Fórmula de masa semiempírica

El término${\displaystyle a_{\text{V}}A}$Se conoce como término de volumen . El volumen del núcleo es proporcional a A , por lo que este término es proporcional al volumen, de ahí su nombre.

La base de este término es la fuerza nuclear fuerte . La fuerza fuerte afecta tanto a protones como a neutrones y, como era de esperar, este término es independiente de Z. Debido a que el número de pares que se pueden tomar de partículas A es${\displaystyle A(A-1)/2}$, cabría esperar un término proporcional a${\displaystyle A^{2}}$Sin embargo, la fuerza fuerte tiene un alcance muy limitado, y un nucleón dado solo puede interactuar fuertemente con sus vecinos más cercanos y segundos vecinos más cercanos. Por lo tanto, el número de pares de partículas que interactúan realmente es aproximadamente proporcional a A , lo que da forma al término de volumen.

El coeficiente${\displaystyle a_{\text{V}}}$es menor que la energía de enlace que poseen los nucleones con respecto a sus vecinos (${\displaystyle E_{\text{b}}}$), que es del orden de 40 MeV . Esto se debe a que cuanto mayor es el número de nucleones en el núcleo, mayor es su energía cinética , debido al principio de exclusión de Pauli . Si se trata el núcleo como una bola de Fermi de ${\displaystyle A}$nucleones , con igual número de protones y neutrones, entonces la energía cinética total es${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A\varepsilon _{\text{F}}}$, con${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$la energía de Fermi , que se estima en 38 MeV . Por lo tanto, el valor esperado de ${\displaystyle a_{\text{V}}}$en este modelo es${\displaystyle E_{\text{b}}-{\tfrac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}\sim 17~\mathrm {MeV} ,}$No muy lejos del valor medido.

El término${\displaystyle a_{\text{S}}A^{2/3}}$Se conoce como término de superficie . Este término, también basado en la fuerza fuerte, es una corrección al término de volumen.

El término de volumen sugiere que cada nucleón interactúa con un número constante de nucleones, independientemente de A. Si bien esto es casi cierto para los nucleones en el interior del núcleo, los nucleones en la superficie del núcleo tienen menos vecinos más cercanos, lo que justifica esta corrección. Esto también puede interpretarse como un término de tensión superficial, y de hecho, un mecanismo similar genera tensión superficial en los líquidos.

Si el volumen del núcleo es proporcional a A , entonces el radio debería ser proporcional a${\displaystyle A^{1/3}}$y la superficie a${\displaystyle A^{2/3}}$Esto explica por qué el término de superficie es proporcional a${\displaystyle A^{2/3}}$También se puede deducir que${\displaystyle a_{\text{S}}}$debería tener un orden de magnitud similar a${\displaystyle a_{\text{V}}}$.

El término${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}}$o${\displaystyle a_{\text{C}}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}}$se conoce como término de Coulomb o electrostático .

La base de este término es la repulsión electrostática entre protones. En una aproximación muy burda, el núcleo puede considerarse una esfera de densidad de carga uniforme. Se puede demostrar que la energía potencial de dicha distribución de carga es:

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}},}$

donde Q es la carga total y R es el radio de la esfera. El valor de${\displaystyle a_{\text{C}}}$se puede calcular aproximadamente utilizando esta ecuación para calcular la energía potencial, utilizando un radio nuclear empírico de${\displaystyle R\approx r_{0}A^{\frac {1}{3}}}$y Q = Ze . Sin embargo, debido a que la repulsión electrostática solo existirá para más de un protón,${\displaystyle Z^{2}}$se convierte${\displaystyle Z(Z-1)}$:

${\displaystyle E={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q^{2}}{R}}={\frac {3}{5}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(Ze)^{2}}{r_{0}A^{1/3}}}={\frac {3e^{2}Z^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}\approx {\frac {3e^{2}Z(Z-1)}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}A^{1/3}}}=a_{\text{C}}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}},}$

donde ahora la constante de Coulomb electrostática${\displaystyle a_{\text{C}}}$es

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3e^{2}}{20\pi \varepsilon _{0}r_{0}}}.}$

Utilizando la constante de estructura fina , podemos reescribir el valor de${\displaystyle a_{\text{C}}}$como

${\displaystyle a_{\text{C}}={\frac {3}{5}}{\frac {\hbar c\alpha }{r_{0}}}={\frac {3}{5}}{\frac {R_{\text{P}}}{r_{0}}}\alpha m_{\text{p}}c^{2},}$

dónde${\displaystyle \alpha }$es la constante de estructura fina, y${\displaystyle r_{0}A^{1/3}}$es el radio de un núcleo , dando${\displaystyle r_{0}}$ser aproximadamente 1,25 femtómetros . ${\displaystyle R_{\text{P}}}$es la longitud de onda Compton reducida del protón , y${\displaystyle m_{\text{p}}}$es la masa del protón. Esto da${\displaystyle a_{\text{C}}}$un valor teórico aproximado de 0,691 MeV , no muy alejado del valor medido. 

El término${\displaystyle a_{\text{A}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}}$se conoce como el término de asimetría (o término de Pauli ).

La justificación teórica de este término es más compleja. El principio de exclusión de Pauli establece que dos fermiones idénticos no pueden ocupar exactamente el mismo estado cuántico en un átomo. A un nivel de energía dado, solo hay un número finito de estados cuánticos disponibles para las partículas. Esto significa que, en el núcleo, a medida que se añaden más partículas, estas deben ocupar niveles de energía más altos, aumentando la energía total del núcleo (y disminuyendo la energía de enlace). Cabe destacar que este efecto no se basa en ninguna de las fuerzas fundamentales ( gravitacional , electromagnética, etc.), sino únicamente en el principio de exclusión de Pauli.

Los protones y los neutrones, al ser tipos de partículas distintos, ocupan diferentes estados cuánticos. Podemos considerar dos "reservorios" de estados diferentes : uno para los protones y otro para los neutrones. Por ejemplo, si en un núcleo hay muchos más neutrones que protones, algunos neutrones tendrán una energía superior a la de los estados disponibles en el reservorio de protones. Si pudiéramos trasladar algunas partículas del reservorio de neutrones al de protones, es decir, convertir algunos neutrones en protones, la energía disminuiría considerablemente. El desequilibrio entre el número de protones y neutrones provoca que la energía sea mayor de lo necesario para un número dado de nucleones . Este es el fundamento del término de asimetría. 

La forma real del término de asimetría se puede derivar nuevamente modelando el núcleo como una bola de Fermi de protones y neutrones. Su energía cinética total es

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}(Z\varepsilon _{\text{F,p}}+N\varepsilon _{\text{F,n}}),}$

dónde${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,p}}}$y${\displaystyle \varepsilon _{\text{F,n}}}$son las energías de Fermi de los protones y neutrones. Dado que estas son proporcionales a${\displaystyle Z^{2/3}}$y${\displaystyle N^{2/3}}$respectivamente, uno obtiene

${\displaystyle E_{\text{k}}=C(Z^{5/3}+N^{5/3})}$para alguna constante C.

Los términos principales en la expansión de la diferencia${\displaystyle N-Z}$son entonces

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {C}{2^{2/3}}}\left(A^{5/3}+{\frac {5}{9}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A^{1/3}}}\right)+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

En el orden cero de la expansión, la energía cinética es simplemente la energía de Fermi total.${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}\equiv \varepsilon _{\text{F,p}}=\varepsilon _{\text{F,n}}}$multiplicado por${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}A}$. Así obtenemos

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {3}{5}}\varepsilon _{\text{F}}A+{\frac {1}{3}}\varepsilon _{\text{F}}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}+O{\big (}(N-Z)^{4}{\big )}.}$

El primer término contribuye al término de volumen en la fórmula de masa semiempírica, y el segundo término es menos el término de asimetría (recuerde que la energía cinética contribuye a la energía de enlace total con un signo negativo ).

${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$es 38 MeV , por lo que el cálculo${\displaystyle a_{\text{A}}}$De la ecuación anterior, obtenemos solo la mitad del valor medido. La discrepancia se explica por la imprecisión de nuestro modelo: los nucleones interactúan entre sí y no se distribuyen uniformemente en el núcleo. Por ejemplo, en el modelo de capas , un protón y un neutrón con funciones de onda superpuestas tendrán una interacción fuerte mayor entre ellos y una energía de enlace más fuerte. Esto hace que sea energéticamente favorable (es decir, que tenga menor energía) que los protones y neutrones tengan los mismos números cuánticos (excepto el isospín ), y por lo tanto aumenta el costo energético de la asimetría entre ellos.

También se puede entender el término de asimetría intuitivamente de la siguiente manera: debe depender de la diferencia absoluta.${\displaystyle |N-Z|}$y la forma${\displaystyle (N-Z)^{2}}$es simple y diferenciable , lo cual es importante para ciertas aplicaciones de la fórmula. Además, las pequeñas diferencias entre Z y N no tienen un alto costo energético. La A en el denominador refleja el hecho de que una diferencia dada${\displaystyle |N-Z|}$es menos significativo para valores mayores de A.

El término${\displaystyle \delta (A,Z)}$se conoce como el término de emparejamiento (posiblemente también conocido como interacción por pares). Este término captura el efecto del acoplamiento de espín . Está dado por ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \delta (A,Z)={\begin{cases}+\delta _{0}&{\text{for even }}Z,N~({\text{even }}A),\\0&{\text{for odd }}A,\\-\delta _{0}&{\text{for odd }}Z,N~({\text{even }}A),\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \delta _{0}}$Se ha encontrado empíricamente que tiene un valor de aproximadamente 1000  keV, disminuyendo lentamente con el número másico A. Los núcleos impares-impares tienden a sufrir desintegración beta a un núcleo par-par adyacente mediante el cambio de un neutrón a un protón o viceversa. Los pares tienen funciones de onda superpuestas y se encuentran muy cerca con un enlace más fuerte que cualquier otra configuración. ^{[ 7 ]} Cuando el término de apareamiento se sustituye en la ecuación de energía de enlace, para Z , N pares , el término de apareamiento añade energía de enlace, y para Z , N impares el término de apareamiento elimina energía de enlace. 

La dependencia del número másico se parametriza comúnmente como

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{k_{\text{P}}}.}$

El valor del exponente k _P se determina a partir de datos experimentales de energía de enlace. En el pasado, a menudo se asumía que su valor era  −3/4, pero los datos experimentales modernos indican que un valor de  −1/2 se acerca más al valor real:

${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-1/2}}$o${\displaystyle \delta _{0}=a_{\text{P}}A^{-3/4}.}$

Debido al principio de exclusión de Pauli, el núcleo tendría menor energía si el número de protones con espín hacia arriba fuera igual al número de protones con espín hacia abajo. Esto también se aplica a los neutrones. Solo si Z y N son pares, tanto los protones como los neutrones pueden tener el mismo número de partículas con espín hacia arriba y hacia abajo. Este efecto es similar al del término de asimetría.

El factor${\displaystyle A^{k_{\text{P}}}}$no es fácil de explicar teóricamente. El cálculo de la bola de Fermi que hemos utilizado anteriormente, basado en el modelo de gota líquida pero despreciando las interacciones, dará como resultado una${\displaystyle A^{-1}}$dependencia, como en el término de asimetría. Esto significa que el efecto real para núcleos grandes será mayor de lo esperado por ese modelo. Esto debe explicarse por las interacciones entre nucleones. Por ejemplo, en el modelo de capas , dos protones con los mismos números cuánticos (excepto el espín ) tendrán funciones de onda completamente superpuestas y, por lo tanto, tendrán una mayor interacción fuerte entre ellos y una mayor energía de enlace. Esto hace que sea energéticamente favorable (es decir, que tenga menor energía) para que los protones formen pares de espín opuesto. Lo mismo ocurre con los neutrones.