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Ley del muro

Ley de la pared, velocidad horizontal cerca de la pared con modelo de longitud de mezcla En dinámica de fluidos , la ley de la pared (también conocida como ley logarítmica de la...

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Ley de la pared, velocidad horizontal cerca de la pared con modelo de longitud de mezcla

En dinámica de fluidos , la ley de la pared (también conocida como ley logarítmica de la pared ) establece que la velocidad media de un flujo turbulento en un punto determinado es proporcional al logaritmo de la distancia desde ese punto hasta la "pared", o el límite de la región del fluido . Esta ley de la pared fue publicada por primera vez en 1930 por el matemático , ingeniero aeroespacial y físico húngaro-estadounidense Theodore von Kármán . [ 1 ] Técnicamente, solo es aplicable a las partes del flujo cercanas a la pared (<20% de la altura del flujo), aunque constituye una buena aproximación para todo el perfil de velocidad de las corrientes naturales. [ 2 ]

Formulación logarítmica general

La ley logarítmica de la pared es una solución autosimilar para la velocidad media paralela a la pared, y es válida para flujos a altos números de Reynolds , en una región de solapamiento con esfuerzo cortante aproximadamente constante y lo suficientemente lejos de la pared como para que los efectos viscosos (directos) sean despreciables: [ 3 ]

tú+=1κlny++do+,{\displaystyle u^{+}={\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+},} con y+=ytúτν,{\displaystyle y^{+}={\frac {y\,u_{\tau }}{\nu }},} túτ=τwρ{\displaystyle u_{\tau }={\sqrt {\frac {\tau _ {w}}{\rho }}}} y tú+=tútúτ{\displaystyle u^{+}={\frac {u}{u_{\tau }}}}

dónde

A partir de experimentos, se ha determinado que la constante de von Kármán es:κ≈0,41{\displaystyle \kappa \approx 0.41}ydo+≈5.0{\displaystyle C^{+}\approx 5.0}para una pared lisa. [ 3 ]

Con dimensiones, la ley logarítmica de la pared se puede escribir como: [ 4 ]

tú=túτκlnyy0 {\displaystyle {u}={\frac {u_{\tau }}{\kappa }}\ln \,{\frac {y}{y_{0}}}\ }

donde y 0 es la distancia desde el límite en la que la velocidad idealizada dada por la ley de la pared se anula. Esto es necesariamente distinto de cero porque el perfil de velocidad turbulenta definido por la ley de la pared no se aplica a la subcapa laminar . La distancia desde la pared en la que se anula se determina comparando el espesor de la subcapa laminar con la rugosidad de la superficie sobre la que fluye. Para una subcapa laminar cercana a la pared de espesorδν{\displaystyle \delta _{\nu }}y una escala de longitud de rugosidad característicaks{\displaystyle k_{s}}, [ 2 ]

Intuitivamente, esto significa que si los elementos de rugosidad están ocultos dentro de la subcapa laminar, tienen un efecto muy diferente en la ley turbulenta del perfil de velocidad de la pared que si sobresalen en la parte principal del flujo.

Esto también se formula a menudo de manera más formal en términos de un número de Reynolds límite,Rmiw{\displaystyle Re_{w}}, dónde

Rmiw=túτksν. {\displaystyle Re_{w}={\frac {u_{\tau }k_{s}}{\nu }}.\ }

El flujo es hidráulicamente suave paraRmiw<3{\displaystyle Re_{w}<3}, hidráulicamente áspero paraRmiw>100{\displaystyle Re_{w}>100}y transitorio para valores intermedios. [ 2 ]

Valores paray0{\displaystyle y_{0}}están dados por: [ 2 ] [ 5 ]

Los valores intermedios generalmente se obtienen mediante el diagrama de Nikuradse derivado empíricamente , [ 2 ] aunque también se han propuesto métodos analíticos para resolver este rango. [ 6 ]

Para canales con un límite granular, como los sistemas fluviales naturales,

ks≈3.5D84, {\displaystyle k_{s}\approx 3.5D_{84},\ }

dóndeD84{\displaystyle D_{84}}es el diámetro promedio del percentil 84 más grande de los granos del material del lecho. [ 7 ]

soluciones de ley de potencias

Los trabajos de Barenblatt y otros han demostrado que, además de la ley logarítmica de la pared —el límite para números de Reynolds infinitos—, existen soluciones de ley de potencias, que dependen del número de Reynolds. [ 8 ] [ 9 ] En 1996, Cipra presentó evidencia experimental en apoyo de estas descripciones de ley de potencias. [ 10 ] Esta evidencia en sí misma no ha sido completamente aceptada por otros expertos. [ 11 ] En 2001, Oberlack afirmó haber derivado tanto la ley logarítmica de la pared como las leyes de potencias directamente de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds , explotando las simetrías en un enfoque de grupo de Lie . [ 3 ] [ 12 ] Sin embargo, en 2014, Frewer et al. [ 13 ] refutaron estos resultados.

Para escalares

Para escalares (sobre todo la temperatura), se ha teorizado la ley logarítmica autosimilar de la pared (formulada por primera vez por BA Kader [ 14 ] ) y se ha observado en estudios experimentales y computacionales. [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] En muchos casos, se necesitan extensiones a la formulación original de la ley de la pared (generalmente mediante transformaciones integrales) para tener en cuenta la compresibilidad, las propiedades variables y los efectos de los fluidos reales.

Cerca de la pared

Debajo de la región donde se aplica la ley de la pared, existen otras estimaciones para la velocidad de fricción. [ 19 ]

Subcapa viscosa

En la región conocida como la subcapa viscosa, debajo de 5 unidades de pared, la variación detú+{\displaystyle u^{+}}ay+{\displaystyle y^{+}}es aproximadamente 1:1, de modo que:

Para y+<5{\displaystyle y^{+}<5}
tú+=y+{\displaystyle u^{+}=y^{+}}

dónde,

Esta aproximación se puede utilizar más allá de 5 unidades de pared, pero pory+=12{\displaystyle y^{+}=12}El error es superior al 25%.

Capa de amortiguación

En la capa intermedia, entre 5 y 30 unidades de pared, ninguna de las dos leyes se cumple, de modo que:

Para 5<y+<30{\displaystyle 5<y^{+}<30}
tú+≠y+{\displaystyle u^{+}\neq y^{+}}
tú+≠1κlny++do+{\displaystyle u^{+}\neq {\frac {1}{\kappa }}\ln \,y^{+}+C^{+}}

con la mayor variación de cualquiera de las dos leyes ocurriendo aproximadamente donde se cruzan las dos ecuaciones, eny+=11{\displaystyle y^{+}=11}Es decir, antes de las 11 unidades de pared la aproximación lineal es más precisa y después de las 11 unidades de pared se debe utilizar la aproximación logarítmica, aunque ninguna de las dos es relativamente precisa a las 11 unidades de pared.

Perfil de velocidad media en la dirección del flujotú+{\displaystyle u^{+}}se mejora paray+<20{\displaystyle y^{+}<20}con una formulación de viscosidad de remolino basada en una energía cinética turbulenta cercana a la paredκ+{\displaystyle \kappa ^{+}}función y la ecuación de longitud de mezcla de van Driest. Comparaciones con datos DNS de flujos de canal turbulentos completamente desarrollados para109<Rmiτ<2003{\displaystyle 109<Re_{\tau }<2003}mostró buena concordancia. [ 20 ]

Notas

  1. ↑ von Kármán, Th. (1930), "Mechanische Ähnlichkeit und Turbulenz", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Fachgruppe 1 (Mathematik) , 5 : 58–76(también como: "Similitud mecánica y turbulencia" , Tech. Mem. NACA, n.º 611, 1931).
  2. 1 2 3 4 5 Mohrig, David (2004). "Conservación de masa y momento" (PDF) . 12.110: Geología sedimentaria, otoño de 2004. MIT OCW . Recuperado el 27 de marzo de 2009 .
  3. ^ Schlichting y Gersten (2000 ) págs. 522–524.
  4. ↑ Schlichting y Gersten (2000) pág. 530.
  5. ↑ Whipple, Kelin (2004). "Rugosidad hidráulica" (PDF) . 12.163: Procesos superficiales y evolución del paisaje . MIT OCW . Recuperado el 27 de marzo de 2009 .
  6. ↑ Le Roux, JP (2004), "Una ley integrada de la pared para el flujo hidrodinámicamente transicional sobre lechos planos", Geología Sedimentaria , 163 ( 3–4 ): 311–321 , Bibcode : 2004SedG..163..311L , doi : 10.1016/j.sedgeo.2003.07.005
  7. ↑ Haws, Benjamin. "Rugosidad equivalente de la arena de Nikuradse (ks)" . Consultado el 27 de marzo de 2009 .
  8. ↑ Lynn Yarris. "Un fallo en la ley" . Berkeley Lab: Highlights 97–98 . Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley, Departamento de Energía de EE. UU. Archivado del original el 1 de diciembre de 2008. Consultado el 18 de marzo de 2009 .
  9. ↑ Barenblatt, GI (1993), "Leyes de escala para flujos de cizallamiento turbulentos completamente desarrollados. Parte 1. Hipótesis básicas y análisis", Journal of Fluid Mechanics , 248 : 513–520 , Bibcode : 1993JFM...248..513B , doi : 10.1017/S0022112093000874 , S2CID 123639410 Barenblatt, GI; Prostokishin, VM (1993), "Leyes de escala para flujos de cizallamiento turbulentos completamente desarrollados. Parte 2. Procesamiento de datos experimentales", Journal of Fluid Mechanics , 248 : 521–529 , Bibcode : 1993JFM...248..521B , doi : 10.1017/S0022112093000886 , S2CID 121328837 Barenblatt, GI; Goldenfeld, N. (1995), "¿Existe la turbulencia completamente desarrollada? Independencia del número de Reynolds frente a covarianza asintótica", Physics of Fluids , 7 (12): 3078–3084 , arXiv : cond-mat/9507132 , Bibcode : 1995PhFl....7.3078B , doi : 10.1063/1.868685 , S2CID 15138376 Barenblatt, GI; Chorin, AJ (1998), "Leyes de escala y límites de viscosidad evanescente para flujos de cizallamiento confinados por paredes y para la estructura local en turbulencia desarrollada", Communications on Pure and Applied Mathematics , 50 (4): 381–398 , doi : 10.1002/(SICI)1097-0312(199704)50:4 < 381::AID-CPA5 > 3.0.CO ; 2-6
  10. ↑ Cipra, Barry Arthur (mayo de 1996), "Una nueva teoría de la turbulencia causa revuelo entre los expertos", Science , 272 (5264): 951, Bibcode : 1996Sci...272..951C , doi : 10.1126/science.272.5264.951 , S2CID 117371905 
  11. ↑ Zagarola, MV; Perry, AE; Smits, AJ (1997), "Leyes logarítmicas o leyes de potencia: el escalamiento en la región de superposición", Physics of Fluids , 9 (7): 2094–2100 , Bibcode : 1997PhFl....9.2094Z , CiteSeerX 10.1.1.503.989 , doi : 10.1063/1.869328 
  12. ↑ Oberlack, Martin (2001), "Un enfoque unificado para simetrías en flujos de cizallamiento turbulentos plano-paralelos", Journal of Fluid Mechanics , 427 (1): 299–328 , Bibcode : 2001JFM...427..299O , doi : 10.1017/S0022112000002408 , S2CID 122979735 
  13. ↑ Frewer, Michael; Khujadze, George; Foysi, Holger (2014), ¿Es la ley logarítmica un resultado de primer principio del análisis de invariancia de grupos de Lie?, págs. 1–32 , arXiv : 1412.3069 , Bibcode : 2014arXiv1412.3069F 
  14. ↑ Kader, BA (1981-09-01). "Perfiles de temperatura y concentración en capas límite totalmente turbulentas". International Journal of Heat and Mass Transfer . 24 (9): 1541– 1544. Bibcode : 1981IJHMT..24.1541K . doi : 10.1016/0017-9310(81)90220-9 . ISSN 0017-9310 . 
  15. ↑ Simonich, JC; Bradshaw, P. (1978-11-01). "Efecto de la turbulencia de la corriente libre en la transferencia de calor a través de una capa límite turbulenta". Journal of Heat Transfer . 100 (4): 671– 677. doi : 10.1115/1.3450875 . ISSN 0022-1481 . 
  16. ↑ Patel, Ashish; Boersma, Bendiks J.; Pecnik, Rene (2017-08-21). "Estadística escalar en flujos turbulentos de canal con propiedades variables" . Physical Review Fluids . 2 (8) 084604. Bibcode : 2017PhRvF...2h4604P . doi : 10.1103/PhysRevFluids.2.084604 .
  17. ↑ Toki, Takahiko; Teramoto, Susumu; Okamoto, Koji (2020-01-01). "Perfiles de velocidad y temperatura en flujo turbulento en canal a presión supercrítica" . Journal of Propulsion and Power . 36 (1): 3– 13. doi : 10.2514/1.B37381 . S2CID 209963353 . 
  18. ↑ Guo, J.; Yang, XIA; Ihme, M. (marzo de 2022). "Estructura de la capa límite térmica en flujos turbulentos de canal en condiciones transcríticas" . Journal of Fluid Mechanics . 934 A45. Bibcode : 2022JFM...934A..45G . doi : 10.1017/jfm.2021.1157 . ISSN 0022-1120 . 
  19. ↑ Flujos turbulentos (2000) págs. 273–274. Pope, Stephen (2000), Flujos turbulentos (1.ª ed. revisada), Cambridge University Press, ISBN  0-521-59125-2
  20. ↑ Absi, Rafik (2009), "Una formulación simple de viscosidad turbulenta para capas límite turbulentas cerca de paredes lisas", Comptes Rendus Mécanique , 337 (3): 158– 165, arXiv : 1106.0985 , Bibcode : 2009CRMec.337..158A , doi : 10.1016/j.crme.2009.03.010 , S2CID 40907005 

Referencias

  • Chanson, H. (2009), Hidrodinámica aplicada: Introducción a los flujos de fluidos ideales y reales , CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas, ISBN 978-0-415-49271-3
  • Schlichting, Hermann; Gersten, K. (2000), Teoría de la capa límite (octava  edición revisada), Springer, ISBN 3-540-66270-7

Lecturas adicionales

  • Buschmann, Matthias H.; Gad-el-Hak, Mohamed (2009), "Evidencia de comportamiento no logarítmico del flujo turbulento en canales y tuberías", AIAA Journal , 47 (3): 535, Bibcode : 2009AIAAJ..47..535B , doi : 10.2514/1.37032
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