Función localmente constante

En matemáticas , una función localmente constante es una función de un espacio topológico a un conjunto con la propiedad de que alrededor de cada punto de su dominio , existe algún entorno de ese punto en el que se restringe a una función constante .

Dejar${\displaystyle f:X\to S}$sea ​​una función de un espacio topológico${\displaystyle X}$en un conjunto${\displaystyle S.}$ Si ${\displaystyle x\in X}$entonces${\displaystyle f}$Se dice que es localmente constante en${\displaystyle x}$si existe un vecindario${\displaystyle U\subsetequ X}$de${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle f}$es constante en${\displaystyle U,}$lo cual por definición significa que${\displaystyle f(u)=f(v)}$a pesar de${\displaystyle u,v\in U.}$ La función${\displaystyle f:X\to S}$Se dice que es localmente constante si es localmente constante en cada punto.${\displaystyle x\in X}$en su dominio.

Toda función constante es localmente constante. Lo contrario se cumple si su dominio es un espacio conexo .

Toda función localmente constante de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$a${\displaystyle \mathbb {R} }$es constante, por la interconexión de${\displaystyle \mathbb {R} .}$Pero la función${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$de los racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$a${\displaystyle \mathbb {R} ,}$definido por${\displaystyle f(x)=0{\text{ para }}x<\pi ,}$y${\displaystyle f(x)=1{\text{ para }}x>\pi ,}$es localmente constante (esto utiliza el hecho de que${\displaystyle \pi }$es irracional y que por lo tanto los dos conjuntos${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x<\pi \}}$y${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x>\pi \}}$ambos están abiertos en${\displaystyle \mathbb {Q} }$).

Si${\displaystyle f:A\to B}$es localmente constante, entonces es constante en cualquier componente conectado de${\displaystyle A.}$Lo contrario es cierto para los espacios conexos localmente , que son espacios cuyos componentes conexos son subconjuntos abiertos.

Otros ejemplos incluyen los siguientes:

• Dado un mapa de cobertura${\displaystyle p:C\to X,}$luego a cada punto${\displaystyle x\in X}$podemos asignar la cardinalidad de la fibra${\displaystyle p^{-1}(x)}$encima${\displaystyle x}$; esta asignación es localmente constante.
• Un mapa de un espacio topológico${\displaystyle A}$a un espacio discreto${\displaystyle B}$es continua si y solo si es localmente constante.

Hay haces de funciones localmente constantes en${\displaystyle X.}$Para ser más precisos, las funciones de valor entero localmente constantes en${\displaystyle X}$formar un haz en el sentido de que para cada conjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$Podemos formar las funciones de este tipo; y luego verificar que los axiomas de haz se cumplen para esta construcción, lo que nos da un haz de grupos abelianos (incluso anillos conmutativos ). ^{[ 1 ]} Este haz podría escribirse${\displaystyle Z_{X}}$; descrito por medio de tallos tenemos tallo${\displaystyle Z_{x},}$una copia de${\displaystyle Z}$en${\displaystyle x,}$para cada${\displaystyle x\in X.}$Esto puede denominarse haz constante , es decir, haz de funciones localmente constantes que toman sus valores en el mismo grupo. El haz típico, por supuesto, no es constante de esta manera; pero la construcción es útil para vincular la cohomología de haces con la teoría de homología y en aplicaciones lógicas de haces. La idea del sistema de coeficientes locales es que podemos tener una teoría de haces que localmente se parezcan a dichos haces "inofensivos" (cerca de cualquier${\displaystyle x}$), pero desde un punto de vista global presentan cierta "torsión".

• Teorema de Liouville (análisis complejo) – Teorema en análisis complejo 
• haz constante local