Teorema de selección

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, un teorema de selección es un teorema que garantiza la existencia de una función de selección unívoca a partir de una aplicación multivaluada dada . Existen varios teoremas de selección, y son importantes en las teorías de inclusiones diferenciales , control óptimo y economía matemática . ^{[ 1 ]}

Dados dos conjuntos X e Y , sea F una función multivaluada de X e Y. Equivalentemente,${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$es una función de X al conjunto potencia de Y.

Una función${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$Se dice que es una selección de F si

${\displaystyle \forall x\in X:\,\,\,f(x)\in F(x)\,.}$

En otras palabras, dado un valor de entrada x para el cual la función original F devuelve múltiples valores, la nueva función f devuelve un único valor. Este es un caso especial de una función de elección .

El axioma de elección implica que siempre existe una función de selección; sin embargo, a menudo es importante que dicha selección posea ciertas propiedades deseables, como la continuidad o la mensurabilidad . Aquí es donde entran en juego los teoremas de selección: garantizan que, si F satisface ciertas propiedades, entonces existe una selección f que es continua o que posee otras propiedades deseables.

El teorema de selección de Michael ^{[ 2 ]} establece que las siguientes condiciones son suficientes para la existencia de una selección continua :

• X es un espacio paracompacto ;
• Y es un espacio de Banach ;
• F es hemicontinua inferior ;
• Para todo x en X , el conjunto F ( x ) es no vacío, convexo y cerrado .

El teorema de selección aproximada ^{[ 3 ]} establece lo siguiente:

Supongamos que X es un espacio métrico compacto, Y un subconjunto compacto y convexo no vacío de un espacio vectorial normado , y Φ: X →${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}$una multifuncional cuyos valores son todos compactos y convexos. Si graph(Φ) es cerrado, entonces para cada ε > 0 existe una función continua f  : X → Y tal que graph( f ) ⊂ [graph(Φ)] _ε .

Aquí,${\displaystyle [S]_{\varepsilon }}$denota el${\displaystyle \varepsilon }$-dilatación de${\displaystyle S}$, es decir, la unión de radio-${\displaystyle \varepsilon }$bolas abiertas centradas en puntos en${\displaystyle S}$El teorema implica la existencia de una selección aproximada continua .

Otro conjunto de condiciones suficientes para la existencia de una selección aproximada continua viene dado por el teorema de Deutsch-Kenderov , ^{[ 4 ]} cuyas condiciones son más generales que las del teorema de Michael (y por lo tanto la selección es solo aproximada):

• X es un espacio paracompacto ;
• Y es un espacio vectorial normado ;
• F es casi hemicontinua inferior , es decir, en cada${\displaystyle x\in X}$, para cada barrio${\displaystyle V}$de${\displaystyle 0}$existe un vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle x}$de tal manera que${\textstyle \bigcap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset }$;
• Para todo x en X , el conjunto F ( x ) es no vacío y convexo .

En una nota posterior, Xu demostró que el teorema de Deutsch-Kenderov también es válido si${\displaystyle Y}$es un espacio vectorial topológico localmente convexo . ^{[ 5 ]}

El teorema de selección de Yannelis-Prabhakar ^{[ 6 ]} establece que las siguientes condiciones son suficientes para la existencia de una selección continua :

• X es un espacio de Hausdorff paracompacto ;
• Y es un espacio topológico lineal ;
• Para todo x en X , el conjunto F ( x ) es no vacío y convexo ;
• para todo y en Y , el conjunto inverso F ⁻¹ ( y ) es un conjunto abierto en X.

El teorema de selección medible de Kuratowski y Ryll-Nardzewski dice que si X es un espacio polaco y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$su σ-álgebra de Borel ,${\displaystyle \mathrm {Cl} (X)}$es el conjunto de subconjuntos cerrados no vacíos de X ,${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}})}$es un espacio mensurable y${\displaystyle F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)}$es un${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-mapa débilmente medible (es decir, para cada subconjunto abierto)${\displaystyle U\subsetequ X}$tenemos${\displaystyle \{\omega \in \Omega :F(\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}}$), entonces${\displaystyle F}$tiene una selección que es${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {B}})}$- medible . ^{[ 7 ]}

Otros teoremas de selección para funciones multivaluadas incluyen:

• Teorema de selección direccionalmente continua de Bressan-Colombo
• Teorema de representación de Castaing
• Selección de mapas descomponibles de Fryszkowski
• Teorema de selección de Helly
• Teorema de selección de Michael de dimensión cero
• Teorema de selección medible de Robert Aumann

• Teorema de selección de Blaschke
• Teorema del máximo