Lista de compuestos politópicos regulares

Este artículo enumera los compuestos politópicos regulares en los espacios euclidiano, esférico e hiperbólico.

Para cualquier número natural n, existen estrellas poligonales regulares de n puntas con símbolos de Schläfli {n/m} para todo m tal que m < n/2 (estrictamente hablando, {n/m}={n/(n−m)}) y m y n son coprimos . Cuando m y n no son coprimos, el polígono estrellado obtenido será un polígono regular con n / m lados. Se obtiene una nueva figura rotando estos n / m -gonos regulares un vértice a la izquierda del polígono original hasta que el número de vértices rotados sea igual a n / m menos uno, y combinando estas figuras. Un caso extremo de esto es cuando n / m es 2, produciendo una figura que consta de n /2 segmentos de línea recta; esto se llama un polígono estrellado degenerado .

En otros casos donde n y m tienen un factor común, se obtiene un polígono estrellado para un n menor , y se pueden combinar versiones rotadas. Estas figuras se denominan figuras estrelladas , polígonos estrellados impropios o polígonos compuestos . A menudo se utiliza la misma notación { n / m } para ellos, aunque autoridades como Grünbaum (1994) consideran (con cierta justificación) que la forma k { n } es más correcta, donde usualmente k = m .

Una complicación adicional surge al combinar dos o más polígonos estrellados, como por ejemplo dos pentagramas con una rotación de 36°, inscritos en un decágono. Esto se escribe correctamente en la forma k { n / m }, como 2{5/2}, en lugar de la comúnmente utilizada {10/4}.

La notación extendida de Coxeter para compuestos es de la forma c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}, lo que indica que d distintos { p , q ,...} juntos cubren los vértices de { m , n ,...} c veces y las facetas de { s , t ,...} e veces. Si no existe un { m , n ,...} regular, se elimina la primera parte de la notación, quedando [ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}; lo contrario ocurre si no existe un { s , t ,...} regular. El dual de c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} es e { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...}. Si c o e son 1, se pueden omitir. Para polígonos compuestos, esta notación se reduce a { nk }[ k { n / m }]{ nk }: por ejemplo, el hexagrama se puede escribir así como {6}[2{3}]{6}.

Los polígonos oblicuos regulares también crean compuestos, como se observa en los bordes de los compuestos prismáticos de antiprismas , por ejemplo:

Un compuesto poliédrico regular se define como un compuesto que, al igual que un poliedro regular, es transitivo en vértices , transitivo en aristas y transitivo en caras . Con esta definición, existen 5 compuestos regulares.

La notación de Coxeter para compuestos regulares se da en la tabla anterior, incorporando los símbolos de Schläfli . El material dentro de los corchetes, [ d { p , q }], denota los componentes del compuesto: d { p , q } separados . El material antes de los corchetes denota la disposición de los vértices del compuesto: c { m , n }[ d { p , q }] es un compuesto de d { p , q } que comparten los vértices de un { m , n } contado c veces. El material después de los corchetes denota la disposición de las caras del compuesto: [ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparten las caras de { s , t } contado e veces. Estos se pueden combinar: así , c { m , n }[ d { p , q }] e { s , t } es un compuesto de d { p , q } que comparten los vértices de { m , n } contados c veces y las caras de { s , t } contadas e veces. Esta notación se puede generalizar a compuestos en cualquier número de dimensiones. ^{[ 1 ]}

Si se permiten poliedros regulares impropios ( diedros y hosoedros ), entonces son posibles dos compuestos más: 2{3,4}[3{4,2}]{4,3} y su dual {3,4}[3{2,4}]2{4,3}. ^{[ 2 ]}

Coxeter enumera 46 compuestos regulares de 4-politopos regulares en su libro Regular Polytopes . ^{[ 3 ]} McMullen añade seis en su artículo New Regular Compounds of 4-Polytopes , en el que también demuestra que la lista ahora está completa. ^{[ 4 ]} En las siguientes tablas, el superíndice (var) indica que los compuestos etiquetados son distintos de los demás compuestos con los mismos símbolos.

Existen dos compuestos diferentes de 75 teseractos: uno comparte los vértices de un teseracto de 120 celdas, mientras que el otro comparte los vértices de un teseracto de 600 celdas. Por lo tanto, los compuestos duales correspondientes de 75 teseractos de 16 celdas también son diferentes.

También existen catorce compuestos parcialmente regulares , que son transitivos en vértice o transitivos en celda, pero no ambos. Los siete compuestos parcialmente regulares transitivos en vértice son los duales de los siete compuestos parcialmente regulares transitivos en celda.

Aunque los poliedros de 5 y 24 celdas son ambos autoduales, sus compuestos duales (el compuesto de dos poliedros de 5 celdas y el compuesto de dos poliedros de 24 celdas ) no se consideran regulares, a diferencia del compuesto de dos tetraedros y los diversos compuestos poligonales duales, porque no son ni regulares en vértices ni regulares en celdas: no son facetas ni estelaciones de ningún politopo regular de 4 celdas. Sin embargo, son transitivos en vértices, aristas, caras y celdas.

No existen compuestos regulares en cinco o seis dimensiones. Se conocen tres compuestos de siete dimensiones (16, 240 o 480 7-símplices ) y seis compuestos de ocho dimensiones (16, 240 o 480 8-cubos u 8-ortoplexos ). También existe un compuesto de n -símplices en el espacio n- dimensional, siempre que n sea uno menos que una potencia de dos, y dos compuestos (uno de n- cubos y otro dual de n -ortoplexos) en el espacio n- dimensional si n es una potencia de dos.

La notación de Coxeter para estos compuestos es (usando α ⁿ = {3 ^{n −1} }, β ⁿ = {3 ^{n −2} ,4}, γ _n = {4,3 ^{n −2} }):

• 7-símplexes: c γ ₇ [16 c α ₇ ] c β ₇ , donde c = 1, 15 o 30
• 8-ortoplexos: c γ ₈ [16 c β ₈ ]
• 8-cubos: [16 c γ ₈ ] c β ₈

Los casos generales (donde n = 2 ^k y d = 2 ^{2 k − k − 1} , k = 2, 3, 4, ...):

• Simplex: γ _{n −1} [ d α _{n −1} ]β _{n −1}
• Ortocomplejos: γ _n [ d β _n ]
• Hipercubos: [ d γ _n ]β _n

• Lista de politopos regulares