Movimiento de proyectiles

Dado que solo hay aceleración en la dirección vertical, la velocidad en la dirección horizontal es constante, siendo igual a${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\cos \theta }$El movimiento vertical del proyectil es el movimiento de una partícula durante su caída libre. Aquí la aceleración es constante, siendo igual a g . ^{[ nota 1 ]} Las componentes de la aceleración son:

${\displaystyle a_{x}=0}$,

${\displaystyle a_{y}=-g}$.*

*La aceleración en el eje Y también puede denominarse fuerza de la Tierra.${\textstyle (-F_{g}/m)}$sobre el/los objeto(s) de interés.

Supongamos que el proyectil se lanza con una velocidad inicial${\displaystyle \mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}}$, que puede expresarse como la suma de componentes horizontales y verticales de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}} }$.

Los componentes${\displaystyle v_{0x}}$y${\displaystyle v_{0y}}$se puede encontrar si se conoce el ángulo de lanzamiento inicial θ:

${\displaystyle v_{0x}=v_{0}\cos(\theta)}$,

${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta)}$

La componente horizontal de la velocidad del objeto permanece constante durante todo el movimiento. La componente vertical de la velocidad cambia linealmente, ^{[ nota 2 ]} porque la aceleración debida a la gravedad es constante. Las aceleraciones en las direcciones x e y se pueden integrar para calcular las componentes de la velocidad en cualquier instante t , como sigue:

${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos(\theta)}$,

${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin(\theta)-gt}$.

La magnitud de la velocidad (según el teorema de Pitágoras , también conocido como la ley del triángulo):

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}$.

En cualquier momento${\displaystyle t}$, el desplazamiento horizontal y vertical del proyectil son:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$,

${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$.

La magnitud del desplazamiento es:

${\displaystyle \Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

Consideremos las ecuaciones,

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$y${\displaystyle y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$. ^{[ 4 ]}

Si se elimina t entre estas dos ecuaciones, se obtiene la siguiente ecuación:

${\displaystyle y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=\tan \theta \cdot x\left(1-{\frac {x}{R}}\right).}$

Aquí R es el alcance de un proyectil .

Dado que g , θ y v₀ son constantes, la _ecuación anterior tiene la forma

${\displaystyle y=ax+bx^{2}}$,

donde a y b son constantes. Esta es la ecuación de una parábola, por lo que la trayectoria es parabólica. El eje de la parábola es vertical.

Si se conocen la posición del proyectil (x,y) y el ángulo de lanzamiento ( θ o α ), la velocidad inicial se puede encontrar resolviendo v ₀ en la ecuación parabólica mencionada anteriormente:

${\displaystyle v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}}$.

La trayectoria parabólica de un proyectil también puede expresarse en coordenadas polares en lugar de coordenadas cartesianas . En este caso, la posición tiene la fórmula general

${\displaystyle r(\phi )={\frac {2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{|g|}}\left(\tan \theta \sec \phi -\tan \phi \sec \phi \right)}$.

En esta ecuación, el origen es el punto medio del alcance horizontal del proyectil, y si el terreno es plano, el arco parabólico se traza en el rango${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$Esta expresión se puede obtener transformando la ecuación cartesiana como se indicó anteriormente mediante${\displaystyle y=r\sin \phi }$y${\displaystyle x=r\cos \phi }$.

El tiempo total t durante el cual el proyectil permanece en el aire se denomina tiempo de vuelo. La componente y de la trayectoria es

${\displaystyle y=y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Después del vuelo, el proyectil regresa al eje horizontal (eje x), por lo que${\displaystyle y=0}$.

${\displaystyle y_{0}+v_{0y}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}=0}$

Resolviendo esto usando la fórmula cuadrática se obtiene

${\displaystyle t={\frac {v_{0y}\pm {\sqrt {v_{0y}^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

Tenga en cuenta que en este caso queremos la raíz cuadrada positiva. Suponiendo que el proyectil comienza desde 0 (${\displaystyle y_{0}=0}$) y usando${\displaystyle v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )}$, esto da como resultado:

${\displaystyle t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}}$

Cabe señalar que hemos despreciado la resistencia del aire sobre el proyectil.

Si el punto de partida se encuentra a una altura y ₀ con respecto al punto de impacto, el tiempo de vuelo es:

${\displaystyle t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}}$

Como se indicó anteriormente, esta expresión se puede reducir ( y ₀ es 0) a

${\displaystyle t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}},}$=${\displaystyle {\frac {2v\sin {(45^{\circ })}}{|g|}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{|g|}}}$

si θ es igual a 45°.

Si${\displaystyle v_{y0}=0}$Por ejemplo, para un objeto que se deja caer desde el reposo (vertical) a una altura${\displaystyle y_{0}}$y en caída libre bajo la gravedad, el tiempo de vuelo se convierte en,

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {2y_{0}}{g}}}}$

Este resultado es independiente de cualquier velocidad horizontal inicial, como se ilustra en la animación anterior.

Como se muestra arriba en la sección de Desplazamiento , la velocidad horizontal y vertical de un proyectil son independientes entre sí.

Debido a esto, podemos encontrar el tiempo para alcanzar un objetivo utilizando la fórmula de desplazamiento para la velocidad horizontal:

${\displaystyle x=v_{0}t\cos(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {x}{t}}=v_{0}\cos(\theta )}$

${\displaystyle t={\frac {x}{v_{0}\cos(\theta )}}}$

Esta ecuación proporcionará el tiempo total t que el proyectil debe recorrer para alcanzar el desplazamiento horizontal del objetivo, despreciando la resistencia del aire.

La altura máxima que alcanzará el objeto se conoce como el pico del movimiento del objeto. El aumento de altura durará hasta${\displaystyle v_{y}=0}$, eso es,

${\displaystyle 0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}}$.

Tiempo para alcanzar la altura máxima (h):

${\textstyle t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

Esto coincide con la fórmula hallada anteriormente (el tiempo de vuelo), ya que la altura máxima (en una parábola) se sitúa en el punto medio de sus raíces. Esto significa que el proyectil alcanza la altura h en el punto medio de su trayectoria, por lo tanto, en la mitad del tiempo.

Para el desplazamiento vertical de la altura máxima del proyectil:

${\displaystyle h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2|g|}}}$

La altura máxima alcanzable se obtiene para θ = 90°:

${\displaystyle h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2|g|}}}$

Si se conocen la posición del proyectil (x,y) y el ángulo de lanzamiento (θ), la altura máxima se puede calcular resolviendo la siguiente ecuación para h:

${\displaystyle h={\frac {(x\tan \theta )^{2}}{4(x\tan \theta -y)}}.}$

El ángulo de elevación (φ) a la altura máxima viene dado por:

${\displaystyle \phi =\arctan {\tan \theta \over 2}}$

La relación entre el alcance d en el plano horizontal y la altura máxima h alcanzada en${\displaystyle {\frac {t_{d}}{2}}}$es:

${\displaystyle h={\frac {d\tan \theta }{4}}}$

El alcance y la altura máxima del proyectil no dependen de su masa. Por lo tanto, el alcance y la altura máxima son iguales para todos los cuerpos que se lanzan con la misma velocidad y dirección. El alcance horizontal d del proyectil es la distancia horizontal que ha recorrido cuando regresa a su altura inicial (${\textstyle y=0}$).

${\displaystyle 0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}}$.

Es hora de llegar a tierra:

${\displaystyle t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{|g|}}}$.

A partir del desplazamiento horizontal, la distancia máxima del proyectil: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )}$,

así ^{[ nota 3 ]}

${\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}}{|g|}}\sin(2\theta ).}$

Tenga en cuenta que d tiene su valor máximo cuando

${\displaystyle \sin(2\theta )=1,}$

lo cual necesariamente corresponde a${\textstyle 2\theta =90^{\circ }}$, o${\textstyle \theta =45^{\circ }}$.

La distancia horizontal total (d) recorrida. ^{[ 6 ]}

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{|g|}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)}$

Cuando la superficie es plana (la altura inicial del objeto es cero), la distancia recorrida es: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{|g|}}}$

Por lo tanto, la distancia máxima se obtiene si θ es de 45 grados. Esta distancia es:

${\displaystyle d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{|g|}}}$

Según el teorema del trabajo y la energía, la componente vertical de la velocidad es:

${\displaystyle v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy}$.

Estas fórmulas ignoran la resistencia aerodinámica y también suponen que la zona de aterrizaje se encuentra a una altura uniforme de 0.

El "ángulo de alcance" es el ángulo ( θ ) con el que se debe lanzar un proyectil para recorrer una distancia d , dada la velocidad inicial v .

${\displaystyle \sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}}$

Hay dos soluciones:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(trayectoria poco profunda)

y porque${\displaystyle \sin(2\theta )=\cos(2\theta -90^{\circ })}$,

${\displaystyle \theta =45^{\circ }+{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)}$(trayectoria pronunciada)

Para alcanzar un objetivo a una distancia x y altitud y disparando desde (0,0) y con velocidad inicial v, el/los ángulo(s) de lanzamiento θ requerido(s) son:

${\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}}$

Las dos raíces de la ecuación corresponden a los dos posibles ángulos de lanzamiento, siempre que no sean imaginarios, en cuyo caso la velocidad inicial no es lo suficientemente grande como para alcanzar el punto ( x , y ) seleccionado. Esta fórmula permite hallar el ángulo de lanzamiento necesario sin la restricción de${\textstyle y=0}$.

También se puede preguntar qué ángulo de lanzamiento permite la velocidad de lanzamiento más baja posible. Esto ocurre cuando las dos soluciones anteriores son iguales, lo que implica que la cantidad bajo el signo de raíz cuadrada es cero. Esto, tan θ = v² ^/ gx, requiere resolver una ecuación cuadrática para${\displaystyle v^{2}}$, ^{[ 8 ]} y encontramos

^{${\displaystyle v^{2}/g=(2gy\pm g{\sqrt {4y^{2}+4(1x)^{2}}})/2g=y\pm {\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.}$}

Esto da

${\displaystyle \theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).}$

Si denotamos el ángulo cuya tangente es y/x por α , ^{[ 9 ]} entonces

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }},}$su recíproco:

${\displaystyle \tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}},}$^{[ 10 ]}

${\displaystyle \cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)}$

${\displaystyle 2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )}$

Esto implica

${\displaystyle \theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).}$

En otras palabras, el lanzamiento debe realizarse en el ángulo${\textstyle (\pi /2+\alpha )/2}$a medio camino entre el objetivo y el cenit (vector opuesto a la gravedad).

La longitud del arco parabólico descrito por un proyectil, L , dado que la altura de lanzamiento y de aterrizaje es la misma (no hay resistencia del aire), viene dada por la fórmula:

${\displaystyle L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)}$

dónde${\displaystyle v_{0}}$es la velocidad inicial,${\displaystyle \theta }$es el ángulo de lanzamiento y${\displaystyle g}$es la aceleración debida a la gravedad como un valor positivo. La expresión se puede obtener evaluando la integral de longitud de arco para la parábola altura-distancia entre los límites del desplazamiento inicial y final (es decir, entre 0 y el alcance horizontal del proyectil) de tal manera que:

${\displaystyle L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v_{0}^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(\tan \theta -{g \over {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x.}$

Si el tiempo de vuelo es t ,

${\displaystyle L=\int _{0}^{t}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{2v_{0}\sin \theta /g}{\sqrt {(gt)^{2}-2gv_{0}\sin \theta t+v_{0}^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

Stokes drag, donde${\displaystyle \mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v} }$, solo se aplica a velocidades muy bajas en el aire y, por lo tanto, no es el caso típico para proyectiles. Sin embargo, la dependencia lineal de${\displaystyle F_{\mathrm {air} }}$en${\displaystyle v}$causa una ecuación diferencial de movimiento muy simple

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}}$

en la que los 2 componentes cartesianos se vuelven completamente independientes y, por lo tanto, es más fácil de resolver. ^{[ 12 ]} Aquí,${\displaystyle v_{0}}$,${\displaystyle v_{x}}$y${\displaystyle v_{y}}$se utilizarán para denotar la velocidad inicial, la velocidad en la dirección x y la velocidad en la dirección y , respectivamente. La masa del proyectil se denotará por m , y${\displaystyle \mu$ :=k/m} . Para la derivación solo el caso donde${\textstyle 0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}}$Se considera. Nuevamente, el proyectil se dispara desde el origen (0,0).

${\displaystyle x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)}$(1b)

${\displaystyle y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)(1-e^{-\mu t})}$(3b)

${\displaystyle t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W{\bigl (}-(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0})e^{-(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0})}{\bigr )}\right)}$.

El caso más típico de resistencia del aire , en el caso de números de Reynolds superiores a unos 1000, es el arrastre de Newton con una fuerza de arrastre proporcional al cuadrado de la velocidad,${\displaystyle F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}}$En el aire, que tiene una viscosidad cinemática de alrededor de 0,15  cm² ^/ s, esto significa que el producto de la velocidad del objeto y su diámetro debe ser mayor que aproximadamente 0,015 m² ^/ s.

Lamentablemente, las ecuaciones de movimiento no se pueden resolver fácilmente de forma analítica en este caso. Por lo tanto, se examinará una solución numérica.

Se hacen las siguientes suposiciones:

• aceleración gravitatoria constante${\textstyle g}$
• La resistencia del aire viene dada por la siguiente fórmula de arrastre :

${\displaystyle \mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v} }$

Dónde:

• F _D es la fuerza de arrastre,
• c es el coeficiente de arrastre ,
• ρ es la densidad del aire ,
• A es el área de la sección transversal del proyectil. Nuevamente${\displaystyle \mu =k/m:=}$${\displaystyle c\rho A/(2m)}$${\displaystyle =c\rho /(2\rho _{p}l)}$. Compárese esto con la teoría/práctica del coeficiente balístico .