función de Liouville

En matemáticas , las funciones de Liouville comprenden un conjunto de funciones que incluyen las funciones elementales y sus integrales repetidas . Las funciones de Liouville pueden definirse recursivamente como integrales de otras funciones de Liouville.

Más explícitamente, una función de Liouville es una función de una variable que es la composición de un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, exponenciación y extracción de raíces) y antiderivadas . La función logarítmica no necesita incluirse explícitamente ya que es la integral de . ${\displaystyle 1/x}$

De la definición se deduce directamente que el conjunto de funciones de Liouville es cerrado bajo operaciones aritméticas, composición e integración. También es cerrado bajo diferenciación . No es cerrado bajo límites ni sumas infinitas .

Las funciones de Liouville fueron introducidas por Joseph Liouville en una serie de artículos publicados entre 1833 y 1841.

Todas las funciones elementales son de Liouville.

Ejemplos de funciones bien conocidas que son de Liouville pero no elementales son las antiderivadas no elementales , por ejemplo:

• La función de error ,${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,}$
• Las integrales exponencial ( Ei ), logarítmica ( Li o li ) y de Fresnel ( S y C ).

Todas las funciones de Liouville son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas , pero no a la inversa. Ejemplos de funciones que son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas pero no de Liouville incluyen: ^{[ 1 ]}

• las funciones de Bessel (excepto casos especiales);
• las funciones hipergeométricas (excepto casos especiales).

Ejemplos de funciones que no son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas y, por lo tanto, no son de Liouville, incluyen todas las funciones trascendentalmente trascendentales , tales como:

• la función gamma ;
• la función zeta .

• Expresión en forma cerrada  : fórmula matemática que involucra un conjunto dado de operaciones.
• Teoría de Galois diferencial  : estudio de los grupos de simetría de Galois de campos diferenciales.
• Teorema de Liouville (álgebra diferencial)  : criterio para la integración en términos de funciones elementales.
• Integral no elemental  : Integrales que no se pueden expresar en forma cerrada a partir de funciones elementales.
• Teoría de Picard-Vessiot  : estudio de las extensiones de campo diferenciales inducidas por ecuaciones diferenciales lineales.

• Davenport, JH (2007). «¿Qué podría significar “comprender una función”?». En Kauers, M.; Kerber, M.; Miner, R.; Windsteiger, W. (eds.). Hacia asistentes matemáticos mecanizados . Berlín/Heidelberg: Springer. pp.  55–65 . ISBN 978-3-540-73083-5.