Grupo localmente lucrativo

En matemáticas, un grupo localmente profinito es un grupo topológico de Hausdorff en el que cada entorno del elemento identidad contiene un subgrupo abierto compacto . De manera equivalente, un grupo localmente profinito es un grupo topológico que es de Hausdorff , localmente compacto y totalmente desconectado . Además, un grupo localmente profinito es compacto si y solo si es profinito ; esto explica la terminología. Los ejemplos básicos de grupos localmente profinitos son los grupos discretos y los grupos de Lie p -ádicos . Los no ejemplos son los grupos de Lie reales , que tienen la propiedad de no tener subgrupos pequeños .

En un grupo localmente profinito, un subgrupo cerrado es localmente profinito y cada subgrupo compacto está contenido en un subgrupo compacto abierto.

Ejemplos importantes de grupos localmente profinitos provienen de la teoría algebraica de números . Sea F un cuerpo local no arquimediano . Entonces tanto F como son localmente profinitos. De manera más general, el anillo de matrices y el grupo lineal general son localmente profinitos. Otro ejemplo de un grupo localmente profinito es el grupo de Weil absoluto de un cuerpo local no arquimediano: esto contrasta con el hecho de que el grupo de Galois absoluto de tales cuerpos es profinito (en particular compacto). ${\displaystyle F^{\veces }}$${\displaystyle \operatorname {M}_{n}(F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(F)}$

Sea G un grupo localmente profinito. Entonces un homomorfismo de grupo es continuo si y solo si tiene núcleo abierto. ${\displaystyle \psi :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$

Sea una representación compleja de G . ^[1] se dice que es suave si V es una unión de donde K recorre todos los subgrupos compactos abiertos K . se dice que es admisible si es suave y es de dimensión finita para cualquier subgrupo compacto abierto K . ${\displaystyle (\rho ,V)}$ ${\estilo de visualización \rho}$$Estilo de visualización V^{K}}$${\estilo de visualización \rho}$$Estilo de visualización V^{K}}$

Ahora hacemos una suposición general que es , como máximo, contable para todos los subgrupos compactos abiertos K.${\estilo de visualización G/K}$

El espacio dual lleva la acción de G dada por . En general, no es uniforme. Por lo tanto, fijamos donde actúa a través de y fijamos . La representación uniforme se denomina entonces contragrediente o dual uniforme de . ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle \rho ^{*}}$${\displaystyle \left\langle \rho ^{*}(g)\alpha ,v\right\rangle =\left\langle \alpha ,\rho ^{*}(g^{-1})v\right\rangle }$${\displaystyle \rho ^{*}}$${\displaystyle {\widetilde {V}}=\bigcup _{K}(V^{*})^{K}}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle \rho ^{*}}$${\displaystyle {\widetilde {\rho }}=\rho ^{*}}$${\displaystyle ({\widetilde {\rho }},{\widetilde {V}})}$${\displaystyle (\rho ,V)}$

El funtor contravariante

${\displaystyle (\rho ,V)\mapsto ({\widetilde {\rho }},{\widetilde {V}})}$

de la categoría de representaciones suaves de G a sí mismo es exacto. Además, los siguientes son equivalentes.

• ${\estilo de visualización \rho}$es admisible.
• ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$es admisible. ^[2]
• El mapa canónico del G -módulo es un isomorfismo.${\displaystyle \rho \to {\widetilde {\widetilde {\rho }}}}$

Cuando es admisible, es irreducible si y sólo si es irreducible. ${\estilo de visualización \rho}$${\estilo de visualización \rho}$${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$

El supuesto de contabilidad al principio es realmente necesario, pues existe un grupo localmente profinito que admite una representación suave irreducible tal que no es irreducible. ${\estilo de visualización \rho}$${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$

Sea un grupo localmente profinito unimodular tal que sea, como máximo, numerable para todos los subgrupos compactos abiertos K , y una medida de Haar izquierda en . Sea el espacio de funciones localmente constantes en con soporte compacto. Con la estructura multiplicativa dada por ${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G/K}$${\estilo de visualización \mu}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(G)}$${\estilo de visualización G}$

${\displaystyle (f*h)(x)=\int _{G}f(g)h(g^{-1}x)d\mu (g)}$

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(G)}$se convierte en un álgebra asociativa no necesariamente unitaria . Se denomina álgebra de Hecke de G y se denota por . El álgebra desempeña un papel importante en el estudio de representaciones suaves de grupos localmente profinitos. De hecho, se tiene lo siguiente: dada una representación suave de G , definimos una nueva acción sobre V : ${\displaystyle \mathbb {C}}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(G)}$${\displaystyle (\rho ,V)}$

${\displaystyle \rho(f)=\int _{G}f(g)\rho(g)d\mu(g).}$

Por lo tanto, tenemos el funtor de la categoría de representaciones suaves de a la categoría de módulos no degenerados. Aquí, "no degenerado" significa . Entonces el hecho es que el funtor es una equivalencia. ^[3]${\displaystyle \rho \mapsto \rho}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle {\mathfrak {H}}(G)}$${\displaystyle \rho ({\mathfrak {H}}(G))V=V}$

• Corinne Blondel, Teoría básica de la representación de grupos p-ádicos reductivos
• Bushnell, Colin J .; Henniart, Guy (2006), La conjetura local de Langlands para GL(2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 335, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/3-540-31511-X, ISBN 978-3-540-31486-8, Sr.  2234120
• Milne, James S. (1988), Modelos canónicos de variedades (mixtas) de Shimura y paquetes de vectores automórficos , MR  1044823