\displaystyle \alpha }$en posiciones${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\alpha }}$Una función base LAPW se caracteriza por un vector de red recíproca.${\displaystyle \mathbf {G} }$y el vector de Bloch considerado${\displaystyle \mathbf {k} }$Se da como

${\displaystyle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }(\mathbf {r} )=\left\lbrace {\begin{array}{l l}{\frac {1}{\sqrt {\Omega }}}e^{i(\mathbf {k} +\mathbf {G} )\mathbf {r} }&{\text{for }}\mathbf {r} {\text{ in IR}}\\\sum \limits _{l=0}^{l_{{\text{max}},\alpha }}\sum \limits _{m=-l}^{l}\left[a_{l,m}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} ,\alpha }u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })+b_{l,m}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} ,\alpha }{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right]Y_{l,m}(\mathbf {\hat {r}} _{\alpha })&{\text{for }}\mathbf {r} {\text{ in MT}}_{\alpha }\end{array}}\right.,}$

dónde${\displaystyle \mathbf {r} _{\alpha }=\mathbf {r} -{\boldsymbol {\tau }}_{\alpha }}$es el vector de posición relativo a la posición del núcleo atómico${\displaystyle \alpha }$Por lo tanto, una función base LAPW es una onda plana en el IR y una combinación lineal de las funciones radiales.${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$y${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$multiplicado por armónicos esféricos${\displaystyle Y_{l,m}}$en cada esfera MT. La función radial${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$es por aquí la solución del hamiltoniano de Kohn-Sham para el potencial promediado esféricamente con comportamiento regular en el núcleo para el parámetro de energía dado${\displaystyle E_{l,\alpha }}$Junto con su derivado energético${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$Estas ampliaciones de la onda plana en cada esfera MT permiten una representación de los orbitales de Kohn-Sham en autoenergías arbitrarias linealizadas alrededor de los parámetros de energía. Los coeficientes${\displaystyle a_{l,m}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} ,\alpha }}$y${\displaystyle b_{l,m}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} ,\alpha }}$se determinan automáticamente al imponer que la función base sea continuamente diferenciable para el respectivo${\displaystyle (l,m)}$canal. El conjunto de funciones base LAPW se define especificando un parámetro de corte.${\displaystyle K_{\text{max}}=|\mathbf {k} +\mathbf {G} |_{\text{max}}}$En cada esfera MT, la expansión en armónicos esféricos está limitada a un número máximo de momentos angulares.${\displaystyle l_{{\text{max}},\alpha }\approx K_{\text{max}}R_{{\text{MT}}_{\alpha }}}$, dónde${\displaystyle R_{{\text{MT}}_{\alpha }}}$es el radio del átomo en forma de molde para magdalenas${\displaystyle \alpha }$La elección de este límite está relacionada con la disminución de los coeficientes de expansión para el crecimiento${\displaystyle l}$en la expansión de Rayleigh de ondas planas en armónicos esféricos.

Mientras que las funciones base LAPW se utilizan para representar los estados de valencia , los estados de electrones centrales , que están completamente confinados dentro de una esfera MT, se calculan para el potencial promediado esféricamente en rejillas radiales, para cada átomo por separado aplicando condiciones de contorno atómicas. Los estados semicore, que aún están localizados pero ligeramente extendidos más allá del límite de la esfera MT, pueden tratarse como estados de electrones centrales o como estados de electrones de valencia. Para esta última opción, la representación linealizada no es suficiente porque la autoenergía relacionada suele estar lejos de los parámetros de energía. Para resolver este problema, la base LAPW puede extenderse con funciones base adicionales en la esfera MT correspondiente, los llamados orbitales locales (LO). ^{[ 9 ]} Estos están diseñados para proporcionar una representación precisa de los estados semicore.

La forma de onda plana de las funciones base en la región intersticial hace que la configuración de la matriz hamiltoniana sea sencilla.

${\displaystyle H_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}{\hat {H}}{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle =\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}{\hat {T}}_{\text{s}}+V_{\text{eff}}(\mathbf {r} ){\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle }$

Para esa región, es sencillo. En las esferas MT, esta configuración también es sencilla y computacionalmente económica para la energía cinética y el potencial promediado esféricamente, por ejemplo, en la aproximación de muffin-tin . La simplicidad aquí proviene de la conexión de las funciones radiales con el hamiltoniano esférico en las esferas.${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }}$, es decir,${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle }$y${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{sphr}}^{\alpha }\left|{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle =E_{l,\alpha }\left|{\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle +\left|u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })\right\rangle }$En comparación con la aproximación MT, para la descripción de potencial completo (FLAPW) se agregan contribuciones de la parte no esférica del potencial a la matriz hamiltoniana en las esferas MT y en las contribuciones IR relacionadas con desviaciones del potencial constante.

Después de la matriz hamiltoniana${\displaystyle H_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }}$junto con la matriz de superposición${\displaystyle S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }=\left\langle \phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G'} }{\Big |}\phi _{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }\right\rangle }$Una vez configurado, los orbitales de Kohn-Sham se obtienen como autofunciones a partir del problema algebraico generalizado de valores propios hermitianos densos.

${\displaystyle \sum \limits _{\mathbf {G} }H_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }=\epsilon _{j}^{\mathbf {k} }\sum \limits _{\mathbf {G} }S_{\mathbf {G'} ,\mathbf {G} }^{\mathbf {k} }c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }~~,}$

dónde${\displaystyle \epsilon _{j}^{\mathbf {k} }}$es el valor propio de energía del j-ésimo estado de Kohn-Sham en el vector de Bloch${\displaystyle {\mathbf {k} }}$y el estado viene dado como se indica anteriormente por los coeficientes de expansión${\displaystyle c_{j}^{\mathbf {k} ,\mathbf {G} }}$.

El grado de relatividad considerado difiere para los electrones internos y de valencia. La fuerte localización de los electrones internos debido a la singularidad del potencial efectivo en el núcleo atómico está relacionada con grandes contribuciones de energía cinética y, por lo tanto, un tratamiento totalmente relativista es deseable y común. Para la determinación de las funciones radiales${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$y${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$El enfoque común es hacer una aproximación a la descripción totalmente relativista. Esta puede ser la aproximación escalar-relativista ^{[ 10 ] [ 11 ]} (SRA) o enfoques similares. ^{[ 12 ] [ 13 ]} El efecto dominante que se omite en estas aproximaciones es el acoplamiento espín-órbita . Como se indicó anteriormente, la construcción de la matriz hamiltoniana dentro de dicha aproximación es trivial. El acoplamiento espín-órbita puede incluirse adicionalmente, aunque esto lleva a una configuración de matriz hamiltoniana más compleja o a un segundo esquema de variación, ^{[ 14 ] [ 15 ]} conectado a mayores demandas computacionales. En la región intersticial es razonable y común describir los electrones de valencia sin considerar efectos relativistas.

Tras calcular las autofunciones de Kohn-Sham, el siguiente paso consiste en construir la densidad de carga electrónica ocupando los autoestados de energía más bajos hasta el nivel de Fermi con electrones. El nivel de Fermi se determina en este proceso manteniendo la neutralidad de carga en la celda unitaria. La densidad de carga resultante${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$luego tiene una forma específica de la región

${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\left\{{\begin{array}{l l}\sum \limits _{\mathbf {G} }\rho _{\mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \mathbf {r} }&{\text{for }}\mathbf {r} {\text{ in IR}}\\\sum \limits _{l=0}^{l_{{\text{max}},\alpha }}\sum \limits _{m=-l}^{l}\rho _{l,m}^{\alpha }(r_{\alpha })Y_{l,m}(\mathbf {\hat {r}} _{\alpha })&{\text{for }}\mathbf {r} {\text{ in MT}}_{\alpha }\end{array}}\right.,}$

Es decir, se presenta como una expansión en ondas planas en la región intersticial y como una expansión en funciones radiales multiplicadas por armónicos esféricos en cada esfera MT. Las funciones radiales se proporcionan numéricamente en una malla.

La representación del potencial efectivo sigue el mismo esquema. En su construcción, un enfoque común es emplear el método de Weinert para resolver la ecuación de Poisson . ^{[ 16 ]} Este método proporciona de manera eficiente y precisa una solución de la ecuación de Poisson sin aproximación de forma para una densidad de carga periódica arbitraria, basándose en el concepto de potenciales multipolares y el problema de contorno para una esfera.

Debido a que se basan en el mismo marco teórico, las distintas implementaciones de la DFT ofrecen acceso a conjuntos de propiedades de los materiales muy similares. Sin embargo, las variaciones en las implementaciones dan lugar a diferencias en la facilidad para extraer ciertas magnitudes y también en su interpretación. A continuación, se describen estas circunstancias con algunos ejemplos.

La magnitud más básica que proporciona la DFT es la energía total del estado fundamental de un sistema investigado. Para evitar el cálculo de derivadas de las autofunciones en su evaluación, la implementación común ^{[ 17 ]} reemplaza el valor esperado del operador de energía cinética por la suma de las energías de banda de los estados de Kohn-Sham ocupados menos la energía debida al potencial efectivo. La fuerza ejercida sobre un átomo, que viene dada por el cambio de la energía total debido a un desplazamiento infinitesimal, tiene dos contribuciones principales. La primera contribución se debe al desplazamiento del potencial. Se conoce como fuerza de Hellmann-Feynman . La otra contribución, computacionalmente más elaborada, se debe al cambio relacionado en las funciones base dependientes de la posición del átomo. A menudo se la denomina fuerza de Pulay ^{[ 18 ]} y requiere una implementación específica del método. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Además de las fuerzas, también se necesitan implementaciones específicas del método similares para otras magnitudes derivadas del funcional de energía total. Para el método LAPW, se han realizado formulaciones para el tensor de tensión ^{[ 21 ]} y para los fonones ^{[ 22 ] .}

Independientemente del tamaño real de un átomo, la evaluación de cantidades dependientes del átomo en LAPW se interpreta a menudo como el cálculo de la cantidad en la esfera MT correspondiente. Esto se aplica a cantidades como cargas en los átomos, momentos magnéticos o proyecciones de la densidad de estados o la estructura de bandas sobre un determinado carácter orbital en un átomo dado. Las interpretaciones que difieren de los experimentos u otras implementaciones de DFT pueden generar diferencias al comparar resultados. Cabe mencionar que algunas entradas de LAPW específicas del átomo también se relacionan directamente con la región MT correspondiente. Por ejemplo, en el enfoque DFT+U, el parámetro de Hubbard U solo afecta a la esfera MT. ^{[ 23 ]}

Una ventaja del método LAPW es la inclusión de todos los electrones en el cálculo DFT, lo cual es crucial para la evaluación de ciertas magnitudes. Una de ellas son los parámetros de interacción hiperfina, como los gradientes del campo eléctrico , cuyo cálculo implica la evaluación de la curvatura del potencial de Coulomb de todos los electrones cerca de los núcleos. La predicción de dichas magnitudes con LAPW es muy precisa. ^{[ 24 ]}

La DFT de Kohn-Sham no proporciona acceso directo a todas las cantidades que podrían interesarle. Por ejemplo, la mayoría de los autovalores de energía de los estados de Kohn-Sham no están directamente relacionados con el sistema real de muchos electrones interactuantes. Por lo tanto, para la predicción de propiedades ópticas, a menudo se utilizan códigos DFT en combinación con software que implementa la aproximación GW (GWA) a la teoría de perturbación de muchos cuerpos y, opcionalmente, la ecuación de Bethe-Salpeter (BSE) para describir excitones . Dicho software debe adaptarse a la representación utilizada en la implementación de DFT. Tanto la GWA como la BSE se han formulado en el contexto de LAPW y se utilizan varias implementaciones de dichas herramientas. ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} En otras situaciones de postprocesamiento, puede ser útil proyectar los estados de Kohn-Sham sobre funciones de Wannier . Para el método LAPW, dichas proyecciones también se han implementado ^{[ 28 ] [ 29 ]} y son de uso común.

• APW : El método de ondas planas aumentadas ^{[ 30 ]} es el predecesor de LAPW. Utiliza la solución radial del potencial promediado esféricamente para el aumento en las esferas MT. La derivada energética de esta función radial no interviene. Esta falta de linealización implica que el aumento debe adaptarse a cada estado de Kohn-Sham individualmente, es decir, depende del vector de Bloch y del índice de banda, lo que posteriormente conduce a un problema de valores propios no lineal y dependiente de la energía. En comparación con LAPW, este es un problema más complejo de resolver. También se ha formulado una generalización relativista de este enfoque, RAPW. ^{[ 31 ]}
• Extensiones de orbitales locales : La base LAPW puede extenderse mediante orbitales locales ^{[ 9 ]} (LO). Estas son funciones base adicionales que tienen valores distintos de cero solo en una única esfera MT. Están compuestas por las funciones radiales.${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$,${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$y una tercera función radial diseñada para describir la física específica del caso de uso. Los LO se propusieron originalmente para la representación de estados semicore. Otros usos incluyen la representación de estados desocupados ^{[ 32 ] [ 33 ]} o la eliminación del error de linealización para los estados de valencia. ^{[ 34 ]}
• APW+lo : En el método APW+lo ^{[ 35 ] [ 36 ]} el aumento en las esferas MT solo consiste en la función${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$. Coincide con la onda plana en la región intersticial solo en valor. Como implementación alternativa de la linealización, la función${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$Se incluye en el conjunto base como un orbital local adicional. Si bien las condiciones de coincidencia dan como resultado una discontinuidad no física en las funciones base en los límites de la esfera MT, una consideración cuidadosa de dicha discontinuidad en la construcción de la matriz hamiltoniana la suprime en las autofunciones de Kohn-Sham. En comparación con el método LAPW clásico, el enfoque APW+lo conduce a un conjunto base menos rígido. El resultado es una convergencia más rápida de los cálculos DFT con respecto al tamaño del conjunto base.
• Formulación de Soler-Williams de LAPW : En la formulación de Soler-Williams de LAPW ^{[ 37 ]} , las ondas planas cubren toda la celda unitaria. En las esferas MT, el aumento se implementa reemplazando, hasta el límite de momento angular, las ondas planas por las funciones.${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$y${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$. Esto produce funciones base continuamente diferenciables también en el${\displaystyle (l,m)}$canales por encima del límite de momento angular. En consecuencia, el enfoque de Soler-Williams ha reducido los requisitos de límite de momento angular en comparación con la formulación LAPW clásica.
• ELAPW : En el método LAPW extendido ^{[ 38 ] [ 39 ]} pares de orbitales locales que introducen las funciones${\displaystyle u_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha }^{\text{lo}})}$y${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha }^{\text{lo}})}$se añaden a la base LAPW. Los parámetros de energía${\displaystyle E_{l,\alpha }^{\text{lo}}}$se eligen para extender sistemáticamente la región de energía en la que los estados de Kohn-Sham se describen con precisión mediante la linealización en LAPW.
• QAPW : En el método APW cuadrático ^{[ 40 ] [ 41 ],} el aumento en las esferas MT incluye adicionalmente la segunda derivada de la energía.${\displaystyle {\ddot {u}}_{l,\alpha }(r_{\alpha },E_{l,\alpha })}$El ajuste en los límites de la esfera MT se realiza imponiendo la continuidad de las funciones base en valor, pendiente y curvatura. Esto es similar al método APW superlinealizado (SLAPW) en el que las funciones radiales${\displaystyle u_{l,\alpha }}$y/o sus derivados${\displaystyle {\dot {u}}_{l,\alpha }}$Se utilizan más de un parámetro de energía para la ampliación. ^{[ 9 ]} En comparación con una base LAPW pura, estos enfoques pueden representar con precisión los orbitales de Kohn-Sham en una ventana de energía más amplia alrededor de los parámetros de energía. El inconveniente es que las condiciones de ajuste más estrictas dan lugar a un conjunto de base más rígido.
• Sistemas de menor dimensión : La partición de la celda unitaria puede extenderse para incluir explícitamente regiones de vacío semiinfinitas con sus propias ampliaciones de las ondas planas. ^{[ 42 ]} Esto permite cálculos eficientes para sistemas de menor dimensión, como superficies y películas delgadas. Para el tratamiento de cadenas atómicas, se ha formulado una extensión a configuraciones unidimensionales. ^{[ 43 ]}

Existen varios proyectos de software que implementan el método LAPW y/o sus variantes. Algunos ejemplos de estos códigos son:

• Alce
• Emocionante
• Estilo ^{[ 44 ]}
• FLEUR
• HiLAPW
• Viena2k