Ecuación de equilibrio

En teoría de la probabilidad , una ecuación de balance es una ecuación que describe el flujo de probabilidad asociado con una cadena de Markov dentro y fuera de estados o conjunto de estados. ^{[ 1 ]}

Las ecuaciones de equilibrio global (también conocidas como ecuaciones de equilibrio completo ^{[ 2 ]} ) son un conjunto de ecuaciones que caracterizan la distribución de equilibrio (o cualquier distribución estacionaria) de una cadena de Markov, cuando existe tal distribución.

Para una cadena de Markov de tiempo continuo con espacio de estados${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, tasa de transición desde el estado${\displaystyle i}$a${\displaystyle j}$dado por${\displaystyle q_{ij}}$y distribución de equilibrio dada por${\displaystyle \pi }$, las ecuaciones de balance global vienen dadas por ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \pi _{i}\sum _{j\in S\setminus \{i\}}q_{ij}=\sum _{j\in S\setminus \{i\}}\pi _{j}q_{ji}.}$

a pesar de${\displaystyle i\in S}$. Aquí${\displaystyle \pi _ {i}q_ {ij}}$representa el flujo de probabilidad desde el estado${\displaystyle i}$para declarar${\displaystyle j}$. Por lo tanto, el lado izquierdo representa el flujo total desde el estado i hacia estados distintos de i , mientras que el lado derecho representa el flujo total desde todos los estados.${\displaystyle j\neq i}$en estado${\displaystyle i}$En general, es computacionalmente intratable resolver este sistema de ecuaciones para la mayoría de los modelos de colas. ^{[ 4 ]}

Para una cadena de Markov de tiempo continuo (CTMC) con matriz de tasas de transición${\displaystyle Q}$, si${\displaystyle \pi _{i}}$se puede encontrar tal que para cada par de estados${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$

${\displaystyle \pi _{i}q_{ij}=\pi _{j}q_{ji}}$

se sostiene, luego sumando sobre${\displaystyle j}$, las ecuaciones de balance global se satisfacen y${\displaystyle \pi }$es la distribución estacionaria del proceso. ^{[ 5 ]} Si se puede encontrar dicha solución, las ecuaciones resultantes suelen ser mucho más sencillas que resolver directamente las ecuaciones de balance global. ^{[ 4 ]}

Una CTMC es reversible si y solo si se satisfacen las condiciones de balance detallado para cada par de estados.${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$.

Una cadena de Markov de tiempo discreto (DTMC) con matriz de transición${\displaystyle P}$y distribución de equilibrio${\displaystyle \pi }$Se dice que está en equilibrio detallado si para todos los pares${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$, ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \pi _{i}p_{ij}=\pi _{j}p_{ji}.}$

Cuando se puede encontrar una solución, como en el caso de un CTMC, el cálculo suele ser mucho más rápido que resolver directamente las ecuaciones de balance globales.

En algunas situaciones, los términos a ambos lados de las ecuaciones de balance global se cancelan. Las ecuaciones de balance global se pueden entonces particionar para dar un conjunto de ecuaciones de balance local (también conocidas como ecuaciones de balance parcial , ^{[ 2 ]} ecuaciones de balance independiente ^{[ 7 ]} o ecuaciones de balance individual ^{[ 8 ]} ). ^{[ 1 ]} Estas ecuaciones de balance fueron consideradas por primera vez por Peter Whittle . ^{[ 8 ] [ 9 ]} Las ecuaciones resultantes se encuentran en algún punto entre las ecuaciones de balance detallado y las ecuaciones de balance global. Cualquier solución${\displaystyle \pi }$La solución de las ecuaciones de balance locales siempre es una solución de las ecuaciones de balance globales (podemos recuperar las ecuaciones de balance globales sumando las ecuaciones de balance locales correspondientes), pero lo contrario no siempre es cierto. ^{[ 2 ]} A menudo, construir ecuaciones de balance locales equivale a eliminar las sumas externas en las ecuaciones de balance globales para ciertos términos. ^{[ 1 ]}

Durante la década de 1980 se pensó que el equilibrio local era un requisito para una distribución de equilibrio en forma de producto , ^{[ 10 ] [ 11 ]} pero el modelo de red G de Gelenbe demostró que este no era el caso. ^{[ 12 ]}