Subcategoría de localización

En matemáticas, las subcategorías de Serre y las subcategorías localizadoras constituyen clases importantes de subcategorías de una categoría abeliana . Las subcategorías localizadoras son ciertas subcategorías de Serre. Están estrechamente vinculadas a la noción de categoría cociente .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ser una categoría abeliana . Una subcategoría llena no vacía${\displaystyle {\mathcal {C}}}$se denomina subcategoría de Serre (o también subcategoría densa ), si para cada secuencia exacta corta${\displaystyle 0\rightarrow A'\rightarrow A\rightarrow A''\rightarrow 0}$en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$el objeto${\displaystyle A}$está en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$si y solo si los objetos${\displaystyle A'}$ y${\displaystyle A''}$pertenecer a${\displaystyle {\mathcal {C}}}$En palabras:${\displaystyle {\mathcal {C}}}$está cerrado bajo subobjetos, objetos cociente y extensiones.

Cada subcategoría de Serre${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es en sí misma una categoría abeliana, y el functor de inclusión${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {A}}}$es exacto . La importancia de esta noción radica en el hecho de que los núcleos de functores exactos entre categorías abelianas son subcategorías de Serre, y que se puede construir (para localmente pequeño)${\displaystyle {\mathcal {A}}}$) la categoría cociente (en el sentido de Gabriel , Grothendieck , Serre )${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$, que tiene los mismos objetos que${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, es abeliano y viene con un functor exacto (llamado functor cociente)${\displaystyle T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$cuyo núcleo es${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ser localmente pequeño. La subcategoría Serre${\displaystyle {\mathcal {C}}}$se denomina localización si el functor cociente ${\displaystyle T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$tiene un adjunto derecho${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$. Desde entonces${\displaystyle T}$, como adjunto izquierdo, preserva los colímites , cada subcategoría localizadora es cerrada bajo colímites. El functor${\displaystyle T}$(o a veces)${\displaystyle ST}$) también se denomina functor de localización y${\displaystyle S}$el functor de sección . El functor de sección es exacto por la izquierda y totalmente fiel .

Si la categoría abeliana${\displaystyle {\mathcal {A}}}$Además, es cocomplete y tiene envolturas inyectivas (por ejemplo, si es una categoría de Grothendieck ), entonces es una subcategoría de Serre.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es localizando si y solo si ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es cerrado bajo coproductos arbitrarios (también llamados sumas directas). Por lo tanto, la noción de una subcategoría localizadora es equivalente a la noción de una clase de torsión hereditaria .

Si${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es una categoría de Grothendieck y${\displaystyle {\mathcal {C}}}$una subcategoría de localización, entonces${\displaystyle {\mathcal {C}}}$y la categoría de cociente ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}}$Son de nuevo categorías de Grothendieck.

El teorema de Gabriel-Popescu implica que toda categoría de Grothendieck es la categoría cociente de una categoría de módulo.${\displaystyle \operatorname {Mod} (R)}$(con${\displaystyle R}$un anillo adecuado ) módulo una subcategoría localizadora.

• Subcategoría Giraud

• Nicolae Popescu ; 1973; Categorías abelianas con aplicaciones a anillos y módulos ; Academic Press, Inc.; agotado.