Espacio localmente finito

En el campo matemático de la topología , un espacio localmente finito es un espacio topológico en el que cada punto tiene un entorno finito , es decir, un entorno que consta de un número finito de elementos.

Las condiciones para la finitud local fueron creadas por Jun-iti Nagata y Yury Smirnov mientras buscaban una versión más fuerte del teorema de metrización de Urysohn . La motivación detrás de la finitud local fue formular una nueva forma de determinar si un espacio topológico${\displaystyle X}$es metrizable sin el requisito de base numerable del teorema de Urysohn. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle T=(S,\tau )}$sea ​​un espacio topológico y dejemos que${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ser un conjunto de subconjuntos de${\displaystyle S}$Entonces${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es localmente finito si y solo si cada elemento de${\displaystyle S}$tiene un vecindario que interseca un número finito de conjuntos en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. ^{[ 2 ]}

Un espacio localmente finito es un espacio de Alexandrov . ^{[ 1 ]}

Un espacio T ₁ es localmente finito si y solo si es discreto . ^{[ 3 ]}