Teorema del ciclo invariante local

En matemáticas, el teorema del ciclo invariante local fue originalmente una conjetura de Griffiths ^{[ 1 ] [ 2 ]} que establece que, dado un mapa propio sobreyectivo${\displaystyle p}$de un colector Kähler${\displaystyle X}$al disco unitario que tiene rango máximo en todas partes excepto sobre 0, cada clase de cohomología en${\displaystyle p^{-1}(t),t\neq 0}$es la restricción de alguna clase de cohomología en todo${\displaystyle X}$si la clase de cohomología es invariante bajo una acción de círculo (acción de monodromía); en resumen,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(X)\to \operatorname {H} ^{*}(p^{-1}(t))^{S^{1}}}$

es sobreyectiva. La conjetura fue demostrada por primera vez por Clemens. El teorema también es consecuencia de la descomposición BBD . ^{[ 3 ]}

Deligne también demostró lo siguiente. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Dado un morfismo propio${\displaystyle X\to S}$en todo el espectro${\displaystyle S}$de la henselización de${\displaystyle k[T]}$,${\displaystyle k}$un cuerpo algebraicamente cerrado, si${\displaystyle X}$es esencialmente suave sobre${\displaystyle k}$y${\displaystyle X_{\overline {\eta }}}$allanar${\displaystyle {\overline {\eta }}}$, entonces el homomorfismo en${\displaystyle \mathbb {Q} }$-cohomología:

${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(X_{s})\to \operatorname {H} ^{*}(X_{\overline {\eta }})^{\operatorname {Gal} ({\overline {\eta }}/\eta )}}$

es sobreyectiva, donde${\displaystyle s,\eta }$son los puntos especiales y genéricos y el homomorfismo es la composición${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(X_{s})\simeq \operatorname {H} ^{*}(X)\to \operatorname {H} ^{*}(X_{\eta })\to \operatorname {H} ^{*}(X_{\overline {\eta }}).}$

• teoría de Hodge

• Beilinson, Alexander A .; Bernstein, José ; Deligne, Pierre (1982). "Pervertidos Faisceaux". Astérisque (en francés). 100 . París: Société Mathématique de France . SEÑOR 0751966 . 
• Clemens, CH (1977). "Degeneración de variedades de Kähler". Duke Mathematical Journal . 44 (2). doi : 10.1215/S0012-7094-77-04410-6 . S2CID 120378293 . 
• Deligne, Pierre (1980). «La conjetura de Weil  : II» (PDF) . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 52 : 137– 252. doi : 10.1007/BF02684780 . SEÑOR 0601520 . S2CID 189769469 . Zbl 0456.14014 .   
• Griffiths, Phillip A. (1970). "Periodos de integrales en variedades algebraicas: Resumen de los principales resultados y discusión de problemas abiertos" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 76 (2): 228– 296. doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12444-2 .
• Morrison, David R. La secuencia exacta de Clemens-Schmid y aplicaciones, Temas en geometría algebraica trascendental (Princeton, NJ, 1981/1982), 101-119, Ann. of Math. Stud., 106, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1984.