Topología lineal

En álgebra , una topología lineal en un lado izquierdo${\displaystyle A}$-módulo${\displaystyle M}$es una topología en${\displaystyle M}$que es invariante bajo traslaciones y admite un sistema fundamental de vecindarios de${\displaystyle 0}$que consisten en submódulos de${\displaystyle M.}$^{[ 1 ]} Si existe tal topología,${\displaystyle M}$Se dice que está topologizado linealmente . Si${\displaystyle A}$Se le da una topología discreta, entonces${\displaystyle M}$se convierte en un topológico${\displaystyle A}$-módulo con respecto a una topología lineal.

Esta noción se utiliza con mayor frecuencia en álgebra que en análisis. De hecho, «[l]os espacios vectoriales topológicos con topología lineal forman una clase natural de espacios vectoriales topológicos sobre cuerpos discretos , análoga a la clase de espacios vectoriales topológicos localmente convexos sobre los cuerpos normados de números reales o complejos en análisis funcional ». ^{[ 2 ]}

El término "topología lineal" se remonta al trabajo de Lefschetz . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• Para cada número primo p ,${\displaystyle \mathbb {Z} }$está topologizado linealmente por el sistema fundamental de vecindarios${\displaystyle 0\in \cdots \subset p^{2}\mathbb {Z} \subset p\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} }$.
• Los espacios vectoriales topológicos que aparecen en el análisis funcional no suelen estar topologizados linealmente (ya que los subespacios no forman un sistema de vecindad).

• Bourbaki, N. (1972). Álgebra conmutativa (Vol. 8). Hermann.