Logaritmo natural de 2

En matemáticas , el logaritmo natural de 2 es el único argumento de un número real tal que la función exponencial es igual a dos. Aparece regularmente en varias fórmulas y también se da mediante la serie armónica alternada . El valor decimal del logaritmo natural de 2 (secuencia A002162 en la OEIS ) truncado a 30 decimales se da por:

${\displaystyle \ln 2\aprox. 0,693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.}$

El logaritmo de 2 en otras bases se obtiene con la fórmula

${\displaystyle \log_{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.}$

El logaritmo común en particular es ( OEIS : A007524 )

${\displaystyle \log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.}$

El inverso de este número es el logaritmo binario de 10:

${\displaystyle \log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3.321\,928\,095}$( OEIS : A020862 ).

Según el teorema de Lindemann-Weierstrass , el logaritmo natural de cualquier número natural distinto de 0 y 1 (en términos más generales, de cualquier número algebraico positivo distinto de 1) es un número trascendental . También está contenido en el anillo de períodos algebraicos .

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots .}$Esta es la conocida "serie armónica alterna".

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\left(1+{\frac {2}{4^{3}-4}}+{\frac {2}{8^{3}-8}}+{\frac {2}{12^{3}-12}}+\dots \right).}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {5}{6}}-6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {7}{12}}+24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {47}{60}}-120\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}={\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}=-{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}={\frac {2\ln 2}{3}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2}$usando${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2N}{\frac {1}{n}}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-3n}}=\ln 2+{\frac {\pi }{6}}}$(sumas de los recíprocos de números decagonales )

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}[\zeta (2n)-1]=\ln 2.}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (2n+1)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\zeta (2n)=1-\ln 2.}$

( γ es la constante de Euler-Mascheroni y ζ la función zeta de Riemann ).

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}$

(Vea más sobre las representaciones de tipo Bailey–Borwein–Plouffe (BBP) .)

Aplicando las tres series generales del logaritmo natural a 2 directamente se obtiene:

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.}$

Aplicándolos se obtiene: ${\displaystyle \textstyle 2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+{\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.}$

Aplicándolos se obtiene: ${\displaystyle \textstyle 2=({\sqrt {2}})^{2}}$

${\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{({\sqrt {2}}+1)^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2+{\sqrt {2}})^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt {2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(17+12{\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}.}$

Aplicándolos se obtiene: ${\displaystyle \textstyle 2={\left({\frac {16}{15}}\right)}^{7}\cdot {\left({\frac {81}{80}}\right)}^{3}\cdot {\left({\frac {25}{24}}\right)}^{5}}$

${\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}.}$

${\displaystyle \ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+{\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.}$

El logaritmo natural de 2 aparece con frecuencia como resultado de la integración. Algunas fórmulas explícitas para ello son:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }2^{-x}dx={\frac {1}{\ln 2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2}$

La expansión de Pierce es OEIS : A091846

${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .}$

La expansión de Engel es OEIS : A059180

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .}$

La expansión cotangente es OEIS : A081785

${\displaystyle \ln 2=\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname {arccot}(14187)-\cdots }).}$

La expansión de fracción continua simple es OEIS : A016730

${\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right]}$,

lo que produce aproximaciones racionales, las primeras de las cuales son 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 y 61/88.

Esta fracción continua generalizada :

${\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]}$, ^[1]

También expresable como

${\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

Dado un valor de ln 2 , un esquema para calcular los logaritmos de otros números enteros es tabular los logaritmos de los números primos y en la siguiente capa los logaritmos de los números compuestos c en función de sus factorizaciones.

${\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots }$

Esto emplea

En una tercera capa, los logaritmos de los números racionales r = ⁠a/b⁠ se calculan con ln( r ) = ln( a ) − ln( b ) , y logaritmos de raíces mediante ln ⁿ √ c = ⁠1/norte⁠ en( c ) .

El logaritmo de 2 es útil en el sentido de que las potencias de 2 están distribuidas de forma bastante densa; encontrar potencias 2 ⁱ cercanas a potencias b ^j de otros números b es comparativamente fácil, y las representaciones en serie de ln( b ) se encuentran acoplando 2 a b con conversiones logarítmicas .

Si p ^s = q ^t + d con algún d pequeño , entoncesps^​/que^​⁠ = 1 + ⁠d/que^​⁠ y por lo tanto

${\displaystyle s\ln p-t\ln q=\ln \left(1+{\frac {d}{q^{t}}}\right)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m}}\left({\frac {d}{q^{t}}}\right)^{m}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {d}{2q^{t}+d}}\right)}^{2n+1}.}$

Seleccionar q = 2 representa ln p por ln 2 y una serie de un parámetrod/que^​⁠ que se desea mantener pequeño para una convergencia rápida. Tomando 3 ² = 2 ³ + 1 , por ejemplo, se genera

${\displaystyle 2\ln 3=3\ln 2-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{8^{k}k}}=3\ln 2+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {1}{2\cdot 8+1}}\right)}^{2n+1}.}$

En realidad, esta es la tercera línea de la siguiente tabla de expansiones de este tipo:

Partiendo del logaritmo natural de q = 10 se podrían utilizar estos parámetros:

Esta es una tabla de registros recientes en el cálculo de dígitos de ln 2 . A diciembre de 2018, se ha calculado con más dígitos que cualquier otro logaritmo natural ^{[2] [3]} de un número natural, excepto el de 1.

• Regla del 72#Composición continua , en la que ln 2 ocupa un lugar destacado
• Vida media#Fórmulas para la vida media en decaimiento exponencial , en las que ln 2 ocupa un lugar destacado
• Ecuación de Erdős-Moser : todas las soluciones deben provenir de un convergente de ln 2 .

• Brent, Richard P. (1976). "Evaluación rápida de precisión múltiple de funciones elementales". J. ACM . 23 (2): 242–251. doi : 10.1145/321941.321944 . MR  0395314. S2CID  6761843.
• Uhler, Horace S. (1940). "Recálculo y extensión del módulo y de los logaritmos de 2, 3, 5, 7 y 17". Proc. Natl. Sci. USA . 26 (3): 205–212. Bibcode :1940PNAS...26..205U. doi : 10.1073/pnas.26.3.205 . MR  0001523. PMC  1078033 . PMID  16588339.
• Sweeney, Dura W. (1963). "Sobre el cálculo de la constante de Euler". Matemáticas de la computación . 17 (82): 170–178. doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X . MR  0160308.
• Chamberland, Marc (2003). "Fórmulas binarias BBP para logaritmos y primos generalizados de Gauss y Mersenne" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 6 : 03.3.7. Bibcode :2003JIntS...6...37C. MR  2046407. Archivado desde el original (PDF) el 2011-06-06 . Consultado el 2010-04-29 .
• Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). "Construcción de sumas binomiales para π y constantes polilogarítmicas inspiradas en fórmulas BBP" (PDF) . Matemáticas Aplicadas. Notas electrónicas . 7 : 237–246. SEÑOR  2346048.
• Wu, Qiang (2003). "Sobre la medida de independencia lineal de logaritmos de números racionales". Matemáticas de la computación . 72 (242): 901–911. doi : 10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .

• Weisstein, Eric W. "Logaritmo natural de 2". MathWorld .
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. "La constante del logaritmo: log 2".