descomposición de Loewy

En el estudio de las ecuaciones diferenciales , la descomposición de Loewy divide toda ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO) en lo que se denominan componentes completamente irreducibles de mayor magnitud. Fue introducida por Alfred Loewy . ^{[ 1 ]}

La resolución de ecuaciones diferenciales es uno de los subcampos más importantes de las matemáticas . Son de particular interés las soluciones en forma cerrada . Al descomponer las EDO en sus componentes irreducibles más grandes, se reduce el proceso de resolver la ecuación original a resolver ecuaciones irreducibles del orden más bajo posible. Este procedimiento es algorítmico , por lo que se garantiza la mejor respuesta posible para resolver una ecuación reducible. Una discusión detallada puede encontrarse en ^{[ 2 ] .}

Los resultados de Loewy se han extendido a ecuaciones diferenciales parciales lineales (EDP) con dos variables independientes. De este modo, se han desarrollado métodos algorítmicos para resolver una amplia gama de EDP lineales.

Dejar${\textstyle D\equiv {\frac {d}{dx}}}$denotamos la derivada con respecto a la variable${\displaystyle x}$. Un operador diferencial de orden${\displaystyle n}$es un polinomio de la forma $${\displaystyle L\equiv D^{n}+a_{1}D^{n-1}+\cdots +a_{n-1}D+a_{n}}$$ donde los coeficientes${\displaystyle a_{i}}$,${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$son de algún campo de función, el campo base de${\displaystyle L}$. Generalmente es el campo de las funciones racionales en la variable${\displaystyle x}$, es decir${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} (x)}$. Si${\displaystyle y}$es un indeterminado con${\textstyle {\frac {dy}{dx}}\neq 0}$,${\displaystyle Ly}$se convierte en un polinomio diferencial, y${\displaystyle Ly=0}$es la ecuación diferencial correspondiente a${\displaystyle L}$.

Un operador${\displaystyle L}$del orden${\displaystyle n}$Se denomina reducible si puede representarse como el producto de dos operadores.${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$, ambos de orden inferior a${\displaystyle n}$. Entonces uno escribe${\displaystyle L=L_{1}L_{2}}$, es decir, yuxtaposición significa el producto del operador, se define por la regla${\displaystyle Da_{i}=a_{i}D+a_{i}'}$;${\displaystyle L_{1}}$se llama factor izquierdo de${\displaystyle L}$,${\displaystyle L_{2}}$un factor derecho. Por defecto, se supone que el dominio de coeficientes de los factores es el campo base de${\displaystyle L}$, posiblemente extendido por algunos números algebraicos , es decir${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}(x)}$está permitido. Si un operador no permite ningún factor derecho, se denomina irreducible .

Para cualesquiera dos operadores${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$el menos común izquierdo múltiple${\displaystyle \operatorname {Lclm} (L_ {1}, L_ {2})}$es el operador de orden más bajo tal que ambos${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$divídalo por la derecha. El mayor divisor común derecho${\displaystyle \operatorname {Gcrd} (L_{1},L_{2})}$es el operador de orden más alto que divide ambos${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$desde la derecha. Si un operador puede representarse como${\displaystyle \operatorname {Lclm} }$De operadores irreducibles se dice completamente reducible . Por definición, un operador irreducible se llama completamente reducible.

Si un operador no es completamente reducible, el${\displaystyle \operatorname {Lclm} }$de sus factores derechos irreducibles se divide y el mismo procedimiento se repite con el cociente . Debido a la disminución del orden en cada paso, este procedimiento termina después de un número finito de iteraciones y se obtiene la descomposición deseada. Con base en estas consideraciones, Loewy ^{[ 1 ]} obtuvo el siguiente resultado fundamental.

La descomposición determinada en este teorema se denomina descomposición de Loewy de${\displaystyle L}$Proporciona una descripción detallada del espacio de funciones que contiene la solución de una ecuación diferencial lineal reducible.${\displaystyle Ly=0}$.

Para operadores de orden fijo, las posibles descomposiciones de Loewy, que difieren en el número y el orden de los factores, pueden enumerarse explícitamente; algunos de los factores pueden contener parámetros. Cada alternativa se denomina un tipo de descomposición de Loewy . La respuesta completa para${\displaystyle n=2}$se detalla en el siguiente corolario del teorema anterior. ^{[ 3 ]}

Corolario 1 Sea${\displaystyle L}$sea ​​un operador de segundo orden. Sus posibles descomposiciones de Loewy se denotan por${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}^{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{3}^{2}}$, pueden describirse de la siguiente manera;${\displaystyle l^{(i)}}$y${\displaystyle l_{j}^{(i)}}$son operadores irreducibles de orden${\displaystyle i}$;${\displaystyle C}$es una constante.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {L}}_{1}^{2}:L=l_{2}^{(1)}l_{1}^{(1)};\\&{\mathcal {L}}_{2}^{2}:L=\operatorname {Lclm} \left(l_{2}^{(1)},l_{1}^{(1)}\right);\\&{\mathcal {L}}_{3}^{2}:L=\operatorname {Lclm} \left(l^{(1)}(C)\right).\end{aligned}}}$$

El tipo de descomposición de un operador es la descomposición${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}^{2}}$con el valor más alto de${\displaystyle i}$. Se define un operador irreducible de segundo orden con un tipo de descomposición${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}^{2}}$.

Las descomposiciones${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}^{2}}$,${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}^{2}}$y${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}^{2}}$son completamente reducibles.

Si una descomposición de tipo${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}^{2}}$,${\displaystyle i=1,2}$o${\displaystyle 3}$se ha obtenido para una ecuación de segundo orden${\displaystyle Ly=0}$, se puede dar un sistema fundamental de forma explícita.

Corolario 2 Sea${\displaystyle L}$ser un operador diferencial de segundo orden,${\textstyle D\equiv {\frac {d}{dx}}}$,${\displaystyle y}$una indeterminada diferencial y${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} (x)}$. Definir${\textstyle \varepsilon _{i}(x)\equiv \exp {\left(-\int a_{i}\,dx\right)}}$para${\displaystyle i=1,2}$y${\textstyle \varepsilon (x,C)\equiv \exp {\left(-\int a(C)\,dx\right)}}$,${\displaystyle C}$es un parámetro ; las cantidades con barra${\displaystyle {\bar {C}}}$y${\displaystyle {\bar {\bar {C}}}}$son números arbitrarios,${\displaystyle {\bar {C}}\neq {\bar {\bar {C}}}}$. Para las tres descomposiciones no triviales del Corolario 1, los siguientes elementos${\displaystyle y_{1}}$y${\displaystyle y_{2}}$Se obtienen los de un sistema fundamental.

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}^{2}:Ly=(D+a_{2})(D+a_{1})y=0;}$$$${\displaystyle y_{1}=\varepsilon _{1}(x),\quad y_{2}=\varepsilon _{1}(x)\int {\frac {\varepsilon _{2}(x)}{\varepsilon _{1}(x)}}\,dx.}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}^{2}:Ly=\operatorname {Lclm} (D+a_{2},D+a_{1})y=0;}$$$${\displaystyle y_{i}=\varepsilon _{i}(x);}$$

${\displaystyle a_{1}}$no es equivalente a${\displaystyle a_{2}}$.

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}^{2}:Ly=\operatorname {Lclm} (D+a(C))y=0;}$$$${\displaystyle y_{1}=\varepsilon (x,{\bar {C}})}$$$${\displaystyle y_{2}=\varepsilon (x,{\bar {\bar {C}}}).}$$

Aquí dos funciones racionales${\displaystyle p,q\in \mathbb {Q} (x)}$se denominan equivalentes si existe otra función racional${\displaystyle r\in \mathbb {Q} (x)}$de tal manera que$${\displaystyle p-q={\frac {r'}{r}}.}$$

Queda pendiente la cuestión de cómo obtener la factorización de una ecuación u operador dado. Resulta que, para las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, hallar los factores se reduce a determinar soluciones racionales de ecuaciones de Riccati o de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales; ambas pueden determinarse algorítmicamente. Los dos ejemplos que se muestran a continuación ilustran la aplicación de este corolario.

Ejemplo 1 Ecuación 2.201 de la colección de Kamke. ^{[ 4 ]} tiene la${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}^{2}}$descomposición $${\displaystyle y''+\left(2+{\frac {1}{x}}\right)y'-{\frac {4}{x^{2}}}y=\operatorname {Lclm} \left(D+{\frac {2}{x}}-{\frac {2x-2}{x^{2}-2x+{\frac {3}{2}}}},D+2+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x+{\frac {3}{2}}}}\right)y=0.}$$

Los coeficientes${\textstyle a_{1}=2+{\frac {2}{x}}-{\frac {1}{x+{\frac {3}{2}}}}}$y${\textstyle a_{2}={\frac {2}{x}}-{\frac {2x-2}{x^{2}-2x+{\frac {3}{2}}}}}$son soluciones racionales de la ecuación de Riccati${\textstyle a'-a^{2}+\left(2+{\frac {1}{x}}\right)+{\frac {4}{x^{2}}}=0}$, dan lugar al sistema fundamental $${\displaystyle y_{1}={\frac {2}{3}}-{\frac {4}{3x}}+{\frac {1}{x^{2}}},}$$$${\displaystyle y_{2}={\frac {2}{x}}+{\frac {3}{x^{2}}}e^{-2x}.}$$

Ejemplo 2 Una ecuación con un tipo${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}^{2}}$La descomposición es $${\displaystyle y''-{\frac {6}{x^{2}}}y=\operatorname {Lclm} \left(D+{\frac {2}{x}}-{\frac {5x^{4}}{x^{5}+C}}\right)y=0.}$$

El coeficiente del factor de primer orden es la solución racional de${\textstyle a'-a^{2}+{\frac {6}{x^{2}}}=0}$Tras la integración del sistema fundamental${\textstyle y_{1}=x^{3}}$y${\textstyle y_{2}={\frac {1}{x^{2}}}}$para${\displaystyle C=0}$y${\displaystyle C\to \infty }$respectivamente se obtiene.

Estos resultados demuestran que la factorización proporciona un esquema algorítmico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales reducibles. Siempre que una ecuación de orden 2 se factoriza según uno de los tipos definidos anteriormente, los elementos de un sistema fundamental se conocen explícitamente; es decir, la factorización equivale a resolverlo.

Se puede establecer un esquema similar para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de cualquier orden, aunque el número de alternativas aumenta considerablemente con el orden; para el orden${\displaystyle n=3}$La respuesta se da con todo detalle en ^{[ 2 ] .}

Si una ecuación es irreducible, puede ocurrir que su grupo de Galois no sea trivial, por lo que pueden existir soluciones algebraicas. ^{[ 5 ]} Si el grupo de Galois es trivial, puede ser posible expresar las soluciones en términos de funciones especiales como, por ejemplo, las funciones de Bessel o Legendre , véase ^{[ 6 ]} o ^{[ 7 ] .}

Para generalizar el resultado de Loewy a las EDP lineales, es necesario aplicar el marco más general del álgebra diferencial . Por lo tanto, a continuación se presentan algunos conceptos básicos necesarios para este fin.

Un campo${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Se denomina campo diferencial si está equipado con un operador de derivación . Un operador${\displaystyle \delta }$en un campo${\displaystyle {\mathcal {F}}}$se denomina operador de derivación si${\displaystyle \delta (a+b)=\delta (a)+\delta (b)}$y${\displaystyle \delta (ab)=\delta (a)b+a\delta (b)}$para todos los elementos${\displaystyle a,b\in {\mathcal {F}}}$Un cuerpo con un único operador de derivación se denomina cuerpo diferencial ordinario ; si existe un conjunto finito que contiene varios operadores de derivación conmutativos, el cuerpo se denomina cuerpo diferencial parcial .

Aquí operadores diferenciales con derivadas${\textstyle \partial _{x}={\frac {\partial }{\partial x}}}$y${\textstyle \partial _{y}={\frac {\partial }{\partial y}}}$Se consideran coeficientes de algún campo diferencial. Sus elementos tienen la forma${\textstyle \sum _{i,j}r_{i,j}(x,y)\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}}$; casi todos los coeficientes${\displaystyle r_{i,j}}$son cero. El campo de coeficientes se llama campo base . Si los métodos constructivos y algorítmicos son el problema principal, es${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)}$. El anillo respectivo de operadores diferenciales se denota por${\displaystyle {\mathcal {D}}=\mathbb {Q} (x,y)[\partial _{x},\partial _{y}]}$o${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {F}}[\partial _{x},\partial _{y}]}$El anillo${\displaystyle {\mathcal {D}}}$no es conmutativo,${\textstyle \partial _{x}a=a\partial _{x}+{\frac {\partial a}{\partial x}}}$y de forma similar para las demás variables;${\displaystyle a}$es del campo base.

Para un operador${\textstyle L=\sum _{i+j\leq n}r_{i,j}(x,y)\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}}$del orden${\displaystyle n}$El símbolo de L es el polinomio algebraico homogéneo.${\textstyle \operatorname {symb} (L)\equiv \sum _{i+j=n}r_{i,j}(x,y)X^{i}Y^{j}}$dónde${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$indeterminadas algebraicas.

Dejar${\displaystyle I}$ser un ideal de izquierda que es generado por${\displaystyle l_{i}\in {\mathcal {D}}}$,${\displaystyle i=1,\ldots ,p}$. Entonces uno escribe${\displaystyle I=\langle l_{1},\ldots ,l_{p}\rangle }$. Porque aquí no se consideran los ideales correctos, a veces${\displaystyle I}$Simplemente se le llama ideal.

La relación entre los ideales de izquierda en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$y los sistemas de EDP lineales se establecen de la siguiente manera. Los elementos${\displaystyle l_{i}\in {\mathcal {D}}}$se aplican a una única indeterminada diferencial${\displaystyle z}$De esta manera el ideal${\displaystyle I=\langle l_{1},l_{2},\ldots \rangle }$corresponde al sistema de EDP${\displaystyle l_{1}z=0}$,${\displaystyle l_{2}z=0,\ldots }$para la única función${\displaystyle z}$.

Los generadores de un ideal son altamente no únicos; sus miembros pueden transformarse de infinitas maneras tomando combinaciones lineales de ellos o sus derivadas sin cambiar el ideal. Por lo tanto, M. Janet ^{[ 8 ]} introdujo una forma normal para sistemas de EDP lineales (véase la base de Janet ). ^{[ 9 ]} Son el análogo diferencial de las bases de Gröbner del álgebra conmutativa (que fueron introducidas originalmente por Bruno Buchberger ); ^{[ 10 ]} por lo tanto, a veces también se las llama bases de Gröbner diferenciales .

Para generar una base de Janet, se debe definir una clasificación de los derivados. Es un orden total tal que para cualquier derivado${\displaystyle \delta }$,${\displaystyle \delta _{1}}$y${\displaystyle \delta _{2}}$y cualquier operador de derivación${\displaystyle \theta }$las relaciones${\displaystyle \delta \preceq \theta \delta }$, y${\displaystyle \delta _{1}\preceq \delta _{2}\rightarrow \delta \delta _{1}\preceq \delta \delta _{2}}$son válidos. Aquí se presentan ordenaciones de términos lexicográficos graduadas.${\displaystyle grlex}$Se aplican. Para las derivadas parciales de una sola función, su definición es análoga a los ordenamientos monomiales en el álgebra conmutativa . Los pares S en el álgebra conmutativa corresponden a las condiciones de integrabilidad.

Si se garantiza que los generadores${\displaystyle l_{1},\ldots ,l_{p}}$de un ideal${\displaystyle I}$formar una base Janet la notación${\displaystyle I={{\big \langle }{\big \langle }}l_{1},\ldots ,l_{p}{{\big \rangle }{\big \rangle }}}$se aplica.

Ejemplo 3 Consideremos el ideal $${\displaystyle I={\Big \langle }l_{1}\equiv \partial _{xx}-{\frac {1}{x}}\partial _{x}-{\frac {y}{x(x+y)}}\partial _{y},\;l_{2}\equiv \partial _{xy}+{\frac {1}{x+y}}\partial _{y},\;l_{3}\equiv \partial _{yy}+{\frac {1}{x+y}}\partial _{y}{\Big \rangle }}$$ en${\displaystyle grlex}$orden de plazo con${\displaystyle x\succ y}$Sus generadores son autorreducidos. Si la condición de integrabilidad $${\displaystyle l_{1,y}=l_{2,x}-l_{2,y}={\frac {y+2x}{x(x+y)}}\partial _{xy}+{\frac {y}{x(x+y)}}\partial _{yy}}$$ se reduce con respecto a${\displaystyle I}$, el nuevo generador${\displaystyle \partial _{y}}$se obtiene. Sumándolo a los generadores y realizando todas las reducciones posibles, el ideal dado se representa como${\textstyle I=\left\langle \left\langle \partial _{xx}-{\frac {1}{x}}\partial _{x},\partial _{y}\right\rangle \right\rangle }$Sus generadores son autorreducibles y se satisface la condición de integrabilidad única, es decir, forman una base de Janet.

Dado cualquier ideal${\displaystyle I}$Puede ocurrir que esté propiamente contenido en algún ideal más amplio.${\displaystyle J}$con coeficientes en el campo base de${\displaystyle I}$; entonces${\displaystyle J}$se llama divisor de${\displaystyle I}$En general, un divisor en un anillo de operadores diferenciales parciales no tiene por qué ser principal.

El máximo común divisor por la derecha (MCD) o suma de dos ideales${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$es el ideal más pequeño con la propiedad de que ambos${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$están contenidos en él. Si tienen la representación${\displaystyle I\equiv \langle f_{1},\ldots ,f_{p}\rangle }$y${\displaystyle J\equiv \langle g_{1},\ldots ,g_{q}\rangle ,}$${\displaystyle f_{i}}$,${\displaystyle g_{j}\in {\mathcal {D}}}$a pesar de${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$, la suma se genera por la unión de los generadores de${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$. El espacio de soluciones de las ecuaciones correspondientes a${\displaystyle \operatorname {Gcrd} (I,J)}$es la intersección de los espacios de soluciones de sus argumentos.

El múltiplo izquierdo menos común (Lclm) o intersección izquierda de dos ideales${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$es el ideal más grande con la propiedad de que está contenido tanto en${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$. El espacio de soluciones de${\displaystyle \operatorname {Lclm} (I,J)z=0}$es el espacio más pequeño que contiene los espacios de soluciones de sus argumentos.

Un tipo especial de divisor es el llamado divisor de Laplace de un operador dado.${\displaystyle L}$, ^{[ 2 ]} página 34. Se define de la siguiente manera.

Definición Dejemos${\displaystyle L}$ser un operador diferencial parcial en el plano; definir $${\displaystyle {\mathfrak {l}}_{m}\equiv \partial _{x^{m}}+a_{m-1}\partial _{x^{m-1}}+\dots +a_{1}\partial _{x}+a_{0}}$$ y $${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{n}\equiv \partial _{y^{n}}+b_{n-1}\partial _{y^{n-1}}+\dots +b_{1}\partial _{y}+b_{0}}$$ sean operadores diferenciales ordinarios con respecto a${\displaystyle x}$o${\displaystyle y}$;${\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)}$para todos yo;${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$son números naturales no menores que 2. Suponga que los coeficientes${\displaystyle a_{i}}$,${\displaystyle i=0,\ldots ,m-1}$son tales que${\displaystyle L}$y${\displaystyle {\mathfrak {l}}_{m}}$formar una base Janet. Si${\displaystyle m}$es el entero más pequeño con esta propiedad entonces${\displaystyle \mathbb {L} _{x^{m}}(L)\equiv {\langle \langle }L,{\mathfrak {l}}_{m}{\rangle \rangle }}$se llama divisor de Laplace de${\displaystyle L}$. De manera similar, si${\displaystyle b_{j}}$,${\displaystyle j=0,\ldots ,n-1}$son tales que${\displaystyle L}$y${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{n}}$formar una base Janet y${\displaystyle n}$es mínimo, entonces${\displaystyle \mathbb {L} _{y^{n}}(L)\equiv {\langle \langle }L,{\mathfrak {k}}_{n}{\rangle \rangle }}$también se le llama divisor de Laplace de${\displaystyle L}$.

Para que exista un divisor de Laplace, los coeficientes de un operador deben cumplir ciertos requisitos.${\displaystyle L}$debe obedecer ciertas restricciones. ^{[ 3 ]} Actualmente no se conoce un algoritmo para determinar una cota superior para un divisor de Laplace, por lo tanto, en general, la existencia de un divisor de Laplace puede ser indecidible.

Aplicando los conceptos anteriores, la teoría de Loewy puede generalizarse a EDP lineales. Aquí se aplica a EDP lineales individuales de segundo orden en el plano con coordenadas${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$y los ideales principales generados por los operadores correspondientes.

Las ecuaciones de segundo orden han sido consideradas extensamente en la literatura del siglo XIX. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Generalmente ecuaciones con derivadas principales${\displaystyle \partial _{xx}}$o${\displaystyle \partial _{xy}}$Se distinguen. Sus soluciones generales contienen no solo constantes, sino también funciones indeterminadas con un número variable de argumentos; determinarlas forma parte del procedimiento de solución. Para ecuaciones con derivada principal,${\displaystyle \partial _{xx}}$Los resultados de Loewy pueden generalizarse de la siguiente manera.

Teorema 2 Sea el operador diferencial${\displaystyle L}$ser definido por $${\displaystyle L\equiv \partial _{xx}+A_{1}\partial _{xy}+A_{2}\partial _{yy}+A_{3}\partial _{x}+A_{4}\partial _{y}+A_{5}}$$dónde${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)}$a pesar de${\displaystyle i}$.

Dejar${\displaystyle l_{i}\equiv \partial _{x}+a_{i}\partial _{y}+b_{i}}$para${\displaystyle i=1}$y${\displaystyle i=2}$, y${\displaystyle l(\Phi )\equiv \partial _{x}+a\partial _{y}+b(\Phi )}$ser operadores de primer orden con${\displaystyle a_{i},b_{i},a\in \mathbb {Q} (x,y)}$;${\displaystyle \Phi }$es una función indeterminada de un solo argumento. Entonces${\displaystyle L}$tiene una descomposición de Loewy según uno de los siguientes tipos.

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{1}:L=l_{2}l_{1};}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{2}:L=\operatorname {Lclm} (l_{2},l_{1});}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{3}:L=\operatorname {Lclm} (l(\Phi )).}$

El tipo de descomposición de un operador${\displaystyle L}$es la descomposición${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{i}}$con el valor más alto de${\displaystyle i}$. Si${\displaystyle L}$no tiene ningún factor de primer orden en el campo base, su tipo de descomposición se define como${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{0}}$Descomposiciones${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{0}}$,${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{2}}$y${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{3}}$son completamente reducibles.

Para aplicar este resultado a la resolución de cualquier ecuación diferencial dada que involucre al operador${\displaystyle L}$Surge la pregunta de si sus factores de primer orden pueden determinarse algorítmicamente. El corolario subsiguiente proporciona la respuesta para factores con coeficientes ya sea en el campo base o en una extensión de campo universal .

Corolario 3 En general, los factores derechos de primer orden de una ecuación diferencial parcial lineal en el cuerpo base no pueden determinarse algorítmicamente. Si el polinomio símbolo es separable, cualquier factor puede determinarse. Si tiene una raíz doble, en general no es posible determinar los factores derechos en el cuerpo base. La existencia de factores en un cuerpo universal, es decir, la irreducibilidad absoluta, siempre puede determinarse.

El teorema anterior puede aplicarse para resolver ecuaciones reducibles en forma cerrada. Dado que solo intervienen divisores principales, la respuesta es similar a la de las ecuaciones ordinarias de segundo orden.

Proposición 1 Sea una ecuación reducible de segundo orden$${\displaystyle Lz\equiv z_{xx}+A_{1}z_{xy}+A_{2}z_{yy}+A_{3}z_{x}+A_{4}z_{y}+A_{5}z=0}$$dónde${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{5}\in \mathbb {Q} (x,y)}$.

Definir${\displaystyle l_{i}\equiv \partial _{x}+a_{i}\partial _{y}+b_{i}}$,${\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)}$para${\displaystyle i=1,2}$;${\displaystyle \varphi _{i}(x,y)=\mathrm {const} }$es una primera integral racional de${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=a_{i}(x,y)}$;${\displaystyle {\bar {y}}\equiv \varphi _{i}(x,y)}$y lo contrario${\displaystyle y=\psi _{i}(x,{\bar {y}})}$; ambos${\displaystyle \varphi _{i}}$y${\displaystyle \psi _{i}}$se supone que existen. Además, definimos $${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}(x,y)\equiv \left.\exp \left(-\int b_{i}(x,y){\big |}_{y=\psi _{i}(x,{\bar {y}})}dx\right)\right|_{{\bar {y}}=\varphi _{i}(x,y)}}$$para${\displaystyle i=1,2}$.

Un sistema fundamental diferencial tiene la siguiente estructura para las diversas descomposiciones en componentes de primer orden.

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{1}:z_{1}(x,y)={\mathcal {E}}_{1}(x,y)F_{1}(\varphi _{1}),}$$$${\displaystyle z_{2}(x,y)={\mathcal {E}}_{1}(x,y){\displaystyle \int }{\frac {{\mathcal {E}}_{2}(x,y)}{{\mathcal {E}}_{1}(x,y)}}F_{2}{\big (}\varphi _{2}(x,y){\big )}{\big |}_{y=\psi _{1}(x,{\bar {y}})}dx{\Big |}_{{\bar {y}}=\varphi _{1}(x,y)};}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{2}:z_{i}(x,y)={\mathcal {E}}_{i}(x,y)F_{i}{\big (}\varphi _{i}(x,y){\big )},i=1,2;}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xx}^{3}:z_{i}(x,y)={\mathcal {E}}_{i}(x,y)F_{i}{\big (}\varphi (x,y){\big )},i=1,2.}$$

El${\displaystyle F_{i}}$son funciones indeterminadas de un solo argumento;${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle \varphi _{1}}$y${\displaystyle \varphi _{2}}$son racionales en todos sus argumentos;${\displaystyle \psi _{1}}$Se supone que existe. En general${\displaystyle \varphi _{1}\neq \varphi _{2}}$están determinados por los coeficientes${\displaystyle A_{1}}$,${\displaystyle A_{2}}$y${\displaystyle A_{3}}$de la ecuación dada.

Un ejemplo típico de una EDP lineal donde se aplica la factorización es una ecuación que ha sido discutida por Forsyth, ^{[ 13 ]} vol. VI, página 16,

Ejemplo 5 (Forsyth 1906) Considere la ecuación diferencial${\textstyle z_{xx}-z_{yy}+{\frac {4}{x+y}}z_{x}=0}$. Tras la factorización, la representación $${\displaystyle Lz\equiv l_{2}l_{1}z=\left(\partial _{x}+\partial _{y}+{\frac {2}{x+y}}\right)\left(\partial _{x}-\partial _{y}+{\frac {2}{x+y}}\right)z=0}$$ Se obtiene. A continuación $${\displaystyle \varphi _{1}(x,y)=x+y,\psi _{1}(x,y)={\bar {y}}-x,{\mathcal {E}}_{1}(x,y)=\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)},}$$$${\displaystyle \varphi _{2}(x,y)=x-y,\psi _{2}(x,y)=x-{\bar {y}},{\mathcal {E}}_{2}(x,y)=-{\frac {1}{x+y}}.}$$

En consecuencia, se es un sistema fundamental diferencial.

$${\displaystyle z_{1}(x,y)=\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)}F(x+y),}$$$${\displaystyle z_{2}(x,y)={\frac {1}{x+y}}\exp {\left({\frac {2y}{x+y}}\right)}\int \exp {\left({\frac {2x-{\bar {y}}}{\bar {y}}}\right)}G(2x-{\bar {y}})dx{\Big |}_{{\bar {y}}=x+y}.}$$

${\displaystyle F}$y${\displaystyle G}$son funciones indeterminadas.

Si la única derivada de segundo orden de un operador es${\displaystyle \partial _{xy}}$, sus posibles descomposiciones que involucran solo divisores principales pueden describirse de la siguiente manera.

Teorema 3 Sea el operador diferencial${\displaystyle L}$ser definido por $${\displaystyle L\equiv \partial _{xy}+A_{1}\partial _{x}+A_{2}\partial _{y}+A_{3}}$$dónde${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)}$a pesar de${\displaystyle i}$.

Dejar${\displaystyle l\equiv \partial _{x}+A_{2}}$y${\displaystyle k\equiv \partial _{y}+A_{1}}$son operadores de primer orden.${\displaystyle L}$tiene descomposiciones de Loewy que involucran divisores principales de primer orden de la siguiente forma.

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{1}:L=kl;}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{2}:L=lk;}$
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{3}:L=\operatorname {Lclm} (k,l).}$

El tipo de descomposición de un operador${\displaystyle L}$es la descomposición${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{i}}$con el valor más alto de${\displaystyle i}$. La descomposición de tipo${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{3}}$es completamente reducible

Además, existen otros cinco tipos de descomposición posibles que involucran divisores de Laplace no principales, como se muestra a continuación.

Teorema 4 Sea el operador diferencial${\displaystyle L}$ser definido por $${\displaystyle L\equiv \partial _{xy}+A_{1}\partial _{x}+A_{2}\partial _{y}+A_{3}}$$dónde${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {Q} (x,y)}$a pesar de${\displaystyle i}$.

${\displaystyle \mathbb {L} _{x^{m}}(L)}$y${\displaystyle \mathbb {L} _{y^{n}}(L)}$así como${\displaystyle {\mathfrak {l}}_{m}}$y${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{n}}$se definen anteriormente; además${\displaystyle l\equiv \partial _{x}+a}$,${\displaystyle k\equiv \partial _{y}+b}$,${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} (x,y)}$.${\displaystyle L}$tiene descomposiciones de Loewy que involucran divisores de Laplace según uno de los siguientes tipos;${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$cumplir${\displaystyle m,n\geq 2}$.

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{4}:L=\operatorname {Lclm} \left(\mathbb {L} _{x^{m}}(L),\mathbb {L} _{y^{n}}(L)\right);}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{5}:L=Exquo{\big (}L,\mathbb {L} _{x^{m}}(L){\big )}\mathbb {L} _{x^{m}}(L)={\begin{pmatrix}1&0\\0&\partial _{y}+A_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}L\\{\mathfrak {l}}_{m}\end{pmatrix}};}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{6}:L=Exquo{\big (}L,\mathbb {L} _{y^{n}}(L){\big )}\mathbb {L} _{y^{n}}(L)={\begin{pmatrix}1&0\\0&\partial _{x}+A_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}L\\{\mathfrak {k}}_{n}\end{pmatrix}};}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{7}:L=\operatorname {Lclm} {\big (}k,\mathbb {L} _{x^{m}}(L){\big )};}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{8}:L=\operatorname {Lclm} {\big (}l,\mathbb {L} _{y^{n}}(L){\big )}.}$$

Si${\displaystyle L}$no tiene un factor derecho de primer orden y se puede demostrar que no existe un divisor de Laplace; su tipo de descomposición se define como${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{0}}$. Las descomposiciones${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{0}}$,${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{4}}$,${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{7}}$y${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{8}}$son completamente reducibles.

Una ecuación que no permite una descomposición que involucre divisores principales pero que es completamente reducible con respecto a divisores de Laplace no principales de tipo${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{4}}$Forsyth lo ha considerado.

Ejemplo 6 (Forsyth 1906) Definición $${\displaystyle L\equiv \partial _{xy}+{\frac {2}{x-y}}\partial _{x}v-{\frac {2}{x-y}}\partial _{y}-{\frac {4}{(x-y)^{2}}}}$$ generando el ideal principal${\displaystyle \langle L\rangle }$No existe un factor de primer orden. Sin embargo, existen divisores de Laplace. $${\displaystyle \mathbb {L} _{x^{2}}(L)\equiv {{\Big \langle }{\Big \langle }}\partial _{xx}-{\frac {2}{x-y}}\partial _{x}+{\frac {2}{(x-y)^{2}}},L{{\Big \rangle }{\Big \rangle }}}$$y$${\displaystyle \mathbb {L} _{y^{2}}(L)\equiv {{\Big \langle }{\Big \langle }}L,\partial _{yy}+{\frac {2}{x-y}}\partial _{y}+{\frac {2}{(x-y)^{2}}}{{\Big \rangle }{\Big \rangle }}.}$$

El ideal generado por${\displaystyle L}$tiene la representación${\displaystyle \langle L\rangle =\operatorname {Lclm} {\big (}\mathbb {L} _{x^{2}}(L),\mathbb {L} _{y^{2}}(L){\big )}}$, es decir, es completamente reducible; su tipo de descomposición es${\displaystyle {\mathcal {L}}_{xy}^{4}}$Por lo tanto, la ecuación${\displaystyle Lz=0}$tiene el sistema fundamental diferencial $${\displaystyle z_{1}(x,y)=2(x-y)F(y)+(x-y)^{2}F'(y)}$$y$${\displaystyle z_{2}(x,y)=2(y-x)G(x)+(y-x)^{2}G'(x).}$$

Resulta que los operadores de orden superior tienen descomposiciones más complejas y existen más alternativas, muchas de ellas en términos de divisores no principales. Las soluciones de las ecuaciones correspondientes se vuelven más complejas. Para ecuaciones de tercer orden en el plano, se puede encontrar una respuesta bastante completa en ^{[ 2 ]} . Un ejemplo típico de una ecuación de tercer orden que también es de interés histórico se debe a Blumberg ^{[ 14 ] .}

Ejemplo 7 (Blumberg 1912) En su disertación, Blumberg consideró el operador de tercer orden.

$${\displaystyle L\equiv \partial _{xxx}+x\partial _{xxy}+2\partial _{xx}+2(x+1)\partial _{xy}+\partial _{x}+(x+2)\partial _{y}.}$$

Permite los dos factores de primer orden${\displaystyle l_{1}\equiv \partial _{x}+1}$y${\displaystyle l_{2}\equiv \partial _{x}+x\partial _{y}}$Su intersección no es principal; definiendo

$${\displaystyle L_{1}\equiv \partial _{xxx}-x^{2}\partial _{xyy}+3\partial _{xx}+(2x+3)\partial _{xy}-x^{2}\partial _{yy}+2\partial _{x}+(2x+3)\partial _{y}}$$$${\displaystyle L_{2}\equiv \partial _{xxy}+x\partial _{xyy}-{\frac {1}{x}}\partial _{xx}-{\frac {1}{x}}\partial _{xy}+x\partial _{y}y-{\frac {1}{x}}\partial _{x}-\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\partial _{y}{{\big \rangle }{\big \rangle }}.}$$

puede escribirse como${\displaystyle \operatorname {Lclm} (l_{2},l_{1})={\langle \langle }L_{1},L_{2}{\rangle \rangle }}$. En consecuencia, la descomposición de Loewy del operador de Blumbergs es $${\displaystyle L={\begin{pmatrix}1&x\\0&\partial _{x}+1+{\frac {1}{x}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\end{pmatrix}}.}$$

Esto da como resultado el siguiente sistema fundamental diferencial para la ecuación diferencial.${\displaystyle Lz=0}$.

• ${\displaystyle z_{1}(x,y)=F(y-{\frac {1}{2}}x^{2})}$,
• ${\displaystyle z_{2}(x,y)=G(y)e^{-x}}$,
• ${\displaystyle z_{3}(x,y)=\int xe^{-x}H\left({\bar {y}}+{\frac {1}{2}}x^{2}\right)dx{\Big |}_{{\bar {y}}=y-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$

${\displaystyle F,G}$y${\displaystyle H}$son funciones indeterminadas.

Las factorizaciones y las descomposiciones de Loewy resultaron ser un método sumamente útil para determinar soluciones analíticas de ecuaciones diferenciales lineales, tanto para ecuaciones ordinarias como parciales. Debería ser posible generalizar estos métodos a ecuaciones de orden superior, ecuaciones con más variables y sistemas de ecuaciones diferenciales.