Gravedad linealizada

En la teoría de la relatividad general , la gravedad linealizada es la aplicación de la teoría de perturbaciones al tensor métrico que describe la geometría del espaciotiempo . En consecuencia, la gravedad linealizada es un método eficaz para modelar los efectos de la gravedad cuando el campo gravitatorio es débil. El uso de la gravedad linealizada es fundamental para el estudio de las ondas gravitacionales y las lentes gravitacionales de campo débil .

aproximación de campo débil

Las ecuaciones de campo de Einstein (EFE) que describen la geometría del espacio-tiempo utilizando la convención de signos MTW, incluyendo la signatura métrica $(-+++)$ , son:

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }

dónde $R_{\mu \nu }$ es el tensor de Ricci , $R$ es el escalar de Ricci , $T_{\mu \nu }$ es el tensor energía-momento , $\kappa$ es la constante gravitacional de Einstein y $g_{\mu \nu }$ es el tensor métrico espaciotemporal que representa las soluciones de la ecuación.

Aunque sucinta cuando se escribe usando la notación de Einstein , ocultas dentro del tensor de Ricci y el escalar de Ricci hay dependencias excepcionalmente no lineales del tensor métrico que hacen que la perspectiva de encontrar soluciones exactas sea impracticable en la mayoría de los sistemas. Sin embargo, al describir sistemas para los cuales la curvatura del espaciotiempo es pequeña (lo que significa que los términos en la EFE que son cuadráticos en $g_{\mu \nu }$ no contribuyen significativamente a las ecuaciones de movimiento), se puede modelar la solución de las ecuaciones de campo como la métrica de Minkowski ^{[ nota 1 ]} $\eta _{\mu \nu }$ más un pequeño término de perturbación $h_{\mu \nu }$ . En otras palabras:

g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1.

En este régimen, sustituyendo la métrica general $g_{\mu \nu }$ Esta aproximación perturbativa da como resultado una expresión simplificada para el tensor de Ricci:

R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }),

dónde $h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ es la traza de la perturbación, $\partial _{\mu }$ denota la derivada parcial con respecto a la $x^{\mu }$ coordenada del espacio-tiempo y $\square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ es el operador d'Alembert .

Junto con el escalar de Ricci,

R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,

El lado izquierdo de la ecuación de campo se reduce a

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h).

y por lo tanto la EFE se reduce a una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden en términos de $h_{\mu \nu }$ .

Invariancia de calibre

El proceso de descomposición del espaciotiempo general $g_{\mu \nu }$ en la métrica de Minkowski más un término de perturbación no es único. Esto se debe a que diferentes elecciones de coordenadas pueden dar diferentes formas para $h_{\mu \nu }$ Para capturar este fenómeno, se introduce el concepto de simetría de gauge .

Las simetrías de gauge son un dispositivo matemático para describir un sistema que no cambia cuando el sistema de coordenadas subyacente se "desplaza" una cantidad infinitesimal. Por lo tanto, aunque la métrica de perturbación $h_{\mu \nu }$ no está definido de forma consistente entre diferentes sistemas de coordenadas, el sistema general que describe es .

Para capturar esto formalmente, la no unicidad de la perturbación $h_{\mu \nu }$ se representa como una consecuencia de la diversa colección de difeomorfismos en el espacio-tiempo que dejan $h_{\mu \nu }$ suficientemente pequeño. Por lo tanto, se requiere que $h_{\mu \nu }$ se define en términos de un conjunto general de difeomorfismos, luego se selecciona el subconjunto de estos que preserva la escala pequeña que requiere la aproximación de campo débil. Así se puede definir $\phi$ para denotar un difeomorfismo arbitrario que mapea el espaciotiempo plano de Minkowski al espaciotiempo más general representado por la métrica $g_{\mu \nu }$ . Con esto, la métrica de perturbación puede definirse como la diferencia entre el retroceso de $g_{\mu \nu }$ y la métrica de Minkowski:

h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }.

Los difeomorfismos $\phi$ Por lo tanto, puede elegirse de tal manera que $\vert h_{\mu \nu }\vert \ll 1$ .

Dado entonces un campo vectorial $\xi ^{\mu }$ definida en el espaciotiempo de fondo plano, una familia adicional de difeomorfismos $\psi _{\epsilon }$ pueden definirse como aquellos generados por $\xi ^{\mu }$ y parametrizado por ⁠ $\epsilon >0$ Estos nuevos difeomorfismos se utilizarán para representar las transformaciones de coordenadas para "desplazamientos infinitesimales", como se mencionó anteriormente. Junto con $\phi$ ⁠ , una familia de perturbaciones viene dada por

{\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}&=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\epsilon }^{*}\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}{\epsilon }}\right].\end{aligned}}

Por lo tanto, en el límite $\epsilon \rightarrow 0$ ⁠ ,

h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }

dónde ${\mathcal {L}}_{\xi }$ es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial ⁠ $\xi _{\mu }$ .

La derivada de Lie resulta en la transformación de calibre final de la métrica de perturbación . $h_{\mu \nu }$ :

h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }),

que definen con precisión el conjunto de métricas de perturbación que describen el mismo sistema físico. En otras palabras, caracteriza la simetría de gauge de las ecuaciones de campo linealizadas.

Elección del calibre

Aprovechando la invariancia de gauge, se pueden garantizar ciertas propiedades de la métrica de perturbación eligiendo un campo vectorial adecuado . $\xi ^{\mu }$ .

Calibre transversal

Para estudiar cómo la perturbación $h_{\mu \nu }$ Al distorsionar las mediciones de longitud, resulta útil definir el siguiente tensor espacial:

s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}\delta _{ij}

(Tenga en cuenta que los índices abarcan únicamente componentes espaciales : $i,j\in \{1,2,3\}$ ) . Por lo tanto, al usar ⁠ $s_{ij}$ ⁠ , los componentes espaciales de la perturbación se pueden descomponer como

h_{ij}=s_{ij}-\Psi \delta _{ij}

dónde $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$ .

El tensor $s_{ij}$ es, por construcción, sin traza y se denomina deformación ya que representa la cantidad en que la perturbación estira y contrae las mediciones del espacio . En el contexto del estudio de la radiación gravitacional , la deformación es particularmente útil cuando se utiliza con el calibre transversal. Este calibre se define eligiendo los componentes espaciales de $\xi ^{\mu }$ para satisfacer la relación

\nabla ^{2}\xi ^{j}+{\frac {1}{3}}\partial _{j}\partial _{i}\xi ^{i}=-\partial _{i}s^{ij},

luego eligiendo el componente de tiempo $\xi ^{0}$ para satisfacer

\nabla ^{2}\xi ^{0}=\partial _{i}h_{0i}+\partial _{0}\partial _{i}\xi ^{i}.

Tras realizar la transformación de calibre utilizando la fórmula de la sección anterior, la deformación se vuelve espacialmente transversal:

\partial _{i}s_{(\epsilon )}^{ij}=0,

con la propiedad adicional:

\partial _{i}h_{(\epsilon )}^{0i}=0.

Medidor síncrono

El calibre síncrono simplifica la métrica de perturbación al requerir que la métrica no distorsione las mediciones de tiempo. Más precisamente, el calibre síncrono se elige de tal manera que los componentes no espaciales de $h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}$ son cero, es decir

h_{0\nu }^{(\epsilon )}=0.

Esto se puede lograr al requerir el componente de tiempo de $\xi ^{\mu }$ para satisfacer

\partial _{0}\xi ^{0}=-h_{00}

y exigiendo que los componentes espaciales satisfagan

\partial _{0}\xi ^{i}=\partial _{i}\xi ^{0}-h_{0i}.

Medidor armónico

El calibre armónico (también conocido como calibre de Lorenz ^{[ nota 2 ]} ) se selecciona siempre que sea necesario reducir las ecuaciones de campo linealizadas tanto como sea posible. Esto se puede hacer si la condición

\partial _{\mu }h_{\nu }^{\mu }={\frac {1}{2}}\partial _{\nu }h

es cierto. Para lograr esto, $\xi _{\mu }$ es necesario para satisfacer la relación

\square \xi _{\mu }=-\partial _{\nu }h_{\mu }^{\nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h.

En consecuencia, al utilizar el calibre armónico, el tensor de Einstein $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ se reduce a

G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\square \left(h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }\right).

Por lo tanto, al escribirlo en términos de una métrica de "traza invertida" , ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$ ⁠ , las ecuaciones de campo linealizadas se reducen a

\square {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=-2\kappa T_{\mu \nu }.

Esto se puede resolver de forma exacta para producir las soluciones de onda que definen la radiación gravitacional .

Véase también

Notas

↑ Esto supone que el espaciotiempo de fondo es plano. La teoría de perturbaciones aplicada a un espaciotiempo que ya está curvado puede funcionar igual de bien cuando este término se reemplaza por la métrica que representa el fondo curvo.
↑ No confundir con Lorentz.

Lecturas adicionales

Carroll, Sean M. (2003). Espacio-tiempo y geometría: Una introducción a la relatividad general . Addison-Wesley. ISBN 978-0-805-38732-2.

Enlaces externos

Citas relacionadas con la gravedad linealizada en Wikiquote

[1] Esto supone que el espaciotiempo de fondo es plano. La teoría de perturbaciones aplicada a un espaciotiempo que ya está curvado puede funcionar igual de bien cuando este término se reemplaza por la métrica que representa el fondo curvo.

[2] No confundir con Lorentz.

[ nota 1 ]

[ nota 2 ]