Teorema de Linnik

El teorema de Linnik en la teoría analítica de números responde a una pregunta natural después del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . Afirma que existen c y L positivos tales que, si denotamos p( a , d ) el menor primo en la progresión aritmética.

${\displaystyle a+nd,\ }$

donde n recorre los enteros positivos y a y d son dos enteros positivos coprimos cualesquiera tales que 1 ≤ a ≤ d − 1, entonces:

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)<cd^{L}.\;}$

El teorema lleva el nombre de Yuri Vladimirovich Linnik , quien lo demostró en 1944. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Aunque la demostración de Linnik mostró que c y L son efectivamente computables , no proporcionó valores numéricos para ellos.

Del teorema de Zsigmondy se deduce que p(1, d ) ≤ 2 ^d − 1, para todo d ≥ 3. Se sabe que p(1, p ) ≤ L _p , para todos los primos p ≥ 5, ya que L _p es congruente con 1 módulo p para todos los números primos p , donde L _p denota el p - ésimo número de Lucas . Al igual que los números de Mersenne , los números de Lucas con índices primos tienen divisores de la forma 2 kp +1.

Se sabe que L ≤ 2 para casi todos los enteros d . ^{[ 3 ]}

Según la hipótesis generalizada de Riemann, se puede demostrar que

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)\leq (1+o(1))\varphi (d)^{2}(\log d)^{2}\;,}$

dónde${\displaystyle \varphi }$es la función totiente , ^{[ 4 ]} y el límite más fuerte

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)\leq \varphi (d)^{2}(\log d)^{2}\;,}$

También se ha demostrado. ^{[ 5 ]}

También se conjetura que:

${\displaystyle \operatorname {p} (a,d)<d^{2}.\;}$^{[ 4 ]}

La constante L se llama constante de Linnik ^{[ 6 ]} y la siguiente tabla muestra el progreso que se ha logrado en la determinación de su tamaño.

Además, en el resultado de Heath-Brown, la constante c es efectivamente computable.