Distribución geométrica estable

Una distribución geométrica estable o distribución geoestable es un tipo de distribución de probabilidad leptocúrtica . ^{[ 1 ]} Estas distribuciones son análogas a las distribuciones estables para el caso en que el número de sumandos es aleatorio, independiente de la distribución del sumando y tiene una distribución geométrica. La distribución geométrica estable puede ser simétrica o asimétrica. Una distribución geométrica estable simétrica también se conoce como distribución de Linnik . ^{[ 2 ]} La distribución de Laplace y la distribución de Laplace asimétrica son casos especiales de la distribución geométrica estable. La distribución de Mittag-Leffler también es un caso especial de una distribución geométrica estable. ^{[ 3 ]}

La distribución geométrica estable tiene aplicaciones en la teoría financiera. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Para la mayoría de las distribuciones geométricamente estables, la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa no tienen una forma cerrada. Sin embargo, una distribución geométricamente estable puede definirse mediante su función característica , que tiene la forma: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }\omega -i\mu t]^{-1}}$

dónde${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)\,\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log |t|\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$.

El parámetro${\displaystyle \alpha }$, que debe ser mayor que 0 y menor o igual que 2, es el parámetro de forma o índice de estabilidad, que determina cuán pesadas son las colas. ^{[ 8 ]} Menor${\displaystyle \alpha }$corresponde a colas más pesadas .

El parámetro${\displaystyle \beta }$, que debe ser mayor o igual que −1 y menor o igual que 1, es el parámetro de asimetría. ^{[ 8 ]} Cuando${\displaystyle \beta }$es negativo la distribución está sesgada hacia la izquierda y cuando${\displaystyle \beta }$es positivo la distribución está sesgada hacia la derecha. Cuando${\displaystyle \beta }$es cero la distribución es simétrica y la función característica se reduce a: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}}$.

La distribución estable geométrica simétrica con${\displaystyle \mu =0}$También se la conoce como distribución de Linnik. ^{[ 9 ]} Una distribución geométrica estable completamente asimétrica, es decir, con${\displaystyle \beta =1}$,${\displaystyle \alpha <1}$, con${\displaystyle 0<\mu <1}$También se la conoce como distribución de Mittag-Leffler. ^{[ 10 ]} Aunque${\displaystyle \beta }$determina la asimetría de la distribución, no debe confundirse con el coeficiente de asimetría típico o el tercer momento estandarizado , que en la mayoría de los casos no está definido para una distribución geométricamente estable.

El parámetro${\displaystyle \lambda >0}$se denomina parámetro de escala y${\displaystyle \mu }$es el parámetro de ubicación. ^{[ 8 ]}

Cuando${\displaystyle \alpha }$= 2,${\displaystyle \beta }$= 0 y${\displaystyle \mu }$= 0 (es decir, una distribución geométrica estable simétrica o distribución de Linnik con${\displaystyle \alpha }$=2), la distribución se convierte en la distribución de Laplace simétrica con media de 0, ^{[ 9 ]} que tiene una función de densidad de probabilidad de:

${\displaystyle f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!}$.

La distribución de Laplace tiene una varianza igual a${\displaystyle 2\lambda ^{2}}$Sin embargo, para${\displaystyle \alpha <2}$La varianza de la distribución geométrica estable es infinita.

Una distribución estable tiene la propiedad de que si${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tomadas de dicha distribución, la suma${\displaystyle Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}}$tiene la misma distribución que la${\displaystyle X_{i}}$es para algunos${\displaystyle a_{n}}$y${\displaystyle b_{n}}$.

Las distribuciones geométricamente estables tienen una propiedad similar, pero donde el número de elementos en la suma es una variable aleatoria con distribución geométrica . Si${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tomadas de una distribución geométrica estable, el límite de la suma${\displaystyle Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}}$se aproxima a la distribución de la${\displaystyle X_{i}}$es para algunos coeficientes${\displaystyle a_{N_{p}}}$y${\displaystyle b_{N_{p}}}$a medida que p se acerca a 0, donde${\displaystyle N_{p}}$es una variable aleatoria independiente de la${\displaystyle X_{i}}$se toma de una distribución geométrica con parámetro p. ^{[ 5 ]} En otras palabras:

${\displaystyle \Pr(N_{p}=n)=(1-p)^{n-1}\,p\,.}$

La distribución es estrictamente geométricamente estable solo si la suma${\displaystyle Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})}$igual a la distribución de la${\displaystyle X_{i}}$es para algunos un . ^{[ 4 ]} 

También existe una relación entre la función característica de la distribución estable y la función característica de la distribución estable geométrica. La distribución estable tiene una función característica de la forma:

${\displaystyle \Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=\exp \left[~it\mu \!-\!|\lambda t|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \operatorname {sign} (t)\Omega )~\right],}$

dónde

${\displaystyle \Omega ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1,\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1.\end{cases}}}$

La función característica geométrica estable puede expresarse en términos de una función característica estable como: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1-\log(\Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu ))]^{-1}.}$

• distribución de Mittag-Leffler