Planitud local

En topología , una rama de las matemáticas , la planitud local es una condición de suavidad que se puede imponer a las subvariedades topológicas . En la categoría de variedades topológicas, las subvariedades localmente planas desempeñan un papel similar al de las subvariedades incrustadas en la categoría de variedades suaves . Las violaciones de la planitud local describen redes de crestas y estructuras arrugadas , con aplicaciones en el procesamiento de materiales y la ingeniería mecánica .

Definición

Supongamos que una variedad N de dimensión d está incrustada en una variedad M de dimensión n (donde d < n ). Si $x\in N,$ Decimos que N es localmente plano en x si hay un vecindario. $U\subset M$ de x tal que el par topológico $(U,U\cap N)$ es homeomorfo al par $(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})$ , con la inclusión estándar de $\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{n}.$ Es decir, existe un homeomorfismo $U\to \mathbb {R} ^{n}$ de tal manera que la imagen de $U\cap N$ coincide con $\mathbb {R} ^{d}$ En términos diagramáticos, el siguiente cuadrado debe conmutar :

{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} — Diagrama conmutativo: $U & cap; N$ tiene un monomorfismo a $U$ , ambos tienen isomorfismos a $\mathbb {R} ^{d}$ y $\mathbb {R} ^{n}$ (respectivamente), y $\mathbb {R} ^{d}$ tiene un monomorfismo a $\mathbb {R} ^{n}.$

Decimos que N es localmente plano en M si N es localmente plano en cada punto. De manera similar, un mapa $\chi \colon N\to M$ Se denomina localmente plano , incluso si no es una incrustación, si cada x en N tiene un vecindario U cuya imagen $\chi (U)$ es localmente plano en M.

En variedades con frontera

La definición anterior supone que, si M tiene un límite , x no es un punto del límite de M. Si x es un punto en el límite de M , entonces la definición se modifica de la siguiente manera. Decimos que N es localmente plano en un punto del límite x de M si existe un entorno $U\subset M$ de x tal que el par topológico $(U,U\cap N)$ es homeomorfo al par $(\mathbb {R} _{+}^{n},\mathbb {R} ^{d})$ , dónde $\mathbb {R} _{+}^{n}$ es un medio espacio estándar y $\mathbb {R} ^{d}$ se incluye como un subespacio estándar de su frontera.

Consecuencias

La planitud local de una incrustación implica propiedades fuertes que no comparten todas las incrustaciones. Brown (1962) demostró que si d = n − 1, entonces N está rodeado por un collar; es decir, tiene un vecindario que es homeomorfo a N × [0,1] con N mismo correspondiente a N × 1/2 (si N está en el interior de M ) o N × 0 (si N está en el límite de M ).

No ejemplo

Dejar $K$ ser un nudo no trivial en $S^{3}$ ; es decir, una subvariedad unidimensional conectada y localmente plana de $S^{3}$ de tal manera que el par $(S^{3},K)$ no es homeomorfo a $(S^{3},S^{1})$ . Luego el cono en $K$ desde el centro ${\underline {0}}$ de $D^{4}$ es una subvariedad de $D^{4}$ , pero no es localmente plano en ${\underline {0}}$ . ^{[ 1 ]}

Véase también

Referencias

↑ András Juhász, Topología diferencial y de baja dimensión , p. 3

Brown, Morton (1962), Incrustaciones localmente planas [ sic ] de variedades topológicas. Annals of Mathematics , Segunda serie, Vol. 75 (1962), pp. 331–341.
Mazur, Barry . Sobre incrustaciones de esferas. Boletín de la Sociedad Matemática Americana , vol. 65 (1959), n.º 2, págs. 59–65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034 .

[1] András Juhász, Topología diferencial y de baja dimensión , p. 3

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