Estructura del registro

En geometría algebraica , una estructura logarítmica proporciona un contexto abstracto para estudiar esquemas semiestables , y en particular la noción de forma diferencial logarítmica y los conceptos relacionados de la teoría de Hodge . Esta idea es uno de los fundamentos de la geometría logarítmica y tiene aplicaciones en la teoría de espacios de módulos , en la teoría de deformaciones y en la teoría de Hodge p-ádica de Fontaine , entre otras.

La idea es estudiar alguna variedad algebraica (o esquema ) U que sea lisa pero no necesariamente propia , incrustándola en X , que es propia, y luego observando ciertos haces en X. El problema es que el subhaz de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$que consiste en funciones cuya restricción a U es invertible no es un haz de anillos (ya que agregar dos funciones no nulas podría proporcionar una que se anule), y solo obtenemos un haz de submonoides de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$, multiplicativamente. Recordar esta estructura adicional en X corresponde a recordar la inclusión${\displaystyle j\colon U\to X}$, que asemeja a X con esta estructura adicional a una variedad con límite (correspondiente a${\displaystyle D=XU}$). ^{[ 1 ]}

Sea X un esquema. Una estructura pre-logarítmica en X consiste en un haz de monoides (conmutativos).${\displaystyle {\mathcal {M}}}$en X junto con un homomorfismo de monoides${\displaystyle \alpha \colon {\mathcal {M}}\to {\mathcal {O}}_{X}}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$se considera un monoide bajo la multiplicación de funciones.

Una estructura pre-logarítmica${\displaystyle ({\mathcal {M}},\alpha )}$es una estructura de registro si además${\displaystyle \alpha }$induce un isomorfismo${\displaystyle \alpha \colon \alpha ^{-1}({\mathcal {O}}_{X}^{\times })\to {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$.

Un morfismo de estructuras (pre)log consiste en un homomorfismo de haces de monoides que conmutan con los homomorfismos asociados en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$.

Un esquema logarítmico es simplemente un esquema provisto de una estructura logarítmica.

• Para cualquier esquema X , se puede definir la estructura logarítmica trivial en X tomando${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$y${\displaystyle \alpha }$ser la inclusión.
• El ejemplo que motiva la definición de estructura logarítmica proviene de los esquemas semiestables. Sea X un esquema,${\displaystyle j\colon U\to X}$la inclusión de un subesquema abierto de X , con complemento${\displaystyle D=XU}$un divisor con cruces normales . Luego hay una estructura logarítmica asociada a esta situación, que es${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {O}}_{X}\cap j_{*}{\mathcal {O}}_{U}^{\times }}$, con${\displaystyle \alpha }$simplemente el morfismo de inclusión en${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$. Esto se denomina la estructura logarítmica canónica (o estándar ) en X asociada a D.
• Sea R un anillo de valuación discreta , con campo residual k y campo de fracciones K. Entonces la estructura logarítmica canónica en${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$consiste en la inclusión de${\displaystyle R\setminus \{0\}}$(y no${\displaystyle R^{\times }}$!) adentro${\displaystyle R}$. De hecho, este es un ejemplo de la construcción anterior, pero tomando${\displaystyle j\colon \mathrm {Spec} (K)\to \mathrm {Spec} (R)}$.
• Con R como se indicó anteriormente, también se puede definir la estructura del tronco hueco en${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$tomando el mismo haz de monoides que antes, pero en su lugar enviando el ideal maximal de R a 0.

Una aplicación de las estructuras logarítmicas es la capacidad de definir formas logarítmicas (también llamadas formas diferenciales con polos logarítmicos) en cualquier esquema logarítmico. A partir de esto, se pueden definir, por ejemplo, la suavidad logarítmica y la étaleidad logarítmica, generalizando las nociones de morfismos suaves y morfismos étale . Esto permite, a su vez, el estudio de la teoría de la deformación .

Además, las estructuras logarítmicas sirven para definir la estructura de Hodge mixta en cualquier variedad compleja lisa X , tomando una compactificación con frontera un divisor de cruces normales D y escribiendo el complejo de De Rham logarítmico correspondiente . ^{[ 2 ]}

Los objetos de registro también aparecen de forma natural como objetos en el límite de los espacios de módulos , es decir, a partir de degeneraciones.

La geometría logarítmica también permite definir la cohomología logarítmica-cristalina , un análogo de la cohomología cristalina que presenta un buen comportamiento para variedades que no son necesariamente lisas, sino solo logarítmicamente lisas. Esto tiene aplicación en la teoría de las representaciones de Galois , y en particular en las representaciones de Galois semiestables.

• Geometría de troncos
• Esquema semiestable
• cohomología log-cristalina