El algoritmo π de Liu Hui

El algoritmo π de Liu Hui fue inventado por Liu Hui (activo en el siglo III), un matemático del estado de Cao Wei . Antes de su época, la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro se tomaba a menudo experimentalmente como tres en China, mientras que Zhang Heng ( 78-139 ) la tradujo como 3,1724 (a partir de la proporción del círculo celeste con el diámetro de la tierra, 92/29 ) o como${\displaystyle \pi \approx {\sqrt {10}}\approx 3.162}$Liu Hui no estaba satisfecho con este valor. Comentó que era demasiado grande y se había excedido. Otro matemático, Wang Fan ( 219-257 ), proporcionó π ≈ 142/45 ≈ 3,156 . ^{[ 1 ]} Todos estos valores empíricos de π eran precisos a dos dígitos (es decir, una cifra decimal). Liu Hui fue el primer matemático chino en proporcionar un algoritmo riguroso para el cálculo de π con cierta precisión. El propio cálculo de Liu Hui con un polígono de 96 lados proporcionó una precisión de cinco dígitos, es decir, π ≈ 3,1416 .

Liu Hui señaló en su comentario a Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático [ ^{2 ]} que la razón entre la circunferencia de un hexágono inscrito y el diámetro del círculo era tres, por lo que π debía ser mayor que ^tres . Procedió a proporcionar una descripción detallada paso a paso de un algoritmo iterativo para calcular π con la precisión requerida, basado en la bisección de polígonos; calculó π entre 3,141024 y 3,142708 con un polígono de 96 lados; sugirió que 3,14 era una aproximación suficientemente buena y expresó π como 157/50; admitió que este número era algo pequeño. Posteriormente, inventó un método rápido para mejorarlo y obtuvo π ≈ 3,1416 con solo un polígono de 96 lados, un nivel de precisión comparable al de un polígono de 1536 lados. Su contribución más importante en este campo fue su sencillo algoritmo iterativo para π .

Liu Hui argumentó:

" Multiplica un lado de un hexágono por el radio (de su circunferencia circunscrita), luego multiplica esto por tres, para obtener el área de un dodecágono; si dividimos un hexágono en un dodecágono, multiplicamos su lado por su radio, luego multiplicamos nuevamente por seis, obtenemos el área de un polígono de 24 lados; cuanto más fino sea el corte, menor será la pérdida con respecto al área del círculo, por lo que con cortes sucesivos, el área del polígono resultante coincidirá y se unificará con la del círculo; no habrá pérdida ".

Esto es esencialmente equivalente a:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\text{área de }}N{\text{-gono}}={\text{área de círculo}}.\,}$

Además, Liu Hui demostró que el área de un círculo es la mitad de su circunferencia multiplicada por su radio. Dijo:

" Entre un polígono y un círculo hay un radio sobrante. Multiplica ese radio sobrante por un lado del polígono. El área resultante excede el límite del círculo ".

En el diagrama, d representa el radio excedente. Al multiplicar d por uno de los lados, se obtiene el polígono alargado ABCD , que excede los límites del círculo. Si un lado del polígono es pequeño (es decir, tiene un número muy grande de lados), el radio excedente será pequeño y, por lo tanto, el área excedente también será pequeña.

Como en el diagrama, cuando N → ∞ , d → 0 , y ABCD → 0 .

" Multiplica el lado de un polígono por su radio y el área se duplica; por lo tanto, multiplica la mitad de la circunferencia por el radio para obtener el área de un círculo ".

Cuando N → ∞ , la mitad de la circunferencia del N -gono se aproxima a un semicírculo; por lo tanto, la mitad de la circunferencia de un círculo multiplicada por su radio es igual al área del círculo. Liu Hui no explicó esta deducción en detalle. Sin embargo, resulta evidente al utilizar el "principio de complemento interno-externo" de Liu Hui, que expuso en otra parte de Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático : Si se divide una figura geométrica en partes y se reorganizan para formar otra figura, el área de ambas figuras será idéntica.

Así, al reorganizar los seis triángulos verdes, los tres triángulos azules y los tres triángulos rojos en un rectángulo con un ancho de 3 L y una altura R, se observa que el área del dodecágono es de 3 RL .

En general, al multiplicar la mitad de la circunferencia de un polígono de N lados por su radio se obtiene el área de un polígono de 2N lados . Liu Hui utilizó este resultado repetidamente en su algoritmo π .

Liu Hui demostró una desigualdad que involucra a π al considerar el área de polígonos inscritos con N y 2N lados .

En el diagrama, el área amarilla representa el área de un N -gono, denotado por${\displaystyle A_{N}}$y el área amarilla más el área verde representan el área de un 2 N -gono, denotado por${\displaystyle A_{2N}}$Por lo tanto, el área verde representa la diferencia entre las áreas del 2 N -gono y el N -gono:

${\displaystyle D_{2N}=A_{2N}-A_{N}.}$

El área roja es igual al área verde, y por lo tanto también lo es.${\displaystyle D_{2N}}$. Entonces

Área amarilla + área verde + área roja =${\displaystyle A_{2N}+D_{2N}.}$

Dejar${\displaystyle A_{C}}$representa el área del círculo. Entonces

${\displaystyle A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.}$

Si el radio del círculo se toma como 1, entonces tenemos la desigualdad π de Liu Hui :

${\displaystyle A_{2N}<\pi <A_{2N}+D_{2N}.}$

Liu Hui comenzó con un hexágono inscrito. Sea M la longitud de un lado AB del hexágono, y r el radio del círculo.

Biseca AB con la línea OPC , AC se convierte en un lado del dodecágono (12-gono), sea m su longitud. Sea j la longitud de PC y G la longitud de OP .

APO y APC son dos triángulos rectángulos. Liu Hui utilizó el teorema de Pitágoras repetidamente:

${\displaystyle {}G^{2}=r^{2}-\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}}$

${\displaystyle {}G={\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle {}j=rG=r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}}$

${\displaystyle {}m^{2}=\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+j^{2}}}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-G\right)^{2}}}}$

${\displaystyle {}m={\sqrt {\left({\tfrac {M}{2}}\right)^{2}+\left(r-{\sqrt {r^{2}-{\tfrac {M^{2}}{4}}}}\right)^{2}}}}$

A partir de aquí, existe una técnica para determinar m a partir de M , que proporciona la longitud del lado de un polígono con el doble de aristas. Partiendo de un hexágono , Liu Hui podría determinar la longitud del lado de un dodecágono utilizando esta fórmula. Luego, podría continuar de forma repetitiva para determinar la longitud del lado de un icositetrágono a partir de la longitud del lado de un dodecágono. Podría hacerlo recursivamente tantas veces como fuera necesario. Sabiendo cómo determinar el área de estos polígonos, Liu Hui podría entonces aproximar π .

Con${\displaystyle r=10}$unidades, obtuvo

área de 96 gon${\displaystyle {}A_{96}=313{584 \over 625}}$

área de 192 gon${\displaystyle {}A_{192}=314{64 \over 625}}$

Diferencia entre un polígono de 96 lados y uno de 48 lados:

${\displaystyle {}D_{192}=314{\frac {64}{625}}-313{\frac {584}{625}}={\frac {105}{625}}}$

De la desigualdad π de Liu Hui :

${\displaystyle A_{2N}<A_{C}<A_{2N}+D_{2N}.}$

Dado que r = 10,${\displaystyle A_{C}=100\times \pi }$

por lo tanto:

${\displaystyle {}314{\frac {64}{625}}<100\times \pi <314{\frac {64}{625}}+{\frac {105}{625}}}$

${\displaystyle {}314{\frac {64}{625}}<100\times \pi <314{\frac {169}{625}}}$

${\displaystyle {}3.141024<\pi <3.142704.}$

Nunca tomó π como el promedio del límite inferior 3.141024 y el límite superior 3.142704. En cambio, sugirió que 3.14 era una aproximación suficientemente buena para π y la expresó como una fracción.${\displaystyle {\tfrac {157}{50}}}$; señaló que este número es ligeramente menor que el valor real de π .

Liu Hui realizó sus cálculos con cálculo de barras y expresó sus resultados con fracciones. Sin embargo, la naturaleza iterativa del algoritmo π de Liu Hui es bastante clara:

${\displaystyle 2-m^{2}={\sqrt {2+(2-M^{2})}}\,,}$

donde m es la longitud de un lado del polígono de siguiente orden bisecado de M. El mismo cálculo se realiza repetidamente, y cada paso requiere solo una suma y una extracción de raíz cuadrada.

El cálculo de raíces cuadradas de números irracionales no era una tarea fácil en el siglo III con las varas de conteo . Liu Hui descubrió un atajo comparando las diferencias de área de polígonos y halló que la proporción de la diferencia de área de polígonos de orden sucesivo era aproximadamente 1/4. ^{[ 3 ]}

Sea D _N la diferencia de áreas de un polígono de N lados y un polígono de ( N /2) lados.

${\displaystyle D_{N}=A_{N}-A_{N/2}\,}$

Él encontró:

${\displaystyle D_{96}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{48}}$

${\displaystyle D_{192}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{96}}$¹

Por eso:

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{384}&{}\approx {\tfrac {1}{4}}D_{192}\\D_{768}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}D_{192}\\D_{1536}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}D_{192}\\D_{3072}&{}\approx \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}D_{192}\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Área de un círculo de radio unitario  =

${\displaystyle {}\pi =A_{192}+D_{384}+D_{768}+D_{1536}+D_{3072}+\cdots \approx A_{192}+F\cdot D_{192}.\,}$

En el cual

${\displaystyle F={\tfrac {1}{4}}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{3}+\left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\tfrac {1}{3}}.}$

Es decir, todas las áreas excedentes subsiguientes suman un tercio de la${\displaystyle D_{192}}$

área del círculo unitario${\displaystyle {}=\pi \approx A_{192}+\left({\tfrac {1}{3}}\right)D_{192}\approx {3927 \over 1250}\approx 3.1416.\,}$²

Liu Hui quedó bastante satisfecho con este resultado porque había obtenido el mismo resultado con el cálculo para un polígono de 1536 lados, obteniendo el área de un polígono de 3072 lados. Esto explica cuatro preguntas:

1. ¿Por qué se detuvo en el punto A ₁₉₂ en su presentación del algoritmo? Porque descubrió un método rápido para mejorar la precisión de π , logrando el mismo resultado que con un polígono de 1536 caras usando solo 96 caras. Después de todo, el cálculo de raíces cuadradas no era una tarea sencilla con el cálculo de barras . Con el método rápido, solo necesitaba realizar una resta , una división (por 3) y una suma, en lugar de cuatro extracciones de raíces cuadradas adicionales.
2. Prefirió calcular π mediante el cálculo de áreas en lugar de circunferencias de polígonos sucesivos, porque el método rápido requería información sobre la diferencia de áreas de polígonos sucesivos.
3. ¿Quién fue el verdadero autor del párrafo que contiene el cálculo?${\displaystyle \pi ={3927 \over 1250}.}$
4. Ese famoso párrafo comenzaba con "Un contenedor de bronce de la dinastía Han en el almacén militar de la dinastía Jin ...". Muchos eruditos, entre ellos Yoshio Mikami y Joseph Needham , creían que el párrafo del "contenedor de bronce de la dinastía Han" era obra de Liu Hui y no de Zu Chongzhi, como otros creían, debido a la fuerte correlación de los dos métodos a través del cálculo de áreas, y porque no había ni una sola palabra que mencionara el resultado de Zu de 3,1415926 < π < 3,1415927 obtenido a través de 12288-gon.

Liu Hui estableció un algoritmo sólido para el cálculo de π con cualquier grado de precisión.

• Zu Chongzhi conocía el trabajo de Liu Hui y obtuvo mayor precisión al aplicar su algoritmo a un polígono de 12288 lados.

De la fórmula de Liu Hui para 2 N -gonos:

${\displaystyle A_{2N}=m_{N}\times r}$

Para un polígono de 12288 lados inscrito en un círculo de radio unitario:

${\displaystyle A_{24576}=3.14159261864<\pi }$.

De la desigualdad π de Liu Hui :

${\displaystyle A_{24576}<\pi <A_{24576}+D_{24576}}$

En el cual${\displaystyle D_{24576}=A_{24576}-A_{12288}=0.0000001021}$

${\displaystyle A_{24576}=3.14159261864<\pi <3.14159261864+0.0000001021}$.

Por lo tanto

${\displaystyle 3.14159261864<\pi <3.141592706934}$

Truncado a ocho cifras significativas:

${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$.

Esa fue la famosa desigualdad π de Zu Chongzhi.

Zu Chongzhi utilizó entonces la fórmula de interpolación de He Chengtian (何承天, 370–447) y obtuvo una fracción aproximada:${\displaystyle \pi \approx {355 \over 113}}$.

Sin embargo, este valor π desapareció en la historia china durante un largo período de tiempo (por ejemplo, el matemático de la dinastía Song, Qin Jiushao, usó π =${\displaystyle {22 \over 7}}$y ${\displaystyle \pi ={\sqrt {10}})}$), hasta que el matemático de la dinastía Yuan, Zhao Yuqin, trabajó en una variación del algoritmo π de Liu Hui , bisecando un cuadrado inscrito y obteniendo nuevamente${\displaystyle \pi \approx {355 \over 113}.}$^{[ 4 ]}

El algoritmo π de Liu Hui fue una de sus contribuciones más importantes a las matemáticas chinas antiguas . Se basaba en el cálculo del área de N -gonos, a diferencia del algoritmo arquimediano basado en la circunferencia del polígono. Con este método, Zu Chongzhi obtuvo el resultado de ocho dígitos: 3,1415926 < π < 3,1415927, que mantuvo el récord mundial del valor más preciso de π durante siglos, ^{[ 5 ]} hasta que Madhava de Sangamagrama calculó 11 dígitos en el siglo XIV o Jamshid al-Kashi calculó 16 dígitos en 1424; las mejores aproximaciones de π conocidas en Europa solo tenían una precisión de 7 dígitos hasta que Ludolph van Ceulen calculó 20 dígitos en 1596.

• Método de agotamiento (siglo V a. C.)
• El algoritmo π de Zhao Youqin (siglos XIII-XIV)
• Demostración de la fórmula de Newton para Pi (siglo XVII)

^1 Valor correcto: 0,2502009052

^2 Valores correctos:

${\displaystyle A_{192}=3.1410319509}$

${\displaystyle D_{192}=0.0016817478}$

${\displaystyle \pi \approx A_{192}+{\frac {1}{3}}D_{192}\approxeq 3.1410319509+0.0016817478/3}$

${\displaystyle \pi \approx 3.1410319509+0.0005605826}$

${\displaystyle \pi \approx 3.1415925335.}$

El método rápido de Liu Hui era potencialmente capaz de ofrecer casi el mismo resultado de 12288-gon (3,141592516588) con solo 96-gon.

• Needham, Joseph (1986). Ciencia y civilización en China : Volumen 3, Matemáticas y ciencias de los cielos y la tierra. Taipéi: Caves Books, Ltd.
• Wu Wenjun (ed.), Historia de las matemáticas chinas, vol. III (en chino) ISBN 7-303-04557-0