Oración (lógica matemática)

En lógica matemática , una sentencia (o fórmula cerrada ) ^{[ 1 ]} de la lógica de predicados es una fórmula bien formada con valores booleanos y sin variables libres . Una sentencia puede considerarse como la expresión de una proposición , algo que debe ser verdadero o falso. La restricción de no tener variables libres es necesaria para asegurar que las sentencias puedan tener valores de verdad concretos y fijos : dado que las variables libres de una fórmula (general) pueden abarcar varios valores, el valor de verdad de dicha fórmula puede variar.

Las oraciones que carecen de conectores lógicos o cuantificadores se conocen como oraciones atómicas , por analogía con la fórmula atómica . A partir de estas oraciones atómicas, se construyen oraciones mediante la aplicación de conectores y cuantificadores.

Un conjunto de enunciados se denomina teoría ; por lo tanto, los enunciados individuales pueden llamarse teoremas . Para evaluar correctamente la veracidad (o falsedad) de un enunciado, es necesario recurrir a una interpretación de la teoría. En el caso de las teorías de primer orden, las interpretaciones se denominan comúnmente estructuras . Dada una estructura o interpretación, un enunciado tendrá un valor de verdad fijo. Una teoría es satisfacible cuando es posible presentar una interpretación en la que todos sus enunciados sean verdaderos. El estudio de algoritmos para descubrir automáticamente interpretaciones de teorías que hagan que todos los enunciados sean verdaderos se conoce como el problema de la satisfacibilidad módulo teorías .

Para la interpretación de fórmulas, se debe especificar un dominio de discurso , como los números reales positivos , los números reales y los números complejos . El siguiente ejemplo se presenta en lógica de primer orden.

${\displaystyle \forall y\ \exists x\ (y=x^{2})}$

es una oración. Esta oración significa que para cada y, existe un x tal que${\textstyle y=x^{2}.}$ Esta afirmación es verdadera para números reales positivos, falsa para números reales y verdadera para números complejos.

Sin embargo, la fórmula

${\displaystyle \exists x\ (y=x^{2})}$

no es una oración debido a la presencia de la variable libre y . Para números reales, esta fórmula es verdadera si sustituimos (arbitrariamente)${\textstyle y=2,}$pero es falso si${\textstyle y=-2.}$

Lo importante es la presencia de una variable libre, más que el valor de verdad inconstante; por ejemplo, incluso para números complejos, donde la fórmula siempre es verdadera, no se considera una oración. En ese caso, a dicha fórmula se la puede llamar predicado .

• Expresión del suelo
• Fórmula abierta
• Enunciado (lógica)
• Proposición

• Hinman, P. (2005). Fundamentos de lógica matemática . AK Peters. ISBN 1-56881-262-0.
• Rautenberg, Wolfgang (2010), Introducción concisa a la lógica matemática (3.ª  ed.), Nueva York : Springer Science+Business Media , doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3 , ISBN 978-1-4419-1220-6.