Complemento del nudo

El complemento del nudo desenredado es homeomorfo a un toro sólido. Nótese que, si bien el nudo desenredado puede representarse como un toro, el agujero en el nudo desenredado corresponde a la región sólida del complemento, mientras que el nudo en sí es el agujero en el complemento. Esto está relacionado con la descomposición trivial de Heegaard de la 3-esfera en dos toros sólidos.

En matemáticas , el complemento de un nudo manso K es el espacio donde el nudo no está. Si un nudo está incrustado en la 3-esfera , entonces el complemento es la 3-esfera menos el espacio cerca del nudo. Para precisar esto, supongamos que K es un nudo en una variedad tridimensional M (generalmente, M es la 3-esfera ). Sea N un entorno tubular de K ; entonces N es un toro sólido . El complemento del nudo es entonces el complemento de N.

${\displaystyle X_{K}=M-{\mbox{interior}}(N).}$

El complemento del nudo X _K es una 3-variedad compacta ; el límite de X _K y el límite del entorno N son homeomorfos a un two- toro . A veces, la variedad ambiente M se entiende como la 3-esfera . Se necesita contexto para determinar su uso. Existen definiciones análogas para el complemento del enlace .

Muchos invariantes de nudos , como el grupo de nudos , son en realidad invariantes del complemento del nudo. Cuando el espacio ambiente es la esfera tridimensional, no se pierde información: el teorema de Gordon-Luecke establece que un nudo está determinado por su complemento. Es decir, si K y K ′ son dos nudos con complementos homeomorfos , entonces existe un homeomorfismo de la esfera tridimensional que transforma un nudo en el otro.

Los complementos de nudos son variedades de Haken . ^{[ 1 ]} De manera más general, los complementos de enlaces son variedades de Haken.

• Género de nudos
• Superficie de Seifert

• C. Gordon y J. Luecke, "Los nudos están determinados por sus complementos", J. Amer. Math. Soc. , 2 (1989), 371 – 415.