Parámetro de ubicación

En estadística , un parámetro de localización de una distribución de probabilidad es un parámetro escalar o vectorial.${\displaystyle x_{0}}$, que determina la "ubicación" o desplazamiento de la distribución. En la literatura sobre estimación de parámetros de ubicación, se encuentra que las distribuciones de probabilidad con dicho parámetro se definen formalmente de una de las siguientes maneras equivalentes:

• ya sea por tener una función de densidad de probabilidad o una función de masa de probabilidad${\displaystyle f(x-x_{0})}$; ^{[ 1 ]} o
• tener una función de distribución acumulativa${\displaystyle F(x-x_{0})}$; ^{[ 2 ]} o
• ser definido como resultado de la transformación de la variable aleatoria${\displaystyle x_{0}+X}$, dónde${\displaystyle X}$es una variable aleatoria con una distribución determinada, posiblemente desconocida. ^{[ 3 ]} Véase también §  Ruido aditivo .

Un ejemplo directo de un parámetro de ubicación es el parámetro${\displaystyle \mu }$de la distribución normal . Para ver esto, observe que la función de densidad de probabilidad${\displaystyle f(x|\mu ,\sigma )}$de una distribución normal${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu,\sigma ^{2})}$puede tener el parámetro${\displaystyle \mu }$factorizado y escrito como: $${\displaystyle g(x'=x-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x'}{\sigma }}\right)^{2}\right)}$$ Cumpliendo así con la primera de las definiciones dadas anteriormente.

La definición anterior indica, en el caso unidimensional, que si${\displaystyle x_{0}}$Cuando aumenta, la función de densidad de probabilidad o función de masa se desplaza rígidamente hacia la derecha, manteniendo su forma exacta.

También se puede encontrar un parámetro de localización en familias que tienen más de un parámetro, como las familias de localización-escala . En este caso, la función de densidad de probabilidad o función de masa de probabilidad será un caso especial de la forma más general. $${\displaystyle f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})}$$ dónde${\displaystyle x_{0}}$es el parámetro de ubicación, θ representa parámetros adicionales y${\displaystyle f_{\theta }}$es una función parametrizada en función de parámetros adicionales.

Fuente: ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle f(x)}$Sea cualquier función de densidad de probabilidad y sea${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \sigma >0}$sean cualesquiera constantes dadas. Entonces la función

$${\displaystyle g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f{\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}}$$

es una función de densidad de probabilidad.

La familia de ubicaciones se define entonces de la siguiente manera:

Dejar${\displaystyle f(x)}$Sea cualquier función de densidad de probabilidad. Entonces, la familia de funciones de densidad de probabilidad${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(x-\mu ):\mu \in \mathbb {R} \}}$Se denomina familia de localización con función de densidad de probabilidad estándar.${\displaystyle f(x)}$, dónde${\displaystyle \mu }$Se denomina parámetro de ubicación para la familia.

Una forma alternativa de pensar en las familias de ubicaciones es a través del concepto de ruido aditivo . Si${\displaystyle x_{0}}$es una constante y W es ruido aleatorio con densidad de probabilidad${\displaystyle f_{W}(w),}$entonces${\displaystyle X=x_{0}+W}$tiene densidad de probabilidad${\displaystyle f_{x_{0}}(x)=f_{W}(x-x_{0})}$y su distribución forma parte, por lo tanto, de una familia de localizaciones.

Para el caso univariado continuo, consideremos una función de densidad de probabilidad.${\displaystyle f(x|\theta ),x\in [a,b]\subset \mathbb {R} }$, dónde${\displaystyle \theta }$es un vector de parámetros. Un parámetro de ubicación${\displaystyle x_{0}}$se puede agregar definiendo: $${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})=f(x-x_{0}|\theta ),\;x\in [a+x_{0},b+x_{0}]}$$ Se puede demostrar que${\displaystyle g}$es un pdf al verificar si cumple las dos condiciones ^{[ 5 ]}${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$y${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=1}$.${\displaystyle g}$Su integral es 1 porque: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a+x_{0}}^{b+x_{0}}g(x|\theta ,x_{0})dx=\int _{a+x_{0}}^{b+x_{0}}f(x-x_{0}|\theta )dx}$$ Ahora estamos realizando el cambio de variable.${\displaystyle u=x-x_{0}}$y actualizando el intervalo de integración en consecuencia se obtiene: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(u|\theta )du=1}$$ porque${\displaystyle f(x|\theta )}$es un pdf por hipótesis.${\displaystyle g(x|\theta ,x_{0})\geq 0}$sigue de${\displaystyle g}$compartiendo la misma imagen de${\displaystyle f}$, que es un pdf, por lo que su rango está contenido en${\displaystyle [0,1]}$.

• Tendencia central
• Prueba de ubicación
• Estimador invariante
• Parámetro de escala
• Modelos de decisión de dos momentos

• "1.3.6.4. Parámetros de ubicación y escala" . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . Consultado el 17 de marzo de 2025 .