Sistema dinámico de Liouville

Supongamos que los centros de atracción fijos están situados a lo largo del eje x en ± a . La energía potencial de la partícula en movimiento viene dada por

${\displaystyle V(x,y)={\frac {-\mu _{1}}{\sqrt {\left(xa\right)^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sqrt {\left(x+a\right)^{2}+y^{2}}}}.}$

Los dos centros de atracción pueden considerarse como los focos de un conjunto de elipses. Si alguno de los centros estuviera ausente, la partícula se movería sobre una de estas elipses, como solución del problema de Kepler . Por lo tanto, según el teorema de Bonnet , las mismas elipses son las soluciones del problema del bicentro.

Introduciendo coordenadas elípticas ,

${\displaystyle x=a\cosh \xi \cos \eta ,}$

${\displaystyle y=a\sinh \xi \sin \eta ,}$

La energía potencial se puede escribir como

${\displaystyle V(\xi ,\eta )={\frac {-\mu _{1}}{a\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}}-{\frac {\mu _{2}}{a\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)}}={\frac {-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}{a\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)}},}$

y la energía cinética como

${\displaystyle T={\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}\right).}$

Este es un sistema dinámico de Liouville si ξ y η se toman como φ ₁ y φ ₂ , respectivamente; por lo tanto, la función Y es igual a

${\displaystyle Y=\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta }$

y la función W es igual a

${\displaystyle W=-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}$

Utilizando la solución general para un sistema dinámico de Liouville que se muestra a continuación, se obtiene:

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\xi }}^{2}=E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }$

${\displaystyle {\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\eta }}^{2}=-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }$

Introduciendo un parámetro u mediante la fórmula

${\displaystyle du={\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}={\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}},}$

proporciona la solución paramétrica

${\displaystyle u=\int {\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}=\int {\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}}.}$

Dado que se trata de integrales elípticas , las coordenadas ξ ​​y η pueden expresarse como funciones elípticas de u .

El problema bicéntrico tiene una constante de movimiento , a saber,

${\displaystyle r_{1}^{2}\,r_{2}^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}+2\,c\left(\mu _{1}\cos \theta _{1}-\mu _{2}\cos \theta _{2}\right),}$

a partir de lo cual el problema puede resolverse utilizando el método del último multiplicador.

Para eliminar las funciones v , las variables se cambian a un conjunto equivalente.

${\displaystyle \varphi _{r}=\int dq_{r}{\sqrt {v_{r}(q_{r})}},}$

dando la relación

${\displaystyle v_{1}(q_{1}){\dot {q}}_{1}^{2}+v_{2}(q_{2}){\dot {q}}_{2}^{2}+\cdots +v_{s}(q_{s}){\dot {q}}_{s}^{2}={\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\dot {\varphi }}_{2}^{2}+\cdots +{\dot {\varphi }}_{s}^{2}=F,}$

que define una nueva variable F. Usando las nuevas variables, las funciones u y w pueden expresarse mediante funciones equivalentes χ y ω. Denotando la suma de las funciones χ por Y ,

${\displaystyle Y=\chi _{1}(\varphi _{1})+\chi _{2}(\varphi _{2})+\cdots +\chi _{s}(\varphi _{s}),}$

La energía cinética se puede escribir como

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}YF.}$

De manera similar, denotamos la suma de las funciones ω por W

${\displaystyle W=\omega _{1}(\varphi _{1})+\omega _{2}(\varphi _{2})+\cdots +\omega _{s}(\varphi _{s}),}$

La energía potencial V se puede escribir como

${\displaystyle V={\frac {W}{Y}}.}$

La ecuación de Lagrange para la r- ^ésima variable${\displaystyle \varphi _{r}}$es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {\varphi }}_{r}}}\right)={\frac {d}{dt}}\left(Y{\dot {\varphi }}_{r}\right)={\frac {1}{2}}F{\frac {\partial Y}{\partial \varphi _{r}}}-{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{r}}}.}$

Multiplicando ambos lados por${\displaystyle 2Y{\dot {\varphi }}_{r}}$Reordenando y explotando la relación 2 T = YF se obtiene la ecuación

${\displaystyle 2Y{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {d}{dt}}\left(Y{\dot {\varphi }}_{r}\right)=2T{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial Y}{\partial \varphi _{r}}}-2Y{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{r}}}=2{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial }{\partial \varphi _{r}}}\left[(E-V)Y\right],}$

que puede escribirse como

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(Y^{2}{\dot {\varphi }}_{r}^{2}\right)=2E{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial Y}{\partial \varphi _{r}}}-2{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial W}{\partial \varphi _{r}}}=2E{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {d\chi _{r}}{d\varphi _{r}}}-2{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {d\omega _{r}}{d\varphi _{r}}},}$

donde E = T + V es la energía total (conservada). De ello se deduce que

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(Y^{2}{\dot {\varphi }}_{r}^{2}\right)=2{\frac {d}{dt}}\left(E\chi _{r}-\omega _{r}\right),}$

que pueden integrarse una vez para producir

${\displaystyle {\frac {1}{2}}Y^{2}{\dot {\varphi }}_{r}^{2}=E\chi _{r}-\omega _{r}+\gamma _{r},}$

donde el${\displaystyle \gamma _{r}}$son constantes de integración sujetas a la conservación de la energía

${\displaystyle \sum _{r=1}^{s}\gamma _{r}=0.}$

Invirtiendo, tomando la raíz cuadrada y separando las variables se obtiene un conjunto de ecuaciones separablemente integrables:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{Y}}dt={\frac {d\varphi _{1}}{\sqrt {E\chi _{1}-\omega _{1}+\gamma _{1}}}}={\frac {d\varphi _{2}}{\sqrt {E\chi _{2}-\omega _{2}+\gamma _{2}}}}=\cdots ={\frac {d\varphi _{s}}{\sqrt {E\chi _{s}-\omega _{s}+\gamma _{s}}}}.}$