polinomio de Littlewood

Una animación que muestra las raíces de todos los polinomios de Littlewood de grado 1 a 14, un grado a la vez.

En matemáticas , un polinomio de Littlewood es un polinomio cuyos coeficientes son todos +1 o −1 . El problema de Littlewood plantea límites para los valores de dicho polinomio en el círculo unitario del plano complejo . La respuesta a este problema proporcionaría información sobre la autocorrelación de secuencias binarias. Reciben su nombre de J. E. Littlewood , quien los estudió en la década de 1950.

Definición

Un polinomio

p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,

es un polinomio de Littlewood si todos los $a i = \pm 1$ .

El problema de Littlewood pide constantes $c 1$ y $c 2$ tales que existan infinitos polinomios de Littlewood $p n$ , de grado creciente $n$ que satisfagan

c_{1}{\sqrt {n+1}}\leq |p_{n}(z)|\leq c_{2}{\sqrt {n+1}}.\,

para todo $z$ en el círculo unitario. Los polinomios de Rudin-Shapiro proporcionan una secuencia que satisface la cota superior con $c 2 = \sqrt 2$ . En 2019, Paul Balister, Béla Bollobás , Robert Morris , Julian Sahasrabudhe y Marius Tiba construyeron una familia infinita de polinomios de Littlewood que satisfacen tanto la cota superior como la inferior.

Referencias

Peter Borwein (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag . pp. 2–5 , 121–132 . ISBN 0-387-95444-9.
JE Littlewood (1968). Algunos problemas en análisis real y complejo . DC Heath.
Balister, Paul; Bollobás, Béla; Morris, Robert; Sahasrabudhe, Julian; Tiba, Marius (9 de noviembre de 2020). "Existen polinomios de Littlewood planos". Annals of Mathematics . 192 (3): 977– 1004. arXiv : 1907.09464 . doi : 10.4007/annals.2020.192.3.6 .