dominio de Lipschitz

En matemáticas , un dominio de Lipschitz (o dominio con frontera de Lipschitz ) es un dominio en el espacio euclidiano cuya frontera es "suficientemente regular" en el sentido de que puede considerarse localmente como la gráfica de una función continua de Lipschitz . El término recibe su nombre del matemático alemán Rudolf Lipschitz .

Dejar${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Dejar${\displaystyle \Omega }$ser un dominio de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y dejar${\displaystyle \partial \Omega }$denotan el límite de${\displaystyle \Omega }$. Entonces${\displaystyle \Omega }$Se denomina dominio de Lipschitz si para cada punto${\displaystyle p\in \partial \Omega }$existe un hiperplano${\displaystyle H}$de dimensión${\displaystyle n-1}$a través de${\displaystyle p}$, una función continua de Lipschitz${\displaystyle g:H\rightarrow \mathbb {R} }$sobre ese hiperplano, y reales${\displaystyle r>0}$y${\displaystyle h>0}$de tal manera que

• ${\displaystyle \Omega \cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ -h<y<g(x)\right\}}$
• ${\displaystyle (\partial \Omega )\cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ g(x)=y\right\}}$

dónde

${\displaystyle {\vec {n}}}$es uno de los dos vectores unitarios que son normales a${\displaystyle H,}$

${\displaystyle B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|xp\|<r\}}$es la bola abierta de radio${\displaystyle r}$,

${\displaystyle C:=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ {-h}<y<h\right\}.}$

En otras palabras, en cada punto de su frontera,${\displaystyle \Omega }$es localmente el conjunto de puntos situados por encima de la gráfica de alguna función de Lipschitz.

Una noción más general es la de dominios débilmente Lipschitz , que son dominios cuyo límite puede aplanarse localmente mediante una aplicación bilipschitz. Los dominios Lipschitz en el sentido anterior a veces se denominan fuertemente Lipschitz, en contraposición a los dominios débilmente Lipschitz.

Un dominio${\displaystyle \Omega }$es débilmente Lipschitz si para cada punto${\displaystyle p\in \partial \Omega ,}$existe un radio${\displaystyle r>0}$y un mapa${\displaystyle \ell _{p}:B_{r}(p)\rightarrow Q}$de tal manera que

• ${\displaystyle \ell _{p}}$es una biyección ;
• ${\displaystyle \ell _{p}}$y${\displaystyle \ell _{p}^{-1}}$ambas son funciones continuas de Lipschitz;
• ${\displaystyle \ell _{p}\left(\partial \Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{0};}$
• ${\displaystyle \ell _{p}\left(\Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{+};}$

dónde${\displaystyle Q}$denota la bola unitaria${\displaystyle B_{1}(0)}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y

${\displaystyle Q_{0}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}=0\};}$

${\displaystyle Q_{+}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}>0\}.}$

Un dominio (fuertemente) Lipschitz es siempre un dominio débilmente Lipschitz, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo de dominio débilmente Lipschitz que no es un dominio fuertemente Lipschitz es el dominio de dos ladrillos ^{[ 1 ].}

Muchos de los teoremas de incrustación de Sobolev requieren que el dominio de estudio sea un dominio de Lipschitz. En consecuencia, muchas ecuaciones diferenciales parciales y problemas variacionales se definen en dominios de Lipschitz.

• Dacorogna, B. (2004). Introducción al cálculo de variaciones . Imperial College Press, Londres. ISBN 1-86094-508-2.