Logaritmo de una matriz

En matemáticas , el logaritmo de una matriz es otra matriz tal que la exponencial de esta última es igual a la de la matriz original. Es, por lo tanto, una generalización del logaritmo escalar y, en cierto sentido, una función inversa de la exponencial de la matriz . No todas las matrices tienen logaritmo, y aquellas que sí lo tienen pueden tener más de uno. El estudio de los logaritmos de matrices conduce a la teoría de Lie, ya que cuando una matriz tiene un logaritmo, pertenece a un grupo de Lie , y el logaritmo es el elemento correspondiente del espacio vectorial del álgebra de Lie .

La exponencial de una matriz${\displaystyle A}$se define por

${\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}$.

Dada una matriz${\displaystyle B}$, otra matriz${\displaystyle A}$Se dice que es un logaritmo matricial de${\displaystyle B}$si${\displaystyle e^{A}=B}$.

Debido a que la función exponencial no es biyectiva para números complejos (por ejemplo${\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1}$), los números pueden tener múltiples logaritmos complejos y, como consecuencia de esto, algunas matrices pueden tener más de un logaritmo, como se explica a continuación. Si el logaritmo de la matriz de${\displaystyle B}$existe, entonces se escribe como${\displaystyle \log B,}$en cuyo caso${\displaystyle e^{\log B}=B.}$

Si${\displaystyle B}$es suficientemente cercano a la matriz identidad , entonces un logaritmo de${\displaystyle B}$puede calcularse mediante la serie de potencias

${\displaystyle \log(B)=\log(I+(BI))=\sum _ {k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(BI)^{k}=(BI)-{\frac {(BI)^{2}}{2}}+{\frac {(BI)^{3}}{3}}-\cdots }$,

que puede reescribirse como

${\displaystyle \log(B)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(IB)^{k}}{k}}=-(IB)-{\frac {(IB)^{2}}{2}}-{\frac {(IB)^{3}}{3}}-\cdots }$.

Específicamente, si${\displaystyle \left\|IB\right\|<1}$, entonces la serie precedente converge y${\displaystyle e^{\log(B)}=B}$. ^{[ 1 ]}

Las rotaciones en el plano dan un ejemplo sencillo. Una rotación de ángulo${\displaystyle \alpha }$alrededor del origen está representado por el${\displaystyle 2\times 2}$matriz

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.}$

Para cualquier número entero${\displaystyle n}$, la matriz

${\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},}$

es un logaritmo de${\displaystyle A}$.

Por lo tanto, la matriz${\displaystyle A}$tiene infinitos logaritmos. Esto corresponde al hecho de que el ángulo de rotación solo se determina hasta múltiplos de${\displaystyle 2\pi }$.

En el lenguaje de la teoría de Lie, las matrices de rotación${\displaystyle A}$son elementos del grupo de Lie SO(2) . Los logaritmos correspondientes${\displaystyle B}$son elementos del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2)}$, que consta de todas las matrices antisimétricas . La matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}$

es un generador de esta álgebra de Lie.

La pregunta de si una matriz tiene un logaritmo tiene la respuesta más sencilla cuando se considera en el contexto complejo. Una matriz compleja tiene un logaritmo si y solo si es invertible . ^{[ 2 ]} El logaritmo no es único, pero si una matriz no tiene autovalores reales negativos , entonces existe un logaritmo único cuyos autovalores se encuentran todos en la franja.${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ \vert \ -\pi <{\textit {Im}}\ z<\pi \}}$Este logaritmo se conoce como el logaritmo principal . ^{[ 3 ]}

La respuesta es más compleja en el contexto real. Una matriz real tiene un logaritmo real si y solo si es invertible y cada bloque de Jordan perteneciente a un valor propio negativo aparece un número par de veces. ^{[ 4 ]} Si una matriz real invertible no satisface la condición con los bloques de Jordan, entonces solo tiene logaritmos no reales. Esto ya se puede ver en el caso escalar: ninguna rama del logaritmo puede ser real en${\displaystyle -1}$. La existencia de logaritmos matriciales reales de números reales${\displaystyle 2\times 2}$Las matrices se tratan en una sección posterior.

Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son ambas matrices definidas positivas , entonces

${\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}.}$

Supongamos que${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$desplazamiento diario, lo que significa que${\displaystyle AB=BA}$. Entonces

${\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}}$

si y solo si${\displaystyle \operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]}$, dónde${\displaystyle \mu _{j}}$es un valor propio de${\displaystyle A}$y${\displaystyle \nu _{j}}$es el valor propio correspondiente de${\displaystyle B}$. ^{[ 5 ]} En particular,${\displaystyle \log(AB)=\log(A)+\log(B)}$cuando${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$desplazamiento y ambos son definidos positivos . Configuración${\displaystyle B=A^{-1}}$en esta ecuación se obtiene

${\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.}$

De manera similar, para quienes no se desplazan diariamente${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, se puede demostrar que ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).}$

De manera más general, una expansión en serie de${\displaystyle \log {(A+tB)}}$en potencias de${\displaystyle t}$se puede obtener utilizando la definición integral del logaritmo

${\displaystyle \log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _{0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}},}$

aplicado a ambos${\displaystyle X=A}$y${\displaystyle X=A+tB}$en el límite${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$.

Una rotación ${\displaystyle R\in SO(3)}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$es dado por un${\displaystyle 3\times 3}$matriz ortogonal .

El logaritmo de dicha matriz de rotación${\displaystyle R}$se puede calcular fácilmente a partir de la parte antisimétrica de la fórmula de rotación de Rodrigues , explícitamente en el ángulo del eje . Produce el logaritmo de la norma de Frobenius mínima , pero falla cuando${\displaystyle R}$tiene valores propios iguales a${\displaystyle -1}$donde esto no es único.

Además, tenga en cuenta que, dadas las matrices de rotación,${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$,

${\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\text{T}}B)\|_{F}}$

es la distancia geodésica en el${\displaystyle 3D}$variedad de matrices de rotación.

Un método para encontrar${\displaystyle \log A}$para una matriz diagonalizable${\displaystyle A}$es lo siguiente:

Encuentra la matriz${\displaystyle V}$de autovectores de${\displaystyle A}$(cada columna de${\displaystyle V}$es un vector propio de${\displaystyle A}$).

Encuentra la inversa${\displaystyle V^{-1}}$de${\displaystyle V}$.

Dejar

${\displaystyle A'=V^{-1}AV.}$

Entonces${\displaystyle A'}$será una matriz diagonal cuyos elementos diagonales son valores propios de${\displaystyle A}$.

Reemplazar cada elemento diagonal de${\displaystyle A'}$por su logaritmo (natural) para obtener${\displaystyle \log A'}$.

Entonces

${\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.}$

Que el logaritmo de${\displaystyle A}$podría ser una matriz compleja incluso si${\displaystyle A}$La afirmación de que un número es real se deduce del hecho de que una matriz con entradas reales y positivas puede tener, no obstante, valores propios negativos o incluso complejos (esto se cumple, por ejemplo, para las matrices de rotación ). La no unicidad del logaritmo de una matriz se deduce de la no unicidad del logaritmo de un número complejo.

El algoritmo ilustrado anteriormente no funciona para matrices no diagonalizables, como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Para tales matrices es necesario encontrar su descomposición de Jordan y, en lugar de calcular el logaritmo de las entradas diagonales como se indicó anteriormente, se calcularía el logaritmo de los bloques de Jordan .

Esto último se logra al notar que se puede escribir un bloque de Jordan como

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$

dónde${\displaystyle K}$es una matriz con ceros en y debajo de la diagonal principal . (El número${\displaystyle \lambda }$es distinto de cero bajo el supuesto de que la matriz cuyo logaritmo se intenta calcular es invertible.

Luego, por la serie de Mercator

${\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

uno consigue

${\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }$

Esta serie tiene un número finito de términos (${\displaystyle K^{m}}$es cero si${\displaystyle m}$es igual o mayor que la dimensión de${\displaystyle K}$), y por lo tanto su suma está bien definida.

Ejemplo. Utilizando este enfoque, se encuentra

${\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$

lo cual se puede verificar sustituyendo el lado derecho en la exponencial de la matriz: $${\displaystyle \exp {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}=I+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}\underbrace {{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}^{2}} _{=0}+\cdots ={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

Una matriz cuadrada representa un operador lineal en el espacio euclidiano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$dónde${\displaystyle n}$es la dimensión de la matriz. Dado que dicho espacio es de dimensión finita, este operador está realmente acotado .

Utilizando las herramientas del cálculo funcional holomorfo , dada una función holomorfa${\displaystyle f}$definido en un conjunto abierto en el plano complejo y un operador lineal acotado${\displaystyle T}$, se puede calcular${\displaystyle f(T)}$mientras${\displaystyle f}$se define en el espectro de${\displaystyle T}$.

La función${\displaystyle f(z)=log(z)}$puede definirse en cualquier conjunto abierto simplemente conexo en el plano complejo que no contenga el origen, y es holomorfo en dicho dominio. Esto implica que se puede definir${\displaystyle \ln T}$siempre y cuando el espectro de${\displaystyle T}$no contiene el origen y hay un camino que va desde el origen hasta el infinito sin cruzar el espectro de${\displaystyle T}$(por ejemplo, si el espectro de${\displaystyle T}$es un círculo con el origen dentro de él, es imposible definirlo${\displaystyle \ln T}$).

El espectro de un operador lineal en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es el conjunto de valores propios de su matriz, y por lo tanto es un conjunto finito . Siempre que el origen no esté en el espectro (la matriz es invertible), se cumple la condición de trayectoria del párrafo anterior, y ${\displaystyle \ln T}$Está bien definido. La no unicidad del logaritmo matricial se deriva del hecho de que se puede elegir más de una rama del logaritmo definido sobre el conjunto de valores propios de una matriz.

En la teoría de grupos de Lie , existe una aplicación exponencial de un álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$al grupo de Lie correspondiente${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.}

Para los grupos de Lie matriciales, los elementos de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y${\displaystyle G}$son matrices cuadradas y la aplicación exponencial viene dada por la exponencial matricial . La aplicación inversa${\displaystyle \log =\exp ^{-1}}$es multivaluado y coincide con el logaritmo matricial que se analiza aquí. El logaritmo se aplica desde el grupo de Lie.${\displaystyle G}$en el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Nótese que el mapa exponencial es un difeomorfismo local entre un vecindario.${\displaystyle U}$de la matriz cero${\displaystyle {\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}}$y un vecindario${\displaystyle V}$de la matriz identidad${\displaystyle {\underline {1}}\in G}$. ^{[ 7 ]} Por lo tanto, el logaritmo (matricial) está bien definido como una aplicación,

${\displaystyle \log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.}$

Una consecuencia importante de la fórmula de Jacobi es, por lo tanto,

${\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}$

Si un${\displaystyle 2\times 2}$Una matriz real tiene un determinante negativo , no tiene logaritmo real. Nótese primero que cualquier${\displaystyle 2\times 2}$Una matriz real puede considerarse uno de los tres tipos de números complejos.${\displaystyle z=x+y\epsilon }$, dónde${\displaystyle \epsilon ^{2}\in \{-1,0,+1\}}$. Este${\displaystyle z}$es un punto en un subplano complejo del anillo de matrices. ^{[ 8 ]}

El caso en que el determinante es negativo solo surge en un plano con${\displaystyle \epsilon ^{2}=+1}$, que es un plano de números complejos divididos . Solo un cuarto de este plano es la imagen del mapa exponencial, por lo que el logaritmo solo está definido en ese cuarto (cuadrante). Los otros tres cuadrantes son imágenes de este bajo el grupo de Klein de cuatro dimensiones generado por${\displaystyle \epsilon }$y${\displaystyle -1.}$

Por ejemplo, dejemos${\displaystyle a=log(2)}$ ; entonces${\displaystyle \cosh a=5/4}$y${\displaystyle \sinh a=3/4.}$ Para matrices, esto significa que

${\displaystyle A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&0.75\\0.75&1.25\end{pmatrix}}}$.

Entonces esta última matriz tiene logaritmo

${\displaystyle \log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}}$.

Sin embargo, estas matrices no tienen logaritmo:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}}$.

Representan los otros tres conjugados mediante el grupo de cuatro de la matriz anterior que sí tiene un logaritmo.

Un no singular${\displaystyle 2\times 2}$Una matriz no necesariamente tiene un logaritmo, pero es conjugada por el grupo de cuatro a una matriz que sí tiene un logaritmo.

También se deduce que, por ejemplo, la raíz cuadrada de esta matriz A se puede obtener directamente mediante la exponenciación.${\displaystyle (log(A))/2}$,

${\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2)/2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&0.35\\0.35&1.06\end{pmatrix}}~.}$

Para un ejemplo más completo, comencemos con una terna pitagórica (${\displaystyle p,q,r}$) y deja${\displaystyle a=log(p+r)-log(q).}$Entonces

${\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a}$.

Ahora

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}}$.

De este modo

${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}}$

tiene la matriz logarítmica

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}}$ ,

dónde${\displaystyle a=log(p+r)-log(q).}$

• Función matricial
• Raíz cuadrada de una matriz
• exponencial matricial
• Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff
• Derivada del mapa exponencial

• Gantmacher, Felix R. ( 1959), Teoría de las matrices , vol.  1, Nueva York: Chelsea, págs. 239–241 .
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  222 (2.ª  ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Culver, Walter J. (1966), "Sobre la existencia y unicidad del logaritmo real de una matriz", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 17 (5): 1146– 1151, doi : 10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6 , ISSN 0002-9939 .
• Higham, Nicholas (2008), Funciones de matrices. Teoría y computación , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7.
• Engø, Kenth (junio de 2001), "Sobre la fórmula BCH en so (3)" , BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629– 632, doi : 10.1023/A:1021979515229 , ISSN 0006-3835 , S2CID 126053191 , archivado del original el 24 de octubre de 2000