Distribución de Gumbel

La distribución estándar de Gumbel es el caso en el que${\displaystyle \mu =0}$y${\displaystyle \beta =1}$con función de distribución acumulativa

${\displaystyle F(x)=e^{-e^{-x}}\,}$

y función de densidad de probabilidad

${\displaystyle f(x)=e^{-(x+e^{-x})}.}$

En este caso la moda es 0, la mediana es${\displaystyle -\ln(\ln(2))\approx 0.3665}$, la media es${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$(la constante de Euler-Mascheroni ) y la desviación estándar es${\displaystyle \pi /{\sqrt {6}}\approx 1.2825.}$

Los cumulantes , para n  >  1, vienen dados por

${\displaystyle \kappa _ {n}=(n-1)!\zeta (n).}$

Muchos problemas en matemáticas discretas implican el estudio de un parámetro extremo que sigue una versión discreta de la distribución de Gumbel. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Esta versión discreta es la ley de${\displaystyle Y=\lceil X\rceil }$, dónde${\displaystyle X}$sigue la distribución continua de Gumbel${\displaystyle \mathrm {Gumbel} (\mu,\beta)}$. En consecuencia, esto da${\displaystyle P(Y\leq h)=\exp(-\exp(-(h-\mu )/\beta ))}$para cualquier${\displaystyle h\in \mathbb {Z} }$.

Denotando${\displaystyle \mathrm {DGumbel} (\mu,\beta)}$como la versión discreta, uno tiene${\displaystyle \lceil X\rceil \sim \mathrm {DGumbel} (\mu,\beta)}$y${\displaystyle \lfloor X\rfloor \sim \mathrm {DGumbel} (\mu -1,\beta )}$.

No se conoce ninguna fórmula cerrada para la media, la varianza (o los momentos de orden superior) de la distribución discreta de Gumbel, pero es fácil obtener evaluaciones numéricas de alta precisión mediante sumas infinitas que convergen rápidamente. Por ejemplo, esto produce:${\displaystyle {\mathbb {E} }[\mathrm {DGumbel} (0,1)]=1.077240905953631072609...}$, pero sigue siendo un problema abierto encontrar una forma cerrada para esta constante (es plausible que no exista ninguna).

Aguech, Althagafi y Banderier ^{[ 4 ]} proporcionan varios límites que vinculan las versiones discretas y continuas de la distribución de Gumbel y detallan explícitamente (utilizando métodos de la transformada de Mellin ) los fenómenos oscilatorios que aparecen cuando se tiene una secuencia de variables aleatorias.${\displaystyle \lfloor Y_{n}-c\ln n\rfloor }$convergiendo a una distribución discreta de Gumbel.

• Si${\displaystyle X}$tiene una distribución de Gumbel, entonces la distribución condicional de${\displaystyle Y=-X}$dado que${\displaystyle Y}$es positivo, o equivalentemente dado que${\displaystyle X}$es negativo, tiene una distribución de Gompertz . La función de distribución acumulada (cdf)${\displaystyle G}$de${\displaystyle Y}$está relacionado con${\displaystyle F}$, la función de distribución acumulada de${\displaystyle X}$, por la fórmula${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(X\geq -y\mid X\leq 0)=(F(0)-F(-y))/F(0)}$para${\displaystyle y>0}$. En consecuencia, las densidades están relacionadas por${\displaystyle g(y)=f(-y)/F(0)}$: la densidad de Gompertz es proporcional a una densidad de Gumbel reflejada, restringida a la semirrecta positiva. ^{[ 6 ]}
• Si${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponencial} (1)}$es una variable con distribución exponencial con media 1, entonces${\displaystyle \mu -\beta \log(X)\sim \mathrm {Gumbel} (\mu,\beta)}$.
• Si${\displaystyle U\sim \mathrm {Uniforme} (0,1)}$es una variable distribuida uniformemente en el intervalo unitario, entonces${\displaystyle \mu -\beta \log(-\log(U))\sim \mathrm {Gumbel} (\mu ,\beta )}$.
• Si${\displaystyle X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )}$y${\displaystyle Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )}$son independientes, entonces${\displaystyle X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\,}$(véase Distribución logística ).
• A pesar de esto, si${\displaystyle X,Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )}$son independientes, entonces${\displaystyle X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )}$Esto se puede ver fácilmente al observar que${\displaystyle \mathbb {E} (X+Y)=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\mathbb {E} \left(\mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\right)}$(dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni). En cambio, la distribución de combinaciones lineales de variables aleatorias de Gumbel independientes puede aproximarse mediante distribuciones GNIG y GIG. ^{[ 7 ]}

La teoría relacionada con la distribución log-gamma multivariada generalizada proporciona una versión multivariada de la distribución de Gumbel.

Gumbel ha demostrado que el valor máximo (o estadístico de último orden ) en una muestra de variables aleatorias que siguen una distribución exponencial menos el logaritmo natural del tamaño de la muestra ^{[ 8 ]} se aproxima a la distribución de Gumbel a medida que aumenta el tamaño de la muestra. ^{[ 9 ]}

Concretamente, dejemos${\displaystyle \rho (x)=e^{-x}}$sea ​​la distribución de probabilidad de${\displaystyle x}$y${\displaystyle Q(x)=1-e^{-x}}$su distribución acumulativa. Entonces el valor máximo de${\displaystyle N}$realizaciones de${\displaystyle x}$es más pequeño que${\displaystyle X}$si y solo si todas las realizaciones son menores que${\displaystyle X}$. Por lo tanto, la distribución acumulativa del valor máximo${\displaystyle {\tilde {x}}}$Satisface

${\displaystyle P({\tilde {x}}-\log(N)\leq X)=P({\tilde {x}}\leq X+\log(N))=[Q(X+\log(N))]^{N}=\left(1-{\frac {e^{-X}}{N}}\right)^{N},}$

y, para grandes${\displaystyle N}$, el lado derecho converge a${\displaystyle e^{-e^{(-X)}}.}$

En hidrología , por lo tanto, la distribución de Gumbel se utiliza para analizar variables tales como valores máximos mensuales y anuales de precipitaciones diarias y volúmenes de descarga de ríos, ^{[ 3 ]} y también para describir sequías. ^{[ 10 ]}

Gumbel también ha demostrado que el estimador r ⁄ ( n +1) para la probabilidad de un evento —donde r es el número de rango del valor observado en la serie de datos y n es el número total de observaciones— es un estimador insesgado de la probabilidad acumulada alrededor de la moda de la distribución. Por lo tanto, este estimador se usa a menudo como posición de trazado .

• A menudo resulta interesante predecir probabilidades a partir de datos fuera de la muestra, bajo el supuesto de que tanto los datos de entrenamiento como los datos fuera de la muestra siguen una distribución de Gumbel.
• Las predicciones de probabilidades generadas al sustituir las estimaciones de máxima verosimilitud de los parámetros de Gumbel en la función de distribución acumulativa ignoran la incertidumbre de los parámetros. Como resultado, las probabilidades no están bien calibradas , no reflejan las frecuencias de eventos fuera de la muestra y, en particular, subestiman las probabilidades de eventos extremos fuera de la muestra. ^{[ 11 ]}
• Las predicciones generadas mediante el enfoque bayesiano objetivo de calibración de la predicción previa eliminan por completo esta subestimación. La distribución de Gumbel es una de las distribuciones estadísticas con estructura de grupo , que surge porque Gumbel es un modelo de localización-escala . Como resultado de la estructura de grupo, Gumbel tiene medidas de Haar izquierda y derecha asociadas . El uso de la medida de Haar derecha como previa (conocida como previa de Haar derecha) en una predicción bayesiana proporciona probabilidades perfectamente calibradas para cualquier valor de parámetro real subyacente. ^{[ 12 ] [ 11 ] [ 13 ]} La calibración de la predicción previa para Gumbel utilizando la previa de Haar derecha apropiada se implementa en el paquete de software R fitdistcp. ^{[ 14 ]}

En combinatoria , la distribución discreta de Gumbel aparece como una distribución límite para el tiempo de llegada en el problema del recolector de cupones . Este resultado fue establecido por primera vez por Laplace en 1812 en su obra Théorie analytique des probabilités , marcando la primera aparición histórica de lo que más tarde se denominaría distribución de Gumbel.

En teoría de números , la distribución de Gumbel aproxima el número de términos en una partición aleatoria de un entero ^{[ 15 ]} así como los tamaños ajustados a la tendencia de las brechas máximas entre primos y las brechas máximas entre constelaciones de primos . ^{[ 16 ]}

En teoría de la probabilidad , aparece como la distribución de la altura máxima alcanzada por caminatas discretas (en la red).${\displaystyle {\mathbb {N} }^{2}}$), donde el proceso puede reiniciarse a su punto de partida en cada paso. ^{[ 4 ]}

En el análisis de algoritmos , aparece, por ejemplo, en el estudio de la propagación de acarreo máximo en base-${\displaystyle b}$algoritmos de suma. ^{[ 17 ]}

En la época anterior al software, se utilizaba papel de probabilidad para representar la distribución de Gumbel (véase la ilustración). El papel se basa en la linealización de la función de distribución acumulativa.${\displaystyle F}$ :

${\displaystyle -\ln(-\ln(F))={\frac {x-\mu }{\beta }}}$

En el artículo, el eje horizontal se construye en una escala logarítmica doble. El eje vertical es lineal. Al graficar${\displaystyle F}$en el eje horizontal del papel y el${\displaystyle x}$-variable en el eje vertical, la distribución está representada por una línea recta con una pendiente de 1.${\displaystyle /\beta }$Cuando se dispuso de software para el ajuste de distribuciones , la tarea de representar gráficamente la distribución se simplificó.

En el aprendizaje automático , la distribución de Gumbel se emplea a veces para generar muestras a partir de la distribución categórica . Esta técnica se denomina "truco de Gumbel-max" y es un ejemplo particular de " trucos de reparametrización ". ^{[ 18 ]}

En detalle, deje que${\displaystyle (\pi _{1},\ldots ,\pi _{n})}$ser no negativo, y no todos cero, y dejar${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$sean muestras independientes de Gumbel(0, 1), la probabilidad de la variable aleatoria${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})}$se puede calcular mediante integración rutinaria,$${\displaystyle Pr(\arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})=j)={\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}}$$Eso es,${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$

De forma equivalente, dado cualquier${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$, podemos muestrear de su distribución de Boltzmann mediante

$${\displaystyle Pr(\arg \max _{i}(g_{i}+x_{i})=j)={\frac {e^{x_{j}}}{\sum _{i}e^{x_{i}}}}}$$Las ecuaciones relacionadas incluyen: ^{[ 19 ]}

• Si${\displaystyle x\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$, entonces${\displaystyle (-\ln x-\gamma )\sim {\text{Gumbel}}(-\gamma +\ln \lambda ,1)}$.
• ${\displaystyle \arg \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Categorical}}\left({\frac {\pi _{j}}{\sum _{i}\pi _{i}}}\right)_{j}}$.
• ${\displaystyle \max _{i}(g_{i}+\log \pi _{i})\sim {\text{Gumbel}}\left(\log \left(\sum _{i}\pi _{i}\right),1\right)}$Es decir, la distribución de Gumbel es una familia de distribuciones max-estables.
• ${\displaystyle \mathbb {E} [\max _{i}(g_{i}+\beta x_{i})]=\log \left(\sum _{i}e^{\beta x_{i}}\right)+\gamma .}$