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Pseudogrupo

En matemáticas , un pseudogrupo es un conjunto de homeomorfismos entre conjuntos abiertos de un espacio, que satisfacen propiedades de tipo grupo y de tipo haz . Es una generali...

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En matemáticas , un pseudogrupo es un conjunto de homeomorfismos entre conjuntos abiertos de un espacio, que satisfacen propiedades de tipo grupo y de tipo haz . Es una generalización del concepto de grupo de transformación , que, sin embargo, se origina en el enfoque geométrico de Sophus Lie [ 1 ] para investigar las simetrías de las ecuaciones diferenciales, en lugar de en el álgebra abstracta (como el cuasigrupo , por ejemplo). La teoría moderna de los pseudogrupos fue desarrollada por Élie Cartan a principios del siglo XX. [ 2 ] [ 3 ]

Definición

Un pseudogrupo impone varias condiciones a conjuntos de homeomorfismos (o difeomorfismos ) definidos en conjuntos abiertos U de un espacio euclidiano dado o, más generalmente, de un espacio topológico fijo (o variedad diferenciable ). Dado que dos homeomorfismos h  : U → V y g  : V → W componen un homeomorfismo de U a W , se requiere que el pseudogrupo sea cerrado bajo composición e inversión. Sin embargo, a diferencia de los de un grupo, los axiomas que definen un pseudogrupo no son puramente algebraicos; los requisitos adicionales están relacionados con la posibilidad de restringir y unir homeomorfismos (similar al axioma de pegado para secciones de un haz).

Más precisamente, un pseudogrupo en un espacio topológico S es una colección Γ de homeomorfismos entre subconjuntos abiertos de S que satisfacen las siguientes propiedades: [ 4 ] [ 5 ]

  1. Los dominios de los elementos g en Γ cubren S (" cubren ").
  2. La restricción de un elemento g en Γ a cualquier conjunto abierto contenido en su dominio también está en Γ (" restricción ").
  3. La composición g ∘ h de dos elementos de Γ , cuando está definida, está en Γ (" composición ").
  4. El inverso de un elemento de g está en Γ (" inverso ").
  5. La propiedad de estar en Γ es local, es decir, si g  : U → V es un homeomorfismo entre conjuntos abiertos de S y U cubierto por conjuntos abiertos U i con g restringido a U i que está en Γ para cada i , entonces g también está en Γ (" local ").

Como consecuencia, el homeomorfismo identidad de cualquier subconjunto abierto de S se encuentra en Γ .

De manera similar, un pseudogrupo en una variedad diferenciable X se define como una colección Γ de difeomorfismos entre subconjuntos abiertos de X que satisfacen propiedades análogas (donde reemplazamos los homeomorfismos por difeomorfismos). [ 6 ]

Se dice que dos puntos en X están en la misma órbita si un elemento de Γ los envía uno al otro. Las órbitas de un pseudogrupo forman claramente una partición de X ; un pseudogrupo se denomina transitivo si tiene una sola órbita.

Ejemplos

Un ejemplo común lo constituyen los pseudogrupos que preservan una estructura geométrica dada. Por ejemplo, si ( X , g ) es una variedad riemanniana , se tiene el pseudogrupo de sus isometrías locales ; si ( X , ω ) es una variedad simpléctica , se tiene el pseudogrupo de sus simplectomorfismos locales ; etc. Estos pseudogrupos deben considerarse como el conjunto de las simetrías locales de dichas estructuras.

Pseudogrupos de simetrías y estructuras geométricas

Las variedades con estructuras adicionales a menudo se pueden definir utilizando los pseudogrupos de simetrías de un modelo local fijo. Más precisamente, dado un pseudogrupo Γ , un Γ -atlas en un espacio topológico S consiste en un atlas estándar en S tal que los cambios de coordenadas (es decir, los mapas de transición) pertenecen a Γ . Una clase equivalente de Γ-atlas también se denomina Γ -estructura en S.

En particular, cuando Γ es el pseudogrupo de todos los difeomorfismos definidos localmente de R n , se recupera la noción estándar de un atlas liso y una estructura lisa . De manera más general, se pueden definir los siguientes objetos como Γ -estructuras en un espacio topológico S :

De manera más general, cualquier G -estructura integrable y cualquier ( G , X ) -variedad son casos especiales de Γ -estructuras, para pseudogrupos Γ adecuados .

Pseudogrupos y teoría de Lie

En general, los pseudogrupos se estudiaron como una posible teoría de grupos de Lie de dimensión infinita . El concepto de grupo de Lie local , es decir, un pseudogrupo de funciones definidas en entornos del origen de un espacio euclidiano E , se acerca más al concepto original de grupo de Lie, en el caso de que las transformaciones involucradas dependan de un número finito de parámetros , que la definición contemporánea mediante variedades . Uno de los logros de Cartan fue aclarar los puntos involucrados, incluyendo el hecho de que un grupo de Lie local siempre da lugar a un grupo global , en el sentido actual (un análogo del tercer teorema de Lie sobre las álgebras de Lie que determinan un grupo). El grupo formal es otro enfoque para la especificación de grupos de Lie, infinitesimalmente. Sin embargo, se sabe que los grupos topológicos locales no necesariamente tienen contrapartes globales.

Abundan los ejemplos de pseudogrupos de dimensión infinita, comenzando con el pseudogrupo de todos los difeomorfismos de E. El interés se centra principalmente en los subpseudogrupos de los difeomorfismos y, por lo tanto, en objetos que poseen un análogo de los campos vectoriales en el álgebra de Lie . Los métodos propuestos por Lie y Cartan para el estudio de estos objetos se han vuelto más prácticos gracias al progreso del álgebra computacional .

En la década de 1950, Shiing-Shen Chern reformuló la teoría de Cartan , y Kunihiko Kodaira [ 7 ] y DC Spencer [ 8 ] desarrollaron una teoría general de deformación para pseudogrupos . En la década de 1960, el álgebra homológica se aplicó a las cuestiones básicas de EDP de sobredeterminación; sin embargo, esto reveló que el álgebra de la teoría es potencialmente muy pesada. En la misma década, el interés por la física teórica de la teoría de Lie de dimensión infinita apareció por primera vez, en forma de álgebra de corrientes .

Intuitivamente, un pseudogrupo de Lie debería ser un pseudogrupo que "se origina" a partir de un sistema de EDP. Hay muchas nociones similares pero no equivalentes en la literatura; [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] la "correcta" depende de la aplicación que se tenga en mente. Sin embargo, todos estos enfoques involucran los haces de jets (de dimensión finita o infinita) de Γ , que se pide que sean un grupoide de Lie . En particular, un pseudogrupo de Lie se llama de orden finito k si puede ser "reconstruido" a partir del espacio de sus k - jets .

Referencias

  1. ^ Sophus, Mentira (1888–1893). Teoría de los grupos de transformaciones . BG Teubner. OCLC 6056947 . 
  2. ^ Cartan, Élie (1904). "Sobre la estructura de grupos infinitos de transformaciones" (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 21 : 153–206 . doi : 10.24033/asens.538 .
  3. ^ Cartan, Élie (1909). «Les groupes de transforms continus, infinis, simples» (PDF) . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 26 : 93– 161. doi : 10.24033/asens.603 .
  4. ↑ Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundamentos de geometría diferencial , Volumen I. Wiley Classics Library. Nueva York: John Wiley & Sons Inc. págs. 1–2 . ISBN  0470496487.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  5. ↑ Thurston, William P. (1997). Silvio Levy (ed.). Geometría y topología tridimensionales . Princeton Mathematical Series. Vol. 35. Princeton University Press . doi : 10.1515/9781400865321 . ISBN  0-691-08304-5. MR 1435975 . 
  6. ↑ Loomis, Lynn ; Sternberg, Shlomo (2014). «Variedades diferenciables». Cálculo avanzado ( Edición revisada). World Scientific. págs. 364–372 . ISBN   978-981-4583-93-0. MR 3222280 . 
  7. ↑ Kodaira, K. (1960). "Sobre deformaciones de algunas estructuras de pseudogrupos complejos" . Annals of Mathematics . 71 (2): 224– 302. doi : 10.2307/1970083 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970083 .  
  8. ↑ Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1966). "Teoría de la deformación de estructuras de pseudogrupos" . Memoirs of the American Mathematical Society (64): 0. doi : 10.1090/memo/0064 . ISSN 0065-9266 . 
  9. ↑ Kumpera, Antonio; Spencer, Donald Clayton (1973-01-01). Ecuaciones de Lie, Vol. I. Princeton University Press. doi : 10.1515/9781400881734 . ISBN 978-1-4008-8173-4.
  10. ↑ Singer, IM ; Sternberg, Shlomo (1965). "Los grupos infinitos de Lie y Cartan Parte I, (Los grupos transitivos)". Journal d'Analyse Mathématique . 15 (1): 1– 114. doi : 10.1007/bf02787690 . ISSN 0021-7670 . S2CID 123124081 .  
  11. ^ Claude, Albert (1984-1987). Pseudogrupos de mentiras transitivas . Hermann. OCLC 715985799 . 
  12. ↑ Kuranishi, Masatake (1959). "Sobre la teoría local de pseudogrupos infinitos continuos I" . Nagoya Mathematical Journal . 15 : 225–260 . doi : 10.1017/s0027763000006747 . ISSN 0027-7630 . 
  13. ↑ Olver, Peter J.; Pohjanpelto, Juha (2005). "Formas de Maurer-Cartan y la estructura de los pseudogrupos de Lie" . Selecta Mathematica . 11 (1): 99–126 . doi : 10.1007/s00029-005-0008-7 . ISSN 1022-1824 . S2CID 14712181 .  
  • San Golab (1939). "Über den Begriff der" Pseudogruppe von Transformationen"". Mathematische Annalen . 116 : 768– 780. doi : 10.1007/BF01597390 . S2CID 124962440 .