Derivada logarítmica

En matemáticas , específicamente en cálculo y análisis complejo , la derivada logarítmica de una función f se define mediante la fórmula $${\displaystyle {\frac {f'}{f}}}$$ donde f′ es la derivada de f . ^{[ 1 ]} Intuitivamente, este es el cambio relativo infinitesimal en f ; es decir, el cambio absoluto infinitesimal en f , a saber, f′ escalado por el valor actual de f .

Cuando f es una función f ( x ) de una variable real x , y toma valores reales y estrictamente positivos , esto es igual a la derivada de ln f ( x ) , o el logaritmo natural de f . Esto se deduce directamente de la regla de la cadena : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}}$$

Muchas propiedades del logaritmo real también se aplican a la derivada logarítmica, incluso cuando la función no toma valores en los números reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, tenemos $${\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.}$$ Así, para funciones de valor real positivo, la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores. Pero también podemos usar la ley de Leibniz para la derivada de un producto para obtener $${\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$$ Por lo tanto, es cierto que para cualquier función, la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando están definidos).

Una consecuencia de esto es que la derivada logarítmica del recíproco de una función es la negación de la derivada logarítmica de la función: $${\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},}$$ así como el logaritmo del recíproco de un número real positivo es la negación del logaritmo del número.

En términos más generales, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor: $${\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},}$$ del mismo modo que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.

Generalizando en otra dirección, la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante) es el producto del exponente y la derivada logarítmica de la base: $${\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},}$$ del mismo modo que el logaritmo de una potencia es el producto del exponente y el logaritmo de la base.

Finalmente, la derivada logarítmica de la función exponencial de u es simplemente la derivada de u : $${\displaystyle {\frac {(e^{u})'}{e^{u}}}={\frac {u'e^{u}}{e^{u}}}=u',}$$ del mismo modo que el logaritmo de la función exponencial de una función es simplemente la función original.

En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos tienen una regla del producto , una regla del recíproco , una regla del cociente y una regla de la potencia (compárese con la lista de identidades logarítmicas ); cada par de reglas está relacionado a través de la derivada logarítmica.

Las derivadas logarítmicas pueden simplificar el cálculo de derivadas que requieren la regla del producto , obteniendo el mismo resultado. El procedimiento es el siguiente: Supongamos que f ( x ) = u ( x ) v ( x ) y que deseamos calcular f′ ( x ) . En lugar de calcularla directamente como f′ = u′v + v′u , calculamos su derivada logarítmica. Es decir, calculamos: $${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$$

Multiplicando por f se obtiene f′ : $${\displaystyle f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).}$$

Esta técnica es más útil cuando f es producto de un gran número de factores. Esta técnica permite calcular f′ calculando la derivada logarítmica de cada factor, sumándola y multiplicándola por f .

Por ejemplo, podemos calcular la derivada logarítmica de $${\displaystyle (e^{x})^{2}(x-2)^{3}(x-3)(x-1)^{-1}}$$ ser $${\displaystyle 2+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}.}$$

La idea de la derivada logarítmica está estrechamente relacionada con el método del factor integrante para ecuaciones diferenciales de primer orden . En términos de operadores , escribimos$${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$$y sea M el operador de multiplicación por alguna función dada G ( x ). Entonces$${\displaystyle M^{-1}DM}$$se puede escribir (por la regla del producto ) como$${\displaystyle D+M^{*}}$$dónde${\displaystyle M^{*}}$Ahora denota el operador de multiplicación por la derivada logarítmica.$${\displaystyle {\frac {G'}{G}}}$$

En la práctica se nos proporciona un operador como por ejemplo: $${\displaystyle D+F=L}$$ y desean resolver ecuaciones $${\displaystyle L(h)=f}$$ para la función h , dado f . Esto se reduce entonces a resolver $${\displaystyle {\frac {G'}{G}}=F}$$ que tiene como solución $${\displaystyle \exp \textstyle (\int F)}$$con cualquier integral indefinida de F.

La fórmula dada se puede aplicar de forma más amplia; por ejemplo, si f ( z ) es una función meromorfa , tiene sentido para todos los valores complejos de z en los que f no tiene ni un cero ni un polo . Además, en un cero o un polo, la derivada logarítmica se comporta de una manera que se puede analizar fácilmente en términos del caso particular.

donde n es un número entero, n ≠ 0. La derivada logarítmica es entonces $${\displaystyle n/z}$$ y se puede llegar a la conclusión general de que para f meromorfa, las singularidades de la derivada logarítmica de f son todas polos simples , con residuo n de un cero de orden n , residuo − n de un polo de orden n . Véase el principio del argumento . Esta información se aprovecha a menudo en la integración de contorno . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

En el campo de la teoría de Nevanlinna , un lema importante establece que la función de proximidad de una derivada logarítmica es pequeña con respecto a la característica de Nevanlinna de la función original, por ejemplo${\displaystyle m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))}$. ^{[ 4 ]}

Detrás del uso de la derivada logarítmica se encuentran dos hechos básicos sobre GL ₁ , es decir, el grupo multiplicativo de los números reales u otro campo . El operador diferencial$${\displaystyle X{\frac {d}{dX}}}$$ es invariante bajo dilatación (reemplazando X por aX para una constante). Y la forma diferencial$${\displaystyle {\frac {dx}{X}}}$$es igualmente invariante. Para funciones F en GL ₁ , la fórmula $${\displaystyle {\frac {dF}{F}}}$$es, por lo tanto, una reversión de la forma invariante.

• El crecimiento exponencial y el decaimiento exponencial son procesos con derivada logarítmica constante.
• En finanzas matemáticas , la letra griega λ es la derivada logarítmica del precio del derivado con respecto al precio del activo subyacente. 
• En el análisis numérico , el número de condición es el cambio relativo infinitesimal en la salida para un cambio relativo en la entrada, y es, por lo tanto, una razón de derivadas logarítmicas.
• La función digamma , y ​​por extensión la función poligamma , se define en términos de la derivada logarítmica de la función gamma .

• Generalizaciones de la derivada – Construcción fundamental del cálculo diferencial 
• Derivación logarítmica – Método de diferenciación matemática 
• Elasticidad de una función
• Integral del producto