Logaritmo

• log ₂ 16 = 4 , ya que 2 ⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 .
• Los logaritmos también pueden ser negativos:${\textstyle \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1}$desde${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}$
• log ₁₀ 150 es aproximadamente 2,176, que se encuentra entre 2 y 3, al igual que 150 se encuentra entre 10 ² = 100 y 10 ³ = 1000 .
• Para cualquier base b , log _b b = 1 y log _b 1 = 0 , ya que b ¹ = b y b ⁰ = 1 , respectivamente. 

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los números que se multiplican; el logaritmo de la razón de dos números es la diferencia de sus logaritmos. El logaritmo de la p -ésima potencia de un número es p  veces el logaritmo del número mismo; el logaritmo de una raíz p -ésima es el logaritmo del número dividido por p . La siguiente tabla enumera estas identidades con ejemplos. Cada una de ellas se puede derivar sustituyendo las definiciones de logaritmo.${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}}$o${\displaystyle y=b^{\,\log _{b}y}}$en los lados izquierdos. En las siguientes fórmulas ,${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$son números reales positivosy${\displaystyle p}$es un número entero mayor que 1.

El logaritmo log _b x se puede calcular a partir de los logaritmos de x y b con respecto a una base arbitraria k utilizando la siguiente fórmula: ^{[ nb 2 ]} 

$${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.}$$

Las calculadoras científicas típicas calculan los logaritmos en bases 10 y e . ^{[ 5 ]} Los logaritmos con respecto a cualquier base b se pueden determinar utilizando cualquiera de estos dos logaritmos mediante la fórmula anterior: 

$${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.}$$

Dado un número x y su logaritmo y = log _b x en base desconocida b , la base viene dada por: 

$${\displaystyle b=x^{\frac {1}{y}},}$$

lo cual se puede observar al tomar la ecuación definitoria${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}=b^{y}}$a la potencia de${\displaystyle {\tfrac {1}{y}}.}$

Una herramienta clave que permitió el uso práctico de los logaritmos fue la tabla de logaritmos . ^{[ 30 ]} La primera tabla de este tipo fue compilada por Henry Briggs en 1617, inmediatamente después de la invención de Napier, pero con la innovación de usar 10 como base. La primera tabla de Briggs contenía los logaritmos comunes de todos los enteros en el rango de 1 a 1000, con una precisión de 14  dígitos. Posteriormente, se escribieron tablas con un alcance cada vez mayor. Estas tablas enumeraban los valores de log ₁₀ x para cualquier número x en un cierto rango, con cierta precisión. Los logaritmos de base 10 se usaban universalmente para el cálculo, de ahí el nombre de logaritmo común, ya que los números que difieren por factores de 10 tienen logaritmos que difieren por enteros. El logaritmo común de x se puede separar en una parte entera y una parte fraccionaria , conocidas como característica y mantisa . Las tablas de logaritmos solo necesitan incluir la mantisa, ya que la característica se puede determinar fácilmente contando dígitos desde el punto decimal. ^{[ 31 ]} La característica de 10 · x es uno más la característica de x , y sus mantisas son iguales. Por lo tanto, usando una tabla de logaritmos de tres dígitos, el logaritmo de 3542 se aproxima mediante 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log _{10}3542&=\log _{10}(1000\cdot 3.542)\\&=3+\log _{10}3.542\\&\approx 3+\log _{10}3.54\end{aligned}}}$$

Se puede obtener mayor precisión mediante interpolación :

$${\displaystyle \log _{10}3542\approx {}3+\log _{10}3.54+0.2(\log _{10}3.55-\log _{10}3.54)}$$

El valor de 10 ^x se puede determinar mediante una búsqueda inversa en la misma tabla, ya que el logaritmo es una función monótona .

El producto y el cociente de dos números positivos c y d se calculaban habitualmente como la suma y la diferencia de sus logaritmos. El producto cd o el cociente c / d se obtenían consultando el antilogaritmo de la suma o la diferencia, mediante la misma tabla:  

$${\displaystyle cd=10^{\,\log _{10}c}\,10^{\,\log _{10}d}=10^{\,\log _{10}c\,+\,\log _{10}d}}$$

y

$${\displaystyle {\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\,\log _{10}c\,-\,\log _{10}d}.}$$

Para cálculos manuales que requieren una precisión apreciable, realizar la búsqueda de los dos logaritmos, calcular su suma o diferencia y buscar el antilogaritmo es mucho más rápido que realizar la multiplicación mediante métodos anteriores como la prostaféresis , que se basa en identidades trigonométricas .

Los cálculos de potencias y raíces se reducen a multiplicaciones o divisiones y búsquedas por

$${\displaystyle c^{d}=\left(10^{\,\log _{10}c}\right)^{d}=10^{\,d\log _{10}c}}$$

y

$${\displaystyle {\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\log _{10}c}.}$$

Los cálculos trigonométricos se facilitaban mediante tablas que contenían los logaritmos comunes de las funciones trigonométricas .

Otra aplicación crucial fue la regla de cálculo, un par de escalas divididas logarítmicamente que se utiliza para realizar cálculos. La escala logarítmica fija, la regla de Gunter , se inventó poco después de la invención de Napier. William Oughtred la perfeccionó para crear la regla de cálculo: un par de escalas logarítmicas móviles entre sí. Los números se colocan en las escalas deslizantes a distancias proporcionales a las diferencias entre sus logaritmos. Deslizar la escala superior equivale a sumar mecánicamente los logaritmos, como se ilustra aquí:

Por ejemplo, al sumar la distancia de 1 a 2 en la escala inferior a la distancia de 1 a 3 en la escala superior se obtiene un producto de 6, que se lee en la parte inferior. La regla de cálculo fue una herramienta esencial para ingenieros y científicos hasta la década de 1970, ya que permite, a costa de la precisión, cálculos mucho más rápidos que las técnicas basadas en tablas. ^{[ 32 ]}

Sea b un número real positivo distinto de 1 y sea f ( x ) = b ^x .

Es un resultado estándar en análisis real que cualquier función continua estrictamente monótona es biyectiva entre su dominio y su coordenada. Este hecho se deduce del teorema del valor intermedio . ^{[ 34 ]} Ahora bien, f es estrictamente creciente (para b > 1 ), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1 ), ^{[ 35 ]} es continua, tiene dominio${\displaystyle \mathbb {R} }$y tiene rango${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$Por lo tanto, f es una biyección de${\displaystyle \mathbb {R} }$a${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$En otras palabras, para cada número real positivo y , existe exactamente un número real x tal que${\displaystyle b^{x}=y}$.

Dejamos${\displaystyle \log _{b}\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$denotamos la inversa de f . Es decir, log _b y es el único número real x tal que${\displaystyle b^{x}=y}$Esta función se denomina función logarítmica en base b o función logarítmica (o simplemente logaritmo ).

La función log _b x también puede caracterizarse esencialmente por la fórmula del producto.

$${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.}$$

Más precisamente, el logaritmo en cualquier base b > 1 es la única función creciente f de los reales positivos a los reales que satisface f ( b ) = 1 y ^{[ 36 ].}

$${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y).}$$

Como se mencionó anteriormente, la función log _b es la inversa de la función exponencial.${\displaystyle x\mapsto b^{x}}$Por lo tanto, sus gráficas se corresponden entre sí al intercambiar las coordenadas x e y ( o al reflejarlas en la diagonal x = y ), como se muestra a la derecha: un punto ( t , u = b ^t ) en la gráfica de f produce un punto ( u , t = log _b u ) en la gráfica del logaritmo y viceversa. Como consecuencia, log _b ( x ) diverge hacia el infinito (se vuelve mayor que cualquier número dado) si x tiende a infinito, siempre que b sea mayor que uno. En ese caso, log _b ( x ) es una función creciente . Para b < 1 , log _b ( x ) tiende a menos infinito. Cuando x se aproxima a cero, log _b x tiende a menos infinito para b > 1 (y a más infinito para b < 1 , respectivamente).

Las propiedades analíticas de las funciones se transfieren a sus inversas. ^{[ 34 ]} Así, como f ( x ) = b ^x es una función continua y diferenciable , también lo es log _b y . Aproximadamente, una función continua es diferenciable si su gráfica no tiene "esquinas" pronunciadas. Además, como la derivada de f ( x ) se evalúa como ln( b ) b ^x por las propiedades de la función exponencial , la regla de la cadena implica que la derivada de log _b x viene dada por ^{[ 35 ] [ 37 ]}

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.}$$

Es decir, la pendiente de la tangente que toca la gráfica del logaritmo en base b en el punto ( x , log _b ( x )) es igual a 1/( x ln( b )) .

La derivada de ln( x ) es 1/ x ; esto implica que ln( x ) es la única antiderivada de 1/ x que tiene el valor 0 para x = 1 . Es esta fórmula muy simple la que motivó calificar como "natural" al logaritmo natural; esta es también una de las principales razones de la importancia de la constante e  .

La derivada con un argumento funcional generalizado f ( x ) es

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$$

El cociente del lado derecho se llama derivada logarítmica de f . El cálculo de f' ( x ) mediante la derivada de ln( f ( x )) se conoce como diferenciación logarítmica . ^{[ 38 ]} La antiderivada del logaritmo natural ln( x ) es: ^{[ 39 ]}

$${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$$

A partir de esta ecuación, mediante el cambio de bases, se pueden derivar fórmulas relacionadas , como las antiderivadas de logaritmos a otras bases. ^{[ 40 ]}

El logaritmo natural de t se puede definir como la integral definida :

$${\displaystyle \ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$

Esta definición tiene la ventaja de que no depende de la función exponencial ni de ninguna función trigonométrica; la definición se expresa en términos de una integral de un recíproco simple. Como integral, ln( t ) es igual al área entre el eje x y la gráfica de la función 1/ x , desde x = 1 hasta x = t . Esto es consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln( x ) es 1/ x . A partir de esta definición se pueden derivar fórmulas de producto y de logaritmo de potencia. ^{[ 41 ]} Por ejemplo, la fórmula del producto ln( tu ) = ln( t ) + ln( u ) se deduce como:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(tu)&=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=\ln(t)+\ln(u).\end{aligned}}}$$

La igualdad  (1) divide la integral en dos partes, mientras que la igualdad  (2) es un cambio de variable ( w = x / t ). En la ilustración siguiente, la división corresponde a dividir el área en las partes amarilla y azul. Reescalar el área azul de la izquierda verticalmente por el factor t y reducirla horizontalmente por el mismo factor no cambia su tamaño. Al moverla adecuadamente, el área se ajusta nuevamente a la gráfica de la función f ( x ) = 1/ x . Por lo tanto, el área azul de la izquierda, que es la integral de f ( x ) de t a tu , es la misma que la integral de 1 a u . Esto justifica la igualdad (2) con una demostración más geométrica.  

La fórmula de potencia ln( t ^r ) = r ln( t ) se puede derivar de manera similar:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(t^{r})&=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx\\&=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)\\&=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=r\ln(t).\end{aligned}}}$$

La segunda igualdad utiliza un cambio de variables ( integración por sustitución ), w = x ^{1/ r} .

La suma sobre los recíprocos de los números naturales,

$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$$

se llama serie armónica . Está estrechamente ligada al logaritmo natural : cuando n tiende a infinito , la diferencia,

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$$

converge (es decir, se acerca arbitrariamente) a un número conocido como la constante de Euler-Mascheroni γ = 0,5772... . Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos como quicksort . ^{[ 42 ]}

Los números reales que no son algebraicos se denominan trascendentales ; ^{[ 43 ]} por ejemplo, π y e son tales números, pero${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$No lo es. Casi todos los números reales son trascendentales. El logaritmo es un ejemplo de función trascendental . El teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores trascendentales, es decir, "difíciles". ^{[ 44 ]}

La media aritmético-geométrica proporciona aproximaciones de alta precisión del logaritmo natural . Sasaki y Kanada demostraron en 1982 que era particularmente rápida para precisiones entre 400 y 1000 decimales, mientras que los métodos de series de Taylor eran generalmente más rápidos cuando se necesitaba menor precisión. En su trabajo, ln( x ) se aproxima a una precisión de 2 ^{− p} (o p  bits precisos) mediante la siguiente fórmula (debido a Carl Friedrich Gauss ): ^{[ 51 ] [ 52 ]}

$${\displaystyle \ln(x)\approx {\frac {\pi }{2\,\mathrm {M} \!\left(1,2^{2-m}/x\right)}}-m\ln(2).}$$

Aquí M( x , y ) denota la media aritmético-geométrica de x e y . Se obtiene calculando repetidamente el promedio ( x + y )/2 ( media aritmética ) y${\textstyle {\sqrt {xy}}}$( media geométrica ) de x e y, luego hagamos que esos dos números se conviertan en los siguientes x e y . Los dos números convergen rápidamente a un límite común que es el valor de M( x , y ) . m se elige de tal manera que

$${\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}.\,}$$

Para garantizar la precisión requerida. Un valor mayor de m hace que el cálculo de M( x , y ) requiera más pasos (los valores iniciales de x e y están más alejados, por lo que se necesitan más pasos para converger), pero proporciona mayor precisión. Las constantes π y ln(2) se pueden calcular con series de rápida convergencia.

Mientras trabajaba en el Laboratorio Nacional de Los Alamos en el Proyecto Manhattan , Richard Feynman desarrolló un algoritmo de procesamiento de bits para calcular el logaritmo, similar a la división larga, que posteriormente se utilizó en la Connection Machine . El algoritmo se basa en el hecho de que todo número real x, donde 1 < x < 2, puede representarse como un producto de factores distintos de la forma 1 + 2 ^{− k} . El algoritmo construye secuencialmente ese producto P , comenzando con P = 1 y k = 1 : si P · (1 + 2 ^{− k} ) < x , entonces cambia P a P · (1 + 2 ^{− k} ) . Luego incrementa ${\displaystyle k}$por uno independientemente. El algoritmo se detiene cuando k es lo suficientemente grande como para dar la precisión deseada. Dado que log( x ) es la suma de los términos de la forma log(1 + 2 ^{− k} ) correspondientes a aquellos k para los cuales el factor 1 + 2 ^{− k} se incluyó en el producto P , log( x ) puede calcularse mediante una simple suma, utilizando una tabla de log(1 + 2 ^{− k} ) para todo k . Se puede utilizar cualquier base para la tabla de logaritmos. ^{[ 53 ]} 

Las magnitudes científicas suelen expresarse como logaritmos de otras magnitudes, utilizando una escala logarítmica . Por ejemplo, el decibelio es una unidad de medida asociada a magnitudes en escala logarítmica . Se basa en el logaritmo común de las razones : 10 veces el logaritmo común de una razón de potencia o 20 veces el logaritmo común de una razón de voltaje . Se utiliza para cuantificar la atenuación o amplificación de señales eléctricas, ^{[ 57 ]} para describir los niveles de potencia de los sonidos en acústica , ^{[ 58 ]} y la absorbancia de la luz en los campos de la espectrometría y la óptica . La relación señal-ruido , que describe la cantidad de ruido no deseado en relación con una señal (significativa) , también se mide en decibelios. ^{[ 59 ]} De manera similar, la relación señal-ruido máxima se utiliza comúnmente para evaluar la calidad de los métodos de compresión de sonido e imagen mediante el logaritmo. ^{[ 60 ]}  

La magnitud de un terremoto se mide tomando el logaritmo común de la energía emitida durante el sismo. Esto se utiliza en la escala de magnitud de momento o en la escala de magnitud de Richter . Por ejemplo, un terremoto de magnitud 5.0 libera 32  veces ( ^10¹⁵ ) y uno de magnitud 6.0 libera 1000  veces (10³ ⁾ la energía de uno de magnitud 4.0. ^{[ 61 ]} La magnitud aparente mide el brillo de las estrellas logarítmicamente. ^{[ 62 ]} En química, el negativo del logaritmo decimal, el decimalEl cologaritmo se indica con la letra p. ^{[ 63 ]} Por ejemplo,el pHes el cologaritmo decimal de laactividaddehidronio(la formalos ioneshidrógenoH ⁺ en el agua). ^{[ 64 ]} La actividad de los iones hidronio en agua neutra es 10⁻⁷mol·L ⁻¹ , por lo tanto, un pH de 7. El vinagre suele tener un pH de alrededor de 3. La diferencia de 4 corresponde a una relación de 10⁴de la actividad, es decir, la actividad del ion hidronio del vinagre es de aproximadamente10 ⁻³ mol·L ⁻¹ . 

Los gráficos semilogarítmicos (log-lineales) utilizan el concepto de escala logarítmica para la visualización: un eje, generalmente el vertical, se escala logarítmicamente. Por ejemplo, el gráfico de la derecha comprime el fuerte aumento de 1  millón a 1  billón al mismo espacio (en el eje vertical) que el aumento de 1 a 1  millón. En estos gráficos, las funciones exponenciales de la forma f ( x ) = a · b ^x aparecen como líneas rectas con una pendiente igual al logaritmo de b . Los gráficos log-log escalan ambos ejes logarítmicamente, lo que hace que las funciones de la forma f ( x ) = a · x ^k se representen como líneas rectas con una pendiente igual al exponente k . Esto se aplica en la visualización y el análisis de leyes de potencia . ^{[ 65 ]} 

Los logaritmos aparecen en varias leyes que describen la percepción humana : ^{[ 66 ] [ 67 ]} La ley de Hick propone una relación logarítmica entre el tiempo que tardan los individuos en elegir una alternativa y el número de opciones que tienen. ^{[ 68 ]} La ley de Fitts predice que el tiempo necesario para moverse rápidamente a un área objetivo es una función logarítmica de la razón entre la distancia al objetivo y el tamaño del objetivo. ^{[ 69 ]} En psicofísica , la ley de Weber-Fechner propone una relación logarítmica entre el estímulo y la sensación, como el peso real frente al peso percibido de un objeto que una persona lleva. ^{[ 70 ]} (Esta "ley", sin embargo, es menos realista que modelos más recientes, como la ley de potencia de Stevens . ^{[ 71 ]} )

Estudios psicológicos han demostrado que las personas con poca formación matemática tienden a estimar cantidades logarítmicamente; es decir, sitúan un número en una línea sin marcar según su logaritmo, de modo que 10 se sitúa tan cerca de 100 como 100 de 1000. Un mayor nivel educativo modifica esta tendencia hacia una estimación lineal (situando 1000 diez veces más lejos) en algunas circunstancias, mientras que los logaritmos se utilizan cuando los números que se van a representar gráficamente son difíciles de graficar linealmente. ^{[ 72 ] [ 73 ]}

Los logaritmos surgen en la teoría de la probabilidad : la ley de los grandes números dicta que, para una moneda justa , a medida que el número de lanzamientos tiende a infinito, la proporción observada de caras se aproxima a la mitad . Las fluctuaciones de esta proporción alrededor de la mitad se describen mediante la ley del logaritmo iterado . ^{[ 74 ]}

Los logaritmos también aparecen en las distribuciones log-normales . Cuando el logaritmo de una variable aleatoria tiene una distribución normal , se dice que la variable tiene una distribución log-normal. ^{[ 75 ]} Las distribuciones log-normales se encuentran en muchos campos, dondequiera que una variable se forme como el producto de muchas variables aleatorias positivas independientes, por ejemplo, en el estudio de la turbulencia. ^{[ 76 ]}

Los logaritmos se utilizan para la estimación de máxima verosimilitud de modelos estadísticos paramétricos . En este tipo de modelo, la función de verosimilitud depende de al menos un parámetro que debe estimarse. El máximo de la función de verosimilitud se produce en el mismo valor del parámetro que el máximo del logaritmo de la verosimilitud (el " log-  verosimilitud "), ya que el logaritmo es una función creciente. El log-verosimilitud es más fácil de maximizar, especialmente para las verosimilitudes multiplicadas de variables aleatorias independientes . ^{[ 77 ]}

La ley de Benford describe la aparición de dígitos en muchos conjuntos de datos , como las alturas de los edificios. Según esta ley, la probabilidad de que el primer dígito decimal de un elemento en la muestra de datos sea d (de 1 a 9) es igual a _log₁₀ ( d + 1) - log₁₀ ₍ d ) , independientemente de la unidad de medida. ^{[ 78 ]} Por lo tanto, se espera que aproximadamente el 30 % de los datos tengan 1 como primer dígito, el 18 % comiencen con 2, etc. Los auditores examinan las desviaciones de la ley de Benford para detectar contabilidad fraudulenta. ^{[ 79 ]}

La transformación logarítmica es un tipo de transformación de datos que se utiliza para acercar la distribución empírica a la supuesta.

El análisis de algoritmos es una rama de la informática que estudia el rendimiento de los algoritmos (programas informáticos que resuelven un problema determinado). ^{[ 80 ]} Los logaritmos son útiles para describir algoritmos que dividen un problema en problemas más pequeños y combinan las soluciones de los subproblemas. ^{[ 81 ]}

Por ejemplo, para encontrar un número en una lista ordenada, el algoritmo de búsqueda binaria comprueba la entrada central y, si el número aún no se encuentra, continúa con la mitad anterior o posterior a la entrada central. Este algoritmo requiere, en promedio, _log₂ ( N ) comparaciones , donde N es la longitud de la lista. ^{[ 82 ]} De manera similar, el algoritmo de ordenación por fusión ordena una lista desordenada dividiéndola en dos mitades y ordenándolas primero antes de fusionar los resultados. Los algoritmos de ordenación por fusión suelen requerir un tiempo aproximadamente proporcional a N · log( N ) . ^{[ 83 ]} La base del logaritmo no se especifica aquí, ya que el resultado solo cambia por un factor constante cuando se utiliza otra base. Un factor constante generalmente se ignora en el análisis de algoritmos bajo el modelo de costo uniforme estándar . ^{[ 84 ]}

Se dice que una función f ( x ) crece logarítmicamente si f ( x ) es (exacta o aproximadamente) proporcional al logaritmo de x . (Sin embargo, las descripciones biológicas del crecimiento de _los organismos utilizan este término para una función exponencial. ^{[ 85 ]} ) Por ejemplo, cualquier número natural N puede representarse en forma binaria con no más de log₂N + 1 bits . En otras palabras, la cantidad de memoria necesaria para almacenar N crece logarítmicamente con N.   

La entropía es, en términos generales, una medida del desorden de algún sistema. En termodinámica estadística , la entropía S de algún sistema físico se define como 

$${\displaystyle S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,}$$

La suma se realiza sobre todos los estados posibles i del sistema en cuestión, como las posiciones de las partículas de gas en un recipiente. Además, p _i es la probabilidad de que se alcance el estado i y k es la constante de Boltzmann . De manera similar, la entropía en la teoría de la información mide la cantidad de información. Si un receptor de un mensaje puede esperar cualquiera de N mensajes posibles con igual probabilidad, entonces la cantidad de información transmitida por cualquiera de esos mensajes se cuantifica como log ₂ N bits. ^{[ 86 ]}  

Los exponentes de Lyapunov utilizan logaritmos para medir el grado de caos de un sistema dinámico . Por ejemplo, para una partícula que se mueve sobre una mesa de billar ovalada, incluso pequeños cambios en las condiciones iniciales dan como resultado trayectorias muy diferentes de la partícula. Estos sistemas son caóticos de forma determinista , porque pequeños errores de medición del estado inicial conducen previsiblemente a estados finales muy diferentes. ^{[ 87 ]} Al menos un exponente de Lyapunov de un sistema caótico determinista es positivo.

Los logaritmos aparecen en las definiciones de la dimensión de los fractales . ^{[ 88 ]} Los fractales son objetos geométricos que son autosimilares en el sentido de que partes pequeñas reproducen, al menos aproximadamente, toda la estructura global. El triángulo de Sierpinski (en la imagen) puede cubrirse con tres copias de sí mismo, cada una con lados de la mitad de la longitud original. Esto hace que la dimensión de Hausdorff de esta estructura sea ln(3)/ln(2) ≈ 1,58 . Otra noción de dimensión basada en logaritmos se obtiene contando el número de cajas necesarias para cubrir el fractal en cuestión.

Cuatro octavas diferentes mostradas en una escala lineal, y luego en una escala logarítmica (tal como las percibe el oído).

Los logaritmos están relacionados con los tonos e intervalos musicales . En las afinaciones de temperamento igual , la relación de frecuencias depende únicamente del intervalo entre dos tonos, no de la frecuencia específica, o altura , de cada tono. En la afinación de temperamento igual de 12 tonos , común en la música occidental moderna, cada octava (duplicación de la frecuencia) se divide en doce intervalos igualmente espaciados llamados semitonos . Por ejemplo, si la nota La  tiene una frecuencia de 440 Hz , entonces la nota Si bemol tiene una frecuencia de 466 Hz. El intervalo entre La y Si bemol es un semitono , al igual que el que existe entre Si bemol y Si (frecuencia de 493 Hz). Por consiguiente, las relaciones de frecuencias coinciden:   

$${\displaystyle {\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.}$$

Los intervalos entre tonos arbitrarios se pueden medir en octavas tomando el logaritmo en base 2 de la relación de frecuencias , en semitonos con temperamento igual tomando el logaritmo en base 2 ^{de 1/12} ( 12 veces el logaritmo en base 2 ), o en centésimas de semitono tomando el logaritmo en base 2 ^{de 1/1200} ( 1200 veces el logaritmo en base 2 ). Este último se utiliza para una codificación más precisa, ya que es necesario para mediciones más finas o temperamentos no iguales. ^{[ 89 ]}

Los logaritmos naturales están estrechamente relacionados con el conteo de números primos (2, 3, 5, 7, 11, ...), un tema importante en la teoría de números . Para cualquier entero x , la cantidad de números primos menores o iguales a x se denota por π ( x ) . El teorema de los números primos afirma que π ( x ) está aproximadamente dado por 

$${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}},}$$

en el sentido de que la razón de π ( x ) y esa fracción se aproxima a 1 cuando x tiende a infinito. ^{[ 90 ]} Como consecuencia, la probabilidad de que un número elegido al azar entre 1 y x sea primo es inversamente proporcional al número de dígitos decimales de x . Una estimación mucho mejor de π ( x ) viene dada por la función integral logarítmica desplazada Li( x ) , definida por

$${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.}$$

La hipótesis de Riemann , una de las conjeturas matemáticas abiertas más antiguas , puede enunciarse en términos de comparar π ( x ) y Li( x ) . ^{[ 91 ]} El teorema de Erdős-Kac que describe el número de factores primos distintos también involucra el logaritmo natural .

El logaritmo del factorial de n , n ! = 1 · 2 · ... · n , viene dado por

$${\displaystyle \ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).}$$

Esto se puede utilizar para obtener la fórmula de Stirling , una aproximación de n ! para n grande . ^{[ 92 ]}

Todos los números complejos a que resuelven la ecuación

$${\displaystyle e^{a}=z}$$

Los logaritmos complejos de z se denominan logaritmos complejos cuando z es (considerado como) un número complejo. Un número complejo se representa comúnmente como z = x + iy , donde x e y son números reales e i es una unidad imaginaria , cuyo cuadrado es −1. Dicho número puede visualizarse mediante un punto en el plano complejo , como se muestra a la derecha. La forma polar codifica un número complejo distinto de cero z mediante su valor absoluto , es decir, la distancia (positiva y real) r al origen , y un ángulo entre el eje real ( x ) Re y la línea que pasa por el origen y z . Este ángulo se denomina argumento de z .   

El valor absoluto r de z viene dado por

$${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

Utilizando la interpretación geométrica del seno y el coseno y su periodicidad en 2π , cualquier número complejo z puede denotarse como 

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\&=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),\end{aligned}}}$$

para cualquier número entero k . Evidentemente, el argumento de z no está especificado de forma única: tanto φ como φ' = φ + 2 k π son argumentos válidos de z para todos los enteros k , porque sumar 2 k π radianes o k ⋅360° ^{[ nb 6 ]} a φ corresponde a "enrollar" alrededor del origen en sentido antihorario k vueltas . El número complejo resultante es siempre z , como se ilustra a la derecha para k = 1. Se puede seleccionar exactamente uno de los posibles argumentos de z como el llamado argumento principal , denotado Arg( z ) , con una A mayúscula , exigiendo que φ pertenezca a una vuelta convenientemente seleccionada, por ejemplo − π < φ ≤ π ^{[ 93 ]} o 0 ≤ φ < 2 π . ^{[ 94 ]} Estas regiones, donde el argumento de z está determinado de forma única, se denominan ramas de la función de argumento.     

La fórmula de Euler relaciona las funciones trigonométricas seno y coseno con la exponencial compleja : $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

Utilizando esta fórmula, y nuevamente la periodicidad, se cumplen las siguientes identidades: ^{[ 95 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{aligned}}}$$

donde ln( r ) es el único logaritmo natural real, a _k denota los logaritmos complejos de z , y k es un entero arbitrario. Por lo tanto, los logaritmos complejos de z , que son todos aquellos valores complejos a _k para los cuales la a _k -ésima  potencia de e es igual a z , son los infinitos valores

$${\displaystyle a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),}$$

para enteros arbitrarios k .

Tomando k tal que φ ₊ 2 k π se encuentra dentro del intervalo definido para los argumentos principales, entonces k se denomina valor principal del logaritmo, denotado Log( z ) , nuevamente con L mayúscula . El argumento principal de cualquier número real positivo x es 0; por lo tanto, Log( x ) es un número real e igual al logaritmo real (natural). Sin embargo, las fórmulas anteriores para logaritmos de productos y potencias no se generalizan al valor principal del logaritmo complejo. ^{[ 96 ]}  

La ilustración de la derecha muestra Log( z ) , confinando los argumentos de z al intervalo (−π, π ] . De esta forma, la rama correspondiente del logaritmo complejo presenta discontinuidades a lo largo del eje x  real negativo , lo que se aprecia en el cambio de tonalidad. Esta discontinuidad surge al saltar al otro límite en la misma rama, al cruzar un límite, es decir, al no cambiar al valor k correspondiente de la rama vecina continua. Este lugar geométrico se denomina corte de rama . Al eliminar las restricciones de rango en el argumento, las relaciones "argumento de z " y, por consiguiente, el "logaritmo de z ", se convierten en funciones multivaluadas .

La exponenciación se presenta en muchas áreas de las matemáticas y su función inversa se conoce comúnmente como logaritmo. Por ejemplo, el logaritmo de una matriz es la función inversa (multivaluada) de la exponencial matricial . ^{[ 97 ]} Otro ejemplo es el logaritmo p -ádico , la función inversa de la exponencial p -ádica . Ambos se definen mediante series de Taylor análogas al caso real. ^{[ 98 ]} En el contexto de la geometría diferencial , la aplicación exponencial mapea el espacio tangente en un punto de una variedad a un entorno de ese punto. Su inversa también se denomina aplicación logarítmica (o log). ^{[ 99 ]}

En el contexto de grupos finitos, la exponenciación se obtiene multiplicando repetidamente un elemento del grupo b por sí mismo. El logaritmo discreto es el entero n que resuelve la ecuación.  

$${\displaystyle b^{n}=x,}$$

donde x es un elemento del grupo. La exponenciación se puede realizar de manera eficiente, pero se cree que el logaritmo discreto es muy difícil de calcular en algunos grupos. Esta asimetría tiene aplicaciones importantes en criptografía de clave pública , como por ejemplo en el intercambio de claves Diffie-Hellman , una rutina que permite intercambios seguros de claves criptográficas a través de canales de información no seguros. ^{[ 100 ]} El logaritmo de Zech está relacionado con el logaritmo discreto en el grupo multiplicativo de elementos no nulos de un cuerpo finito . ^{[ 101 ]}

Otras funciones inversas similares a logaritmos incluyen el doble logaritmo ln(ln( x )) , el superlogaritmo o hiperlogaritmo de orden 4 (una ligera variación del cual se denomina logaritmo iterado en informática), la función W de Lambert y el logit . Son las funciones inversas de la función exponencial doble , la tetración , de f ( w ) = we ^w , ^{[ 102 ]} y de la función logística , respectivamente. ^{[ 103 ]} 

Desde la perspectiva de la teoría de grupos , la identidad log( cd ) = log( c ) + log( d ) expresa un isomorfismo de grupos entre los reales positivos bajo la multiplicación y los reales bajo la suma. Las funciones logarítmicas son los únicos isomorfismos continuos entre estos grupos. ^{[ 104 ]} Mediante ese isomorfismo, la medida de Haar ( medida de Lebesgue ) dx en los reales corresponde a la medida de Haar dx / x en los reales positivos. ^{[ 105 ]} Los reales no negativos no solo tienen una multiplicación, sino también una suma, y ​​forman un semianillo , llamado semianillo de probabilidad ; este es de hecho un semicuerpo . El logaritmo entonces transforma la multiplicación en suma (multiplicación logarítmica) y transforma la suma en suma logarítmica ( LogSumExp ), dando un isomorfismo de semianillos entre el semianillo de probabilidad y el semianillo logarítmico .  

Las formas logarítmicas de orden 1  df / f aparecen en el análisis complejo y la geometría algebraica como formas diferenciales con polos logarítmicos . ^{[ 106 ]}

El polilogaritmo es la función definida por

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.}$$

Se relaciona con el logaritmo natural mediante Li ₁ ( z ) = −ln(1 − z ) . Además, Li _s (1) es igual a la función zeta de Riemann ζ( s ) . ^{[ 107 ]}