Hispanopedia WikiEn álgebra universal , una variedad de álgebras es la clase de todas las estructuras algebraicas de una signatura dada que satisfacen un conjunto dado de identidades. Se dice que una variedad es localmente finita si toda álgebra finitamente generada tiene cardinalidad finita , o, equivalentemente, si toda álgebra libre finitamente generada tiene cardinalidad finita.
La variedad de álgebras booleanas constituye un ejemplo famoso. El álgebra booleana libre sobre n generadores tiene cardinalidad 2 2 n , que consiste en las operaciones n -arias 2 n →2.
La variedad de conjuntos constituye un ejemplo degenerado: el conjunto libre sobre n generadores tiene cardinalidad n , y consta únicamente de los generadores mismos.
La variedad de conjuntos apuntados constituye un ejemplo trivial: el conjunto apuntado libre sobre n generadores tiene cardinalidad n +1, y consta de los generadores junto con el punto base.
La variedad de grafos que se define a continuación constituye un ejemplo combinatorio. Definimos un grafo G = ( E , s , t ) como un conjunto E de aristas y operaciones unarias s , t de origen y destino que satisfacen s ( s ( e )) = t ( s ( e )) y s ( t ( e )) = t ( t ( e )). Los vértices son aquellas aristas en la imagen (común) de s y t . El grafo libre sobre n generadores tiene cardinalidad 3 n y consta de n aristas e, cada una con dos extremos s ( e ) y t ( e ). Los grafos con relaciones de incidencia no triviales surgen como cocientes de grafos libres, siendo más útil identificar los vértices.
La variedad de conjuntos y la variedad de grafos así definidos forman cada uno una categoría de prefaiscejos y, por lo tanto, un topos de Grothendieck . Este no es el caso para la variedad de álgebras booleanas o de conjuntos con punto.
Referencias
- http://www.math.mcmaster.ca/~matt/publications/novo.pdf
- Álgebra universal
- Esbozos de álgebra