convolución logarítmica

En matemáticas , la convolución de escala de dos funciones${\displaystyle s(t)}$y${\displaystyle r(t)}$, también conocida como su convolución logarítmica o log-volución ^{[ 1 ]} se define como la función ^{[ 2 ]}

${\displaystyle s*_{l}r(t)=r*_{l}s(t)=\int _{0}^{\infty }s\left({\frac {t}{a}}\right)r(a)\,{\frac {da}{a}}}$

cuando existe esta cantidad.

La convolución logarítmica se puede relacionar con la convolución ordinaria cambiando la variable de${\displaystyle t}$a${\displaystyle v=\log t}$: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}s*_{l}r(t)&=\int _{0}^{\infty }s\left({\frac {t}{a}}\right)r(a)\,{\frac {da}{a}}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }s\left({\frac {t}{e^{u}}}\right)r(e^{u})\,du\\&=\int _{-\infty }^{\infty }s\left(e^{\log tu}\right)r(e^{u})\,du.\end{aligned}}}$

Definir${\displaystyle f(v)=s(e^{v})}$y${\displaystyle g(v)=r(e^{v})}$y dejar${\displaystyle v=\log t}$, entonces

${\displaystyle s*_{l}r(v)=f*g(v)=g*f(v)=r*_{l}s(v).}$

• Mellin transforma

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