Fórmula integral de Lobachevsky

En matemáticas, las integrales de Dirichlet desempeñan un papel importante en la teoría de distribuciones . Podemos ver la integral de Dirichlet en términos de distribuciones.

Una de ellas es la integral impropia de la función sinc sobre la recta real positiva,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Sea una función continua que satisface el supuesto periódico , y , para . Si se toma la integral como una integral de Riemann impropia , tenemos la fórmula de la integral de Dirichlet de Lobachevsky${\estilo de visualización f(x)}$${\estilo de visualización \pi}$${\displaystyle f(x+\pi )=f(x)}$${\displaystyle f(\pi -x)=f(x)}$${\displaystyle 0\leq x<\infty}$ ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}f(x)\,dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(x)\,dx}$

Además, tenemos la siguiente identidad como una extensión de la fórmula integral de Lobachevsky- Dirichlet ^[1]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(t)\,dt-{\frac {2}{3}}\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}tf(t)\,dt.}$

Como aplicación, tome . Luego ${\displaystyle f(x)=1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}\,dx={\frac {\pi }{3}}.}$

• Hardy, GH (1909). "La integral ". The Mathematical Gazette . 5 (80): 98–103. JSTOR  3602798.${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$
• Dixon, Alfred Cardew (1912). "Prueba de que ". The Mathematical Gazette . 6 (96): 223–224. JSTOR  3604314.${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$