volatilidad local

Dado el precio del activo${\displaystyle S_{t}}$regida por la SDE neutral al riesgo

${\displaystyle dS_{t}=(rd)S_{t}dt+\sigma (t,S_{t})S_{t}dW_{t}}$

La probabilidad de transición${\displaystyle p(t,S_{t})}$condicional a${\displaystyle S_{0}}$satisface la ecuación de Kolmogorov hacia adelante (también conocida como ecuación de Fokker-Planck )

${\displaystyle p_{t}=-[(rd)s\,p]_{s}+{\frac {1}{2}}[(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$

donde, por brevedad, la notación${\displaystyle f_{x}}$denota la derivada parcial de la función f con respecto a x y donde la notación${\displaystyle f_{xx}}$denota la derivada parcial de segundo orden de la función f con respecto a x. Por lo tanto,${\displaystyle p_{t}}$es la derivada parcial de la densidad${\displaystyle p(t,S)}$con respecto a t y por ejemplo ${\displaystyle [(\sigma s)^{2}p]_{ss}}$es la segunda derivada de ${\displaystyle (\sigma (t,S)S)^{2}p(t,S)}$con respecto a S. p denotará${\displaystyle p(t,S)}$y dentro de la integral${\displaystyle p(t,s)}$.

Debido al teorema de precios de Martingala , el precio de una opción de compra con vencimiento${\displaystyle T}$y golpear${\displaystyle K}$es

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}[(S_{T}-K)^{+}]\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(sK)\,p\,ds\\&=e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds-K\,e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\,ds\end{aligned}}}$

Diferenciar el precio de una opción de compra con respecto a${\displaystyle K}$

${\displaystyle C_{K}=-e^{-rT}\int _{K}^{\infty }p\;ds}$

y sustituyendo en la fórmula para el precio de una opción de compra y reorganizando los términos

${\displaystyle e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds=CK\,C_{K}}$

Diferenciar el precio de una opción de compra con respecto a${\displaystyle K}$dos veces

${\displaystyle C_{KK}=e^{-rT}p}$

Diferenciar el precio de una opción de compra con respecto a${\displaystyle T}$rendimientos

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(sK)p_{T}ds}$

utilizando la ecuación de Kolmogorov hacia adelante

${\displaystyle C_{T}=-r\,Ce^{-rT}\int _{K}^{\infty }(sK)[(rd)s\,p]_{s}\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}\int _{K}^{\infty }(sK)[(\sigma s)^{2}\,p]_{ss}\,ds}$

Integrando por partes la primera integral una vez y la segunda integral dos veces.

${\displaystyle C_{T}=-r\,C+(rd)e^{-rT}\int _{K}^{\infty }s\,p\,ds+{\frac {1}{2}}e^{-rT}(\sigma K)^{2}\,p}$

utilizando las fórmulas derivadas que diferencian el precio de una opción de compra con respecto a${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{T}&=-r\,C+(rd)(CK\,C_{K})+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\\&=-(rd)K\,C_{K}-d\,C+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}K^{2}C_{KK}\end{aligned}}}$

El modelo de Bachelier se inspira en el trabajo de Louis Bachelier de 1900. Este modelo, al menos para activos con deriva cero, por ejemplo, precios a plazo o tipos de interés a plazo según su medida a plazo, puede considerarse un modelo de volatilidad local.

${\displaystyle dF_{t}=v\,dW_{t}}$.

En el modelo de Bachelier, el coeficiente de difusión es una constante.${\displaystyle v}$, así que tenemos${\displaystyle \sigma (F_{t},t)F_{t}=v}$, lo que implica${\displaystyle \sigma (F_{t},t)=v/F_{t}}$. A medida que las tasas de interés se volvieron negativas en muchas economías, ^{[ 4 ]} el modelo de Bachelier cobró interés, ya que puede modelar tasas forward negativas F a través de su distribución gaussiana.

Este modelo fue introducido por Mark Rubinstein . ^{[ 5 ]} Para un precio de acciones, sigue la dinámica

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma (S_{t}-\beta e^{rt})\,dW_{t}}$

donde, por simplicidad, asumimos un rendimiento de dividendos cero. El modelo se puede obtener con un cambio de variable a partir de un modelo estándar de Black-Scholes de la siguiente manera. Al establecer${\displaystyle Y_{t}=S_{t}-\beta e^{rt}}$Es evidente que Y sigue un modelo estándar de Black-Scholes.

${\displaystyle dY_{t}=rY_{t}\,dt+\sigma Y_{t}\,dW_{t}.}$

Como ingeniero de desarrollo de software para${\displaystyle Y}$es un movimiento browniano geométrico , tiene una distribución lognormal y dado que${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$El modelo S también se denomina modelo lognormal desplazado, siendo el desplazamiento en el tiempo t${\displaystyle \beta e^{rt}}$Para fijar el precio de una opción de compra con precio de ejercicio K sobre S, simplemente se escribe el pago. ${\displaystyle (S_{T}-K)^{+}=(Y_{T}+\beta e^{rT}-K)^{+}=(Y_{T}-H)^{+}}$ donde H es el nuevo golpe${\displaystyle H=K-\beta e^{rT}}$Como Y sigue un modelo Black-Scholes, el precio de la opción se convierte en un precio Black-Scholes con precio de ejercicio modificado y es fácil de obtener. El modelo produce una curva de sonrisa de volatilidad monótona, cuyo patrón es decreciente para valores negativos.${\displaystyle \beta }$. ^{[ 6 ]} Además, para negativo${\displaystyle \beta }$, de${\displaystyle S_{t}=Y_{t}+\beta e^{rt}}$De ello se deduce que el activo S puede tomar valores negativos con probabilidad positiva. Esto resulta útil, por ejemplo, en la modelización de tipos de interés, donde los tipos negativos han afectado a varias economías. ^{[ 4 ]}

El modelo de elasticidad constante de la varianza (CEV) es un modelo de volatilidad local donde la dinámica de las acciones es, bajo la medida neutral al riesgo y suponiendo que no hay dividendos,

${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=rS_{t}\mathrm {d} t+\sigma S_{t}^{\gamma }\mathrm {d} W_{t},}$

para una tasa de interés constante r, una constante positiva${\displaystyle \sigma >0}$y un exponente${\displaystyle \gamma \geq 0,}$de modo que en este caso

${\displaystyle \sigma (S_{t},t)=\sigma S_{t}^{\gamma -1}.}$

En ocasiones, este modelo se clasifica como un modelo de volatilidad estocástica , aunque, según la definición aquí presentada, se trata de un modelo de volatilidad local, puesto que no se introduce aleatoriedad en el coeficiente de difusión. Este modelo y las referencias relacionadas se describen en detalle en la página correspondiente .

Este modelo fue desarrollado entre 1998 y 2021 en varias versiones por Damiano Brigo , Fabio Mercurio y coautores. Carol Alexander estudió los efectos de la sonrisa a corto y largo plazo. ^{[ 7 ]} El punto de partida es la fórmula básica de Black-Scholes, que proviene de la dinámica neutral al riesgo.${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}$con volatilidad determinista constante${\displaystyle \sigma }$y con función de densidad de probabilidad lognormal denotada por${\displaystyle p_{t,\sigma }^{lognormal}}$En el modelo Black-Scholes, el precio de una opción europea no dependiente de la trayectoria se obtiene mediante la integración del pago de la opción frente a esta densidad lognormal al vencimiento. La idea básica del modelo de dinámica de mezcla lognormal ^{[ 8 ]} es considerar densidades lognormales, como en el modelo Black-Scholes, pero para un número${\displaystyle N}$de posibles volatilidades deterministas constantes${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$, donde llamamos${\displaystyle p_{i,t}=p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}}$, la densidad lognormal de un modelo Black Scholes con volatilidad${\displaystyle \sigma _{i}}$Al modelar el precio de una acción, Brigo y Mercurio ^{[ 9 ]} construyen un modelo de volatilidad local.

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma _{mix}(t,S_{t})S_{t}\ dW_{t},}$

dónde${\displaystyle \sigma _{mix}(t,S_{t})}$se define de una manera que hace que la distribución neutral al riesgo de${\displaystyle S_{t}}$la mezcla requerida de las densidades lognormales${\displaystyle p_{i,t}}$, de modo que la densidad del precio de las acciones resultante es ${\displaystyle p_{S_{t}}(y)=:p_{t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,t}(y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{t,\sigma _{i}}^{lognormal}(y)}$ dónde${\displaystyle \lambda _{i}\in (0,1)}$y${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}=1}$. El${\displaystyle \lambda _{i}}$son los pesos de las diferentes densidades${\displaystyle p_{i,t}}$incluido en la mezcla. La volatilidad instantánea se define como

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {1}{\sum _{j}\lambda _{j}p_{j,t}(y)}}\sum _{i}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}p_{i,t}(y),}$o con más detalle

${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\sigma _{i}^{2}\ {\frac {1}{\sigma _{i}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{i}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{i}^{2}t\right]^{2}\right\}}{\sum _{j=1}^{N}\lambda _{j}{\frac {1}{\sigma _{j}{\sqrt {t}}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma _{j}^{2}t}}\left[\ln {\frac {y}{S_{0}}}-rt+{\tfrac {1}{2}}\sigma _{j}^{2}t\right]^{2}\right\}}}}$

para${\displaystyle (t,y)>(0,0)}$; ${\displaystyle \sigma _{mix}(t,y)=\sigma _{0}}$para ${\displaystyle (t,y)=(0,s_{0}).}$El modelo original presenta una regularización del coeficiente de difusión en un pequeño intervalo de tiempo inicial.${\displaystyle [0,\epsilon ]}$. ^{[ 9 ]} Con este ajuste, el SDE con${\displaystyle \sigma _{mix}}$tiene una solución fuerte única cuya densidad marginal es la mezcla deseada${\displaystyle p_{S_{t}}=\sum _{i}\lambda _{i}p_{i,t}.}$ Se puede escribir además${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)=\sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)\sigma _{i}^{2},}$ dónde${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)\in (0,1)}$y${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Lambda _{i}(t,y)=1}$Esto demuestra que ${\displaystyle \sigma _{mix}^{2}(t,y)}$es un "promedio ponderado" de la${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$con pesas

${\displaystyle \Lambda _{i}(t,y)={\frac {\lambda _{i}\ p_{i,t}(y)}{\sum _{j}\lambda _{j}\ p_{j,t}(y)}}.}$

El precio de una opción en este modelo es muy sencillo de calcular. Si${\displaystyle \mathbb {E} ^{Q}}$denota la expectativa neutral al riesgo, por el teorema de precios de martingala, el precio de una opción de compra sobre S con precio de ejercicio K y vencimiento T viene dado por ${\displaystyle V_{mix}^{Call}(K,T)=e^{-rT}\mathbb {E} ^{Q}\left\{(S_{T}-K)^{+}\right\}}$${\displaystyle =e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}p_{S_{T}}(y)dy=e^{-rT}\int _{0}^{+\infty }(y-K)^{+}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{i,T}(y)dy}$${\displaystyle =\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}e^{-rT}\int (y-K)^{+}p_{i,T}(y)dy=\sum _{{i=1}^{N}}{\lambda _{i}}V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$ dónde${\displaystyle V_{BS}^{Call}(K,T,{\sigma _{i}})}$es el precio de llamada correspondiente en un modelo Black Scholes con volatilidad${\displaystyle \sigma _{i}}$El precio de la opción viene dado por una fórmula de forma cerrada y es una combinación convexa lineal de precios de Black-Scholes de opciones de compra con volatilidades.${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ ponderado por${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$Lo mismo se aplica a las opciones de venta y a todos los demás derechos contingentes simples. La misma combinación convexa también se aplica a varias griegas de opciones como Delta, Gamma, Rho y Theta. La dinámica de la mezcla es un modelo flexible, ya que se puede seleccionar el número de componentes.${\displaystyle N}$Según la complejidad de la sonrisa. Optimización de los parámetros.${\displaystyle \sigma _{i}}$y${\displaystyle \lambda _{i}}$y un posible parámetro de desplazamiento, permite reproducir la mayoría de las sonrisas de mercado. El modelo se ha utilizado con éxito en los mercados de renta variable, ^{[ 10 ]} divisas, ^{[ 11 ]} y tipos de interés. ^{[ 6 ] [ 12 ]}

En el modelo de dinámica de mezclas, se puede demostrar que la curva de sonrisa de volatilidad resultante tendrá un mínimo para K igual al precio at-the-money-forward.${\displaystyle S_{0}e^{rT}}$Esto se puede evitar, y la sonrisa se puede generalizar, combinando las ideas de dinámica de mezcla y difusión desplazada, lo que lleva a la dinámica de mezcla lognormal desplazada. ^{[ 8 ]}

El modelo también se ha aplicado con volatilidades.${\displaystyle \sigma _{i}}$en los componentes de la mezcla que dependen del tiempo, para calibrar la estructura temporal de la sonrisa. ^{[ 10 ]} Se ha estudiado una extensión del modelo donde las diferentes densidades de la mezcla tienen diferentes medias, ^{[ 12 ]} mientras se preserva la deriva final sin arbitraje en la dinámica. Una extensión adicional ha sido la aplicación al caso multivariado, donde se ha formulado un modelo multivariado que es consistente con una mezcla de densidades lognormales multivariadas, posiblemente con desplazamientos, y donde los activos individuales también se distribuyen como mezclas, ^{[ 13 ]} conciliando el modelado de la sonrisa de los activos individuales con la sonrisa en un índice de estos activos. Una segunda aplicación de la versión multivariada ha sido la triangulación de las sonrisas de volatilidad de FX. ^{[ 11 ]} Finalmente, el modelo está vinculado a un modelo de volatilidad incierta donde, en términos generales, la volatilidad es una variable aleatoria que toma los valores${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{N}}$ con probabilidades ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N}}$Técnicamente, se puede demostrar que la dinámica de la mezcla lognormal de volatilidad local es la proyección markoviana del modelo de volatilidad incierta. ^{[ 14 ]}