Lista de puertas lógicas cuánticas

El cambio de fase es una familia de compuertas de un solo qubit que mapean los estados base.${\displaystyle P(\varphi )|0\rangle =|0\rangle }$y${\displaystyle P(\varphi )|1\rangle =e^{i\varphi }|1\rangle }$. La probabilidad de medir un${\displaystyle |0\rangle }$o${\displaystyle |1\rangle }$no cambia después de aplicar esta puerta, sin embargo, modifica la fase del estado cuántico. Esto es equivalente a trazar un círculo horizontal (una línea de latitud), o una rotación a lo largo del eje z en la esfera de Bloch por${\displaystyle \varphi }$radianes. Un ejemplo común es la puerta T donde${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$(históricamente conocido como el${\displaystyle \pi /8}$puerta), la puerta de fase. Tenga en cuenta que algunas puertas de Clifford son casos especiales de la puerta de desplazamiento de fase:${\displaystyle P(0)=I,\;P(\pi )=Z;P(\pi /2)=S.}$

El argumento de la puerta de desplazamiento de fase está en U(1) , y la puerta realiza una rotación de fase en U(1) a lo largo del estado base especificado (por ejemplo${\displaystyle P(\varphi )}$gira la fase alrededor${\displaystyle |1\rangle }$) . Ampliando${\displaystyle P(\varphi )}$Una rotación alrededor de una fase genérica de ambos estados base de un sistema cuántico de 2 niveles (un cúbit ) se puede realizar con un circuito en serie :${\displaystyle P(\beta )\cdot X\cdot P(\alpha )\cdot X={\begin{bmatrix}e^{i\alpha }&0\\0&e^{i\beta }\end{bmatrix}}}$. Cuando${\displaystyle \alpha =-\beta }$Esta puerta es el operador de rotación${\displaystyle R_{z}(2\beta )}$puerta y si${\displaystyle \alpha =\beta }$Es una fase global. ^{[ a ] ​​[ b ]}

El nombre histórico de la puerta T${\displaystyle \pi /8}$La puerta proviene de la identidad${\displaystyle R_{z}(\pi /4)\operatorname {Ph} \left({\frac {\pi }{8}}\right)=P(\pi /4)}$, dónde${\displaystyle R_{z}(\pi /4)={\begin{bmatrix}e^{-i\pi /8}&0\\0&e^{i\pi /8}\end{bmatrix}}}$.

Compuertas de desplazamiento de fase arbitrarias de un solo qubit${\displaystyle P(\varphi )}$están disponibles de forma nativa para los procesadores cuánticos transmon a través de la sincronización de pulsos de control de microondas. ^{[ 13 ]} Se puede explicar en términos de cambio de marco . ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Como con cualquier puerta de un solo cúbit, se puede construir una versión controlada de la puerta de desplazamiento de fase. Con respecto a la base computacional, la puerta de desplazamiento de fase controlada de 2 cúbits es: desplaza la fase con${\displaystyle \varphi }$solo si actúa sobre el estado${\displaystyle |11\rangle }$:

${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto {\begin{cases}e^{i\varphi }|a,b\rangle &{\mbox{for }}a=b=1\\|a,b\rangle &{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

La puerta Z controlada (o CZ) es el caso especial donde${\displaystyle \varphi =\pi }$.

La puerta S controlada es el caso de la puerta controlada.${\displaystyle P(\varphi )}$cuando${\displaystyle \varphi =\pi /2}$y es una puerta de uso común. ^{[ 6 ]}

Las compuertas del operador de rotación${\displaystyle R_{x}(\theta ),R_{y}(\theta )}$y${\displaystyle R_{z}(\theta )}$son las matrices de rotación análogas en tres ejes cartesianos de SO(3) , ^{[ c ]} a lo largo de los ejes x, y o z de la proyección de la esfera de Bloch .

Como las matrices de Pauli están relacionadas con el generador de rotaciones, estos operadores de rotación pueden escribirse como exponenciales matriciales con matrices de Pauli en el argumento. Cualquier${\displaystyle 2\times 2}$Una matriz unitaria en SU(2) puede escribirse como un producto (es decir, un circuito en serie) de tres o menos compuertas de rotación. Nótese que para sistemas de dos niveles como cúbits y espinores , estas rotaciones tienen un período de 4π . Una rotación de 2π (360 grados) devuelve el mismo vector de estado con una fase diferente . ^{[ 16 ]}

También tenemos${\displaystyle R_{b}(-\theta )=R_{b}(\theta )^{\dagger }}$y${\displaystyle R_{b}(0)=I}$a pesar de${\displaystyle b\in \{x,y,z\}.}$

Las matrices de rotación están relacionadas con las matrices de Pauli de la siguiente manera:${\displaystyle R_{x}(\pi )=-iX,R_{y}(\pi )=-iY,R_{z}(\pi )=-iZ.}$

Es posible calcular la acción adjunta de rotaciones sobre el vector de Pauli , es decir, la rotación efectivamente por el doble del ángulo a para aplicar la fórmula de rotación de Rodrigues :

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{n}(-a){\vec {\sigma }}R_{n}(a)={}&\exp \left(i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right)~{\vec {\sigma }}~\exp \left(-i{\frac {a}{2}}\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right)\\[6pt]={}&{\vec {\sigma }}\cos(a)+{\hat {n}}\times {\vec {\sigma }}~\sin(a)+{\hat {n}}~{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~(1-\cos(a))~.\end{aligned}}}$

Al tomar el producto escalar de cualquier vector unitario con la fórmula anterior se genera la expresión de cualquier puerta de cúbit único cuando se encuentra intercalada entre puertas de rotación adjuntas. Por ejemplo, se puede demostrar que${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)XR_{y}(\pi /2)={\hat {x}}\cdot ({\hat {y}}\times {\vec {\sigma }})=Z}$. Además, utilizando la relación de anticonmutación tenemos${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)XR_{y}(\pi /2)=XR_{y}(+\pi /2)R_{y}(\pi /2)=X(-iY)=Z}$.

Los operadores de rotación tienen identidades interesantes. Por ejemplo,${\displaystyle R_{y}(\pi /2)Z=H}$y${\displaystyle XR_{y}(\pi /2)=H.}$Además, utilizando las relaciones anticommutantes tenemos${\displaystyle ZR_{y}(-\pi /2)=H}$y${\displaystyle R_{y}(-\pi /2)X=H.}$

La fase global y el desplazamiento de fase se pueden transformar uno en el otro mediante el operador de rotación Z:${\displaystyle R_{z}(\gamma )\operatorname {Ph} \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=P(\gamma )}$. ^{[ 5 ] : 11 [ 1 ] : 77–83}

El${\displaystyle {\sqrt {X}}}$La puerta representa una rotación de π /2 alrededor del eje x en la esfera de Bloch.${\displaystyle {\sqrt {X}}=e^{i\pi /4}R_{x}(\pi /2)}$.

Existen operadores de rotación similares para SU(3) usando matrices de Gell-Mann . Son los operadores de rotación que se usan con qutrits .

Las compuertas de acoplamiento de Ising o interacción de Heisenberg entre cúbits R _xx , R _yy y R _zz son compuertas de 2 cúbits que se implementan de forma nativa en algunas computadoras cuánticas de iones atrapados , utilizando, por ejemplo, el procedimiento de compuerta de Mølmer-Sørensen . ^{[ 17 ] [ 18 ]}

Tenga en cuenta que estas compuertas también pueden expresarse en forma sinusoidal, por ejemplo${\displaystyle R_{xx}(\phi )=\exp \left(-i{\frac {\phi }{2}}X\otimes X\right)=\cos \left({\frac {\phi }{2}}\right)I\otimes I-i\sin \left({\frac {\phi }{2}}\right)X\otimes X}$.

La puerta CNOT se puede descomponer aún más como productos de puertas de operador de rotación y exactamente una única puerta de interacción de dos cúbits, por ejemplo

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}}R_{y_{1}}(-\pi /2)R_{x_{1}}(-\pi /2)R_{x_{2}}(-\pi /2)R_{xx}(\pi /2)R_{y_{1}}(\pi /2).}$

La puerta SWAP se puede construir a partir de otras puertas, por ejemplo, utilizando las puertas de interacción de dos cúbits :${\displaystyle {\text{SWAP}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}}R_{xx}(\pi /2)R_{yy}(\pi /2)R_{zz}(\pi /2)}$.

En los circuitos superconductores, la familia de compuertas resultante de las interacciones de Heisenberg se denomina a veces conjunto de compuertas fSim . Se pueden implementar utilizando cúbits con flujo sintonizable y acoplamiento sintonizable ^{[ 19 ]} o utilizando excitaciones de microondas en cúbits de frecuencia fija con acoplamiento fijo ^{[ 20 ] .}

La puerta √ SWAP realiza la mitad de un intercambio de dos cúbits (véase puertas Clifford). Es universal, de modo que cualquier puerta de muchos cúbits puede construirse únicamente a partir de puertas √ SWAP y puertas de un solo cúbit. Se requiere más de una aplicación de la puerta √ SWAP para producir un estado de Bell a partir de estados producto. La puerta √ SWAP surge de forma natural en sistemas que aprovechan la interacción de intercambio . ^{[ 21 ] [ 1 ]}

Para sistemas con interacciones tipo Ising, a veces es más natural introducir el intercambio imaginario ^{[ 22 ]} o iSWAP. ^{[ 23 ] [ 24 ]} Nótese que${\displaystyle i{\mbox{SWAP}}=R_{xx}(-\pi /2)R_{yy}(-\pi /2)}$y${\displaystyle {\sqrt {i{\mbox{SWAP}}}}=R_{xx}(-\pi /4)R_{yy}(-\pi /4)}$o, más generalmente${\displaystyle {\sqrt[{n}]{i{\mbox{SWAP}}}}=R_{xx}(-\pi /2n)R_{yy}(-\pi /2n)}$para todos los n reales excepto 0.

SWAP ^α surge de forma natural en las computadoras cuánticas espintrónicas. ^{[ 1 ]}

La puerta Fredkin (también conocida como CSWAP o puerta CS), que recibe su nombre de Edward Fredkin , es una puerta de 3 bits que realiza un intercambio controlado . Es universal para la computación clásica. Posee la útil propiedad de que la cantidad de 0s y 1s se conserva, lo que en el modelo de las bolas de billar significa que se obtiene la misma cantidad de bolas que de entrada.