Lógica

La lógica es el estudio del razonamiento correcto . Incluye tanto la lógica formal como la informal . La lógica formal estudia las inferencias deductivamente válidas o verdades lógicas . Examina cómo se derivan conclusiones de premisas basadas únicamente en la estructura de los argumentos, independientemente de su tema y contenido. La lógica informal se asocia con falacias informales , pensamiento crítico y teoría de la argumentación . La lógica informal examina argumentos expresados en lenguaje natural, mientras que la lógica formal utiliza lenguaje formal . Cuando se usa como sustantivo contable , el término "lógica" se refiere a un sistema lógico formal específico que articula un sistema de demostración . La lógica desempeña un papel central en muchos campos, como la filosofía , las matemáticas , la informática y la lingüística .

La lógica estudia los argumentos , que consisten en un conjunto de premisas que conducen a una conclusión . Un ejemplo es el argumento de las premisas "es domingo" y "si es domingo, entonces no tengo que trabajar", que lleva a la conclusión "no tengo que trabajar". ^{[ 1 ]} Las premisas y las conclusiones expresan proposiciones o afirmaciones que pueden ser verdaderas o falsas. Una característica importante de las proposiciones es su estructura interna. Por ejemplo, las proposiciones complejas están formadas por proposiciones más simples vinculadas por vocabulario lógico como $\land$ ( y ) o $\to$ ( Si...entonces ). Las proposiciones simples también tienen partes, como "domingo" o "trabajo" en el ejemplo. La verdad de una proposición generalmente depende del significado de todas sus partes. Sin embargo, este no es el caso de las proposiciones lógicamente verdaderas. Estas son verdaderas únicamente debido a su estructura lógica, independientemente del significado específico de las partes individuales.

Los argumentos pueden ser correctos o incorrectos. Un argumento es correcto si sus premisas respaldan su conclusión. Los argumentos deductivos tienen la forma más sólida de respaldo: si sus premisas son verdaderas, entonces su conclusión también debe ser verdadera. Este no es el caso de los argumentos ampliativos , que llegan a información genuinamente nueva que no se encuentra en las premisas. Muchos argumentos en el discurso cotidiano y en las ciencias son argumentos ampliativos. Se dividen en argumentos inductivos y abductivos . Los argumentos inductivos son generalizaciones estadísticas, como inferir que todos los cuervos son negros basándose en muchas observaciones individuales de cuervos negros. ^{[ 2 ]} Los argumentos abductivos son inferencias a la mejor explicación, por ejemplo, cuando un médico concluye que un paciente tiene cierta enfermedad que explica los síntomas que sufre. ^{[ 3 ]} Los argumentos que no cumplen con los estándares del razonamiento correcto a menudo contienen falacias . Los sistemas de lógica son marcos teóricos para evaluar la corrección de los argumentos.

La lógica se ha estudiado desde la antigüedad . Entre los primeros enfoques se incluyen la lógica aristotélica , la lógica estoica , la Nyaya y el mohismo . La lógica aristotélica se centra en el razonamiento en forma de silogismos . Fue considerada el principal sistema lógico en el mundo occidental hasta que fue reemplazada por la lógica formal moderna, que tiene sus raíces en la obra de matemáticos de finales del siglo XIX como Gottlob Frege . Hoy en día, el sistema más utilizado es la lógica clásica . Consta de lógica proposicional y lógica de primer orden . La lógica proposicional solo considera las relaciones lógicas entre proposiciones completas. La lógica de primer orden también tiene en cuenta las partes internas de las proposiciones, como los predicados y los cuantificadores . Las lógicas extendidas aceptan las intuiciones básicas de la lógica clásica y las aplican a otros campos, como la metafísica , la ética y la epistemología , como marcos para razonar sobre lo que es posible o necesario , lo que es o debería ser , y lo que se cree o se conoce . Por otro lado, las lógicas desviadas rechazan ciertas intuiciones clásicas y ofrecen explicaciones alternativas de las leyes básicas de la lógica.

Definición

La palabra «lógica» proviene del término griego logos , que tiene diversas traducciones, como razón , discurso o lenguaje . ^{[ 4 ]} La lógica se define tradicionalmente como el estudio de las leyes del pensamiento o del razonamiento correcto , ^{[ 5 ]} y suele entenderse en términos de inferencias o argumentos . El razonamiento es la actividad de extraer inferencias. Los argumentos son la expresión externa de las inferencias. ^{[ 6 ]} Un argumento es un conjunto de premisas junto con una conclusión. La lógica se interesa en si los argumentos son correctos, es decir, si sus premisas respaldan la conclusión. ^{[ 7 ]} Estas caracterizaciones generales se aplican a la lógica en el sentido más amplio, es decir, tanto a la lógica formal como a la informal, ya que ambas se ocupan de evaluar la corrección de los argumentos. ^{[ 8 ]} La lógica formal es el campo tradicionalmente dominante, y algunos lógicos restringen la lógica a la lógica formal. ^{[ 9 ]}

lógica formal

La lógica formal (también conocida como lógica simbólica ) se utiliza ampliamente en la lógica matemática . Emplea un enfoque formal para estudiar el razonamiento: reemplaza las expresiones concretas con símbolos abstractos para examinar la forma lógica de los argumentos independientemente de su contenido concreto. En este sentido, es neutral en cuanto al tema, ya que solo se ocupa de la estructura abstracta de los argumentos y no de su contenido concreto. ^{[ 10 ]}

La lógica formal se interesa por los argumentos deductivamente válidos , para los cuales la verdad de sus premisas garantiza la verdad de su conclusión. Esto significa que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. ^{[ 11 ]} Para los argumentos válidos, la estructura lógica que conduce de las premisas a la conclusión sigue un patrón llamado regla de inferencia . ^{[ 12 ]} Por ejemplo, el modus ponens es una regla de inferencia según la cual todos los argumentos de la forma "(1) p , (2) si p entonces q , (3) por lo tanto q " son válidos, independientemente de lo que representen los términos p y q . ^[¹³^] En este sentido, la lógica formal puede definirse como la ciencia de las inferencias válidas. Una definición alternativa considera la lógica como el estudio de las verdades lógicas . ^[¹⁴^] Una proposición es lógicamente verdadera si su verdad depende únicamente del vocabulario lógico utilizado en ella. Esto significa que es verdadera en todos los mundos posibles y bajo todas las interpretaciones de sus términos no lógicos, como la afirmación "o está lloviendo, o no está lloviendo". ^[¹⁵^] Estas dos definiciones de lógica formal no son idénticas, pero están estrechamente relacionadas. Por ejemplo, si la inferencia de p a q es deductivamente válida, entonces la afirmación "si p entonces q " es una verdad lógica. ^[¹⁶^]

La lógica formal utiliza lenguajes formales para expresar, analizar y clarificar argumentos. ^{[ 17 ]} Estos lenguajes suelen tener un vocabulario muy limitado y reglas sintácticas exactas . Estas reglas especifican cómo se pueden combinar sus símbolos para construir oraciones, denominadas fórmulas bien formadas . ^{[ 18 ]} Esta simplicidad y exactitud de la lógica formal le permiten formular reglas de inferencia precisas. Estas reglas determinan si un argumento dado es válido. ^{[ 19 ]} Debido a la dependencia del lenguaje formal, los argumentos del lenguaje natural no pueden estudiarse directamente. En cambio, deben traducirse a lenguaje formal antes de poder evaluar su validez. ^{[ 20 ]}

El término «lógica» también puede usarse en un sentido ligeramente diferente como sustantivo contable. En este sentido, una lógica es un sistema formal lógico. Las distintas lógicas difieren entre sí en cuanto a las reglas de inferencia que aceptan como válidas y los lenguajes formales que utilizan para expresarlas. ^{[ 21 ]} A partir de finales del siglo XIX, se propusieron muchos sistemas formales nuevos. Existen desacuerdos sobre qué hace que un sistema formal sea una lógica. ^{[ 22 ]} Por ejemplo, se ha sugerido que solo los sistemas lógicamente completos , como la lógica de primer orden , califican como lógicas. Por tales razones, algunos teóricos niegan que las lógicas de orden superior sean lógicas en sentido estricto. ^{[ 23 ]}

Lógica informal

Entendida en un sentido amplio, la lógica abarca tanto la lógica formal como la informal. ^{[ 24 ]} La lógica informal utiliza criterios y estándares no formales para analizar y evaluar la corrección de los argumentos. Su enfoque principal está en el discurso cotidiano. ^{[ 25 ]} Su desarrollo fue impulsado por las dificultades para aplicar los conocimientos de la lógica formal a los argumentos del lenguaje natural. ^{[ 26 ]} En este sentido, considera problemas que la lógica formal por sí sola no puede abordar. ^{[ 27 ]} Ambas proporcionan criterios para evaluar la corrección de los argumentos y distinguirlos de las falacias. ^{[ 28 ]}

Se han sugerido muchas caracterizaciones de la lógica informal, pero no existe un acuerdo general sobre su definición precisa. ^{[ 29 ]} El enfoque más literal considera que los términos "formal" e "informal" se aplican al lenguaje utilizado para expresar argumentos. Desde esta perspectiva, la lógica informal estudia los argumentos que están en lenguaje informal o natural. ^{[ 30 ]} La lógica formal solo puede examinarlos indirectamente traduciéndolos primero a un lenguaje formal, mientras que la lógica informal los investiga en su forma original. ^{[ 31 ]} Desde esta perspectiva, el argumento "Los pájaros vuelan. Piolín es un pájaro. Por lo tanto, Piolín vuela." pertenece al lenguaje natural y es examinado por la lógica informal. Pero la traducción formal "(1) $\forall x.\mathrm {Pájaro} (x)\to \mathrm {Moscas} (x)$ ; (2) $\mathrm {Pájaro} (\mathrm {Piolín} )$ ; (3) $\mathrm {Moscas} (\mathrm {Piolín} )$ "se estudia mediante la lógica formal. ^{[ 32 ]} El estudio de los argumentos en lenguaje natural presenta diversas dificultades. Por ejemplo, las expresiones en lenguaje natural suelen ser ambiguas, vagas y dependientes del contexto. ^{[ 33 ]} Otro enfoque define la lógica informal en un sentido amplio como el estudio normativo de los estándares, criterios y procedimientos de la argumentación. En este sentido, incluye cuestiones sobre el papel de la racionalidad , el pensamiento crítico y la psicología de la argumentación. ^{[ 34 ]}

Otra caracterización identifica la lógica informal con el estudio de los argumentos no deductivos. De esta manera, contrasta con el razonamiento deductivo examinado por la lógica formal. ^{[ 35 ]} Los argumentos no deductivos hacen probable su conclusión, pero no garantizan que sea verdadera. Un ejemplo es el argumento inductivo que va desde la observación empírica de que "todos los cuervos que he visto hasta ahora son negros" hasta la conclusión "todos los cuervos son negros". ^{[ 36 ]}

Otro enfoque consiste en definir la lógica informal como el estudio de las falacias informales . ^{[ 37 ]} Las falacias informales son argumentos incorrectos que presentan errores tanto en el contenido como en el contexto . ^{[ 38 ]} Un falso dilema , por ejemplo, implica un error de contenido al excluir opciones viables. Este es el caso de la falacia «o estás con nosotros o estás contra nosotros; no estás con nosotros; por lo tanto, estás contra nosotros». ^{[ 39 ]} Algunos teóricos afirman que la lógica formal estudia la forma general de los argumentos, mientras que la lógica informal estudia casos particulares. Otro enfoque sostiene que la lógica formal solo considera el papel de las constantes lógicas para las inferencias correctas, mientras que la lógica informal también tiene en cuenta el significado de los conceptos sustantivos . Otros enfoques se centran en la discusión de temas lógicos con o sin dispositivos formales y en el papel de la epistemología para la evaluación de los argumentos. ^{[ 40 ]}

Conceptos básicos

Premisas, conclusiones y verdad

Premisas y conclusiones

Las premisas y las conclusiones son las partes básicas de las inferencias o argumentos y, por lo tanto, desempeñan un papel central en la lógica. En el caso de una inferencia válida o un argumento correcto, la conclusión se deriva de las premisas, o dicho de otro modo, las premisas respaldan la conclusión. ^{[ 41 ]} Por ejemplo, las premisas "Marte es rojo" y "Marte es un planeta" respaldan la conclusión "Marte es un planeta rojo". Para la mayoría de los tipos de lógica, se acepta que las premisas y las conclusiones deben ser portadoras de verdad . ^{[ 41 ]}^{[ a ]} Esto significa que tienen un valor de verdad : son verdaderas o falsas. La filosofía contemporánea generalmente las considera proposiciones o oraciones . ^{[ 43 ]} Las proposiciones son las denotaciones de las oraciones y generalmente se consideran objetos abstractos . ^{[ 44 ]} Por ejemplo, la oración en inglés "the tree is green" es diferente de la oración en alemán "der Baum ist grün", pero ambas expresan la misma proposición. ^{[ 45 ]}

Las teorías proposicionales de premisas y conclusiones suelen ser criticadas por basarse en objetos abstractos. Por ejemplo, los naturalistas filosóficos generalmente rechazan la existencia de objetos abstractos. Otros argumentos se refieren a las dificultades que implica especificar los criterios de identidad de las proposiciones. ^{[ 43 ]} Estas objeciones se evitan al considerar las premisas y conclusiones no como proposiciones, sino como oraciones, es decir, como objetos lingüísticos concretos, como los símbolos que aparecen en la página de un libro. Pero este enfoque presenta nuevos problemas: las oraciones suelen depender del contexto y ser ambiguas, lo que significa que la validez de un argumento no solo dependería de sus partes, sino también de su contexto y de cómo se interpreta. ^{[ 46 ]} Otro enfoque consiste en entender las premisas y conclusiones en términos psicológicos, como pensamientos o juicios. Esta postura se conoce como psicologismo . Se debatió ampliamente a principios del siglo XX, pero hoy en día no goza de gran aceptación. ^{[ 47 ]}

Estructura interna

Las premisas y las conclusiones tienen una estructura interna. Como proposiciones u oraciones, pueden ser simples o complejas. ^{[ 48 ]} Una proposición compleja tiene otras proposiciones como constituyentes, que están vinculadas entre sí mediante conectores proposicionales como "y" o "si...entonces". Las proposiciones simples, por otro lado, no tienen partes proposicionales. Pero también pueden concebirse como poseedoras de una estructura interna: están formadas por partes subproposicionales, como términos singulares y predicados . ^{[ 49 ]}^{[ 48 ]} Por ejemplo, la proposición simple "Marte es rojo" se puede formar aplicando el predicado "rojo" al término singular "Marte". En cambio, la proposición compleja "Marte es rojo y Venus es blanco" está formada por dos proposiciones simples conectadas por el conector proposicional "y". ^{[ 49 ]}

Que una proposición sea verdadera depende, al menos en parte, de sus constituyentes. Para proposiciones complejas formadas mediante conectores proposicionales veritativo-funcionales , su verdad solo depende de los valores de verdad de sus partes. ^{[ 49 ]}^{[ 50 ]} Pero esta relación es más compleja en el caso de proposiciones simples y sus partes subproposicionales. Estas partes subproposicionales tienen significados propios, como referirse a objetos o clases de objetos. ^{[ 51 ]} Que la proposición simple que forman sea verdadera depende de su relación con la realidad, es decir, de cómo son los objetos a los que se refieren. Este tema es estudiado por las teorías de la referencia . ^{[ 52 ]}

Verdad lógica

Algunas proposiciones complejas son verdaderas independientemente de los significados sustantivos de sus partes. ^{[ 53 ]} En lógica clásica, por ejemplo, la proposición compleja "o Marte es rojo o Marte no es rojo" es verdadera independientemente de si sus partes, como la proposición simple "Marte es rojo", son verdaderas o falsas. En tales casos, la verdad se denomina verdad lógica: una proposición es lógicamente verdadera si su verdad depende únicamente del vocabulario lógico utilizado en ella. ^{[ 54 ]} Esto significa que es verdadera bajo todas las interpretaciones de sus términos no lógicos. En algunas lógicas modales , esto significa que la proposición es verdadera en todos los mundos posibles. ^{[ 55 ]} Algunos teóricos definen la lógica como el estudio de las verdades lógicas. ^{[ 16 ]}

Tablas de verdad

Las tablas de verdad se pueden usar para mostrar cómo funcionan los conectores lógicos o cómo los valores de verdad de las proposiciones complejas dependen de sus partes. Tienen una columna para cada variable de entrada. Cada fila corresponde a una posible combinación de los valores de verdad que pueden tomar estas variables; para las tablas de verdad presentadas en la literatura inglesa, los símbolos "V" y "F" o "1" y "0" se usan comúnmente como abreviaturas para los valores de verdad "verdadero" y "falso". ^{[ 56 ]} Las primeras columnas presentan todas las posibles combinaciones de valores de verdad para las variables de entrada. Las entradas en las otras columnas presentan los valores de verdad de las expresiones correspondientes según lo determinado por los valores de entrada. Por ejemplo, la expresión " $p\land q$ " utiliza el conector lógico $\land$ ( y ). Podría usarse para expresar una oración como "ayer fue domingo y el clima estuvo bien". Solo es verdadero si ambas variables de entrada, $p$ ("ayer fue domingo") y $q$ ("el tiempo era bueno") son verdaderas. En todos los demás casos, la expresión en su conjunto es falsa. Otros conectores lógicos importantes son $\lnot$ ( no ), $\lor$ ( o ), $\to$ ( si...entonces ), y $\uparrow$ ( Impacto de Sheffer ). ^{[ 57 ]} Dada la proposición condicional $p\to q$ Se pueden formar tablas de verdad de su recíproco. $q\to p$ , su inversa ( $\lnot p\to \lnot q$ ) , y su contrapositiva ( $\lnot q\to \lnot p$ ) . También se pueden definir tablas de verdad para expresiones más complejas que utilizan varios conectores proposicionales. ^{[ 58 ]}

Argumentos e inferencias

La lógica se define comúnmente en términos de argumentos o inferencias como el estudio de su corrección. ^{[ 59 ]} Un argumento es un conjunto de premisas junto con una conclusión. ^{[ 60 ]} Una inferencia es el proceso de razonamiento a partir de estas premisas para llegar a la conclusión. ^{[ 43 ]} Sin embargo, estos términos se usan a menudo indistintamente en lógica. Los argumentos son correctos o incorrectos dependiendo de si sus premisas respaldan su conclusión. Las premisas y conclusiones, por otro lado, son verdaderas o falsas dependiendo de si concuerdan con la realidad. En lógica formal, un argumento sólido es aquel que es correcto y tiene solo premisas verdaderas. ^{[ 61 ]} A veces se distingue entre argumentos simples y complejos. Un argumento complejo se compone de una cadena de argumentos simples. Esto significa que la conclusión de un argumento actúa como premisa de argumentos posteriores. Para que un argumento complejo sea exitoso, cada eslabón de la cadena debe ser exitoso. ^{[ 43 ]}

Los argumentos e inferencias son correctos o incorrectos. Si son correctos, sus premisas respaldan su conclusión. En el caso incorrecto, este respaldo está ausente. Puede adoptar diferentes formas que corresponden a los distintos tipos de razonamiento . ^{[ 62 ]} La forma más sólida de respaldo corresponde al razonamiento deductivo . Pero incluso los argumentos que no son deductivamente válidos pueden ser buenos argumentos porque sus premisas ofrecen un respaldo no deductivo a sus conclusiones. Para estos casos, se utiliza el término razonamiento ampliativo o inductivo. ^[⁶³^] Los argumentos deductivos se asocian con la lógica formal, en contraste con la relación entre los argumentos ampliativos y la lógica informal. ^[⁶⁴^]

Deductivo

Un argumento deductivamente válido es aquel cuyas premisas garantizan la verdad de su conclusión. ^{[ 11 ]} Por ejemplo, el argumento "(1) todas las ranas son anfibios; (2) ningún gato es anfibio; (3) por lo tanto ningún gato es rana" es deductivamente válido. Para la validez deductiva, no importa si las premisas o la conclusión son realmente verdaderas. Así pues, el argumento "(1) todas las ranas son mamíferos; (2) ningún gato es mamífero; (3) por lo tanto ningún gato es rana" también es válido porque la conclusión se deriva necesariamente de las premisas. ^{[ 65 ]}

Según una influyente perspectiva de Alfred Tarski , los argumentos deductivos poseen tres características esenciales: (1) son formales, es decir, dependen únicamente de la forma de las premisas y la conclusión; (2) son a priori, es decir, no se requiere experiencia sensorial para determinar si se cumplen; (3) son modales, es decir, se sostienen por necesidad lógica para las proposiciones dadas, independientemente de cualquier otra circunstancia. ^{[ 66 ]}

Debido a la primera característica, el enfoque en la formalidad, la inferencia deductiva se identifica generalmente con las reglas de inferencia. ^{[ 67 ]} Las reglas de inferencia especifican la forma de las premisas y la conclusión: cómo deben estar estructuradas para que la inferencia sea válida. Los argumentos que no siguen ninguna regla de inferencia son deductivamente inválidos. ^{[ 68 ]} El modus ponens es una regla de inferencia prominente. Tiene la forma " p ; si p , entonces q ; por lo tanto q ". ^{[ 69 ]} Sabiendo que acaba de llover ( $p$ ) y que después de la lluvia las calles están mojadas ( $p\to q$ ), se puede utilizar el modus ponens para deducir que las calles están mojadas ( $q$ ). ^{[ 70 ]}

La tercera característica se puede expresar afirmando que las inferencias deductivamente válidas preservan la verdad: es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. ^{[ 71 ]} Debido a esta característica, a menudo se afirma que las inferencias deductivas no son informativas, ya que la conclusión no puede llegar a información nueva que no esté ya presente en las premisas. ^{[ 72 ]} Pero este punto no siempre se acepta, ya que significaría, por ejemplo, que la mayor parte de las matemáticas no son informativas. Otra caracterización distingue entre información superficial y profunda. La información superficial de una oración es la información que presenta explícitamente. La información profunda es la totalidad de la información contenida en la oración, tanto explícita como implícitamente. Según esta perspectiva, las inferencias deductivas no son informativas a nivel profundo. Pero pueden ser altamente informativas a nivel superficial al hacer explícita la información implícita. Esto sucede, por ejemplo, en las demostraciones matemáticas. ^{[ 73 ]}

Ampliativo

Los argumentos ampliativos son aquellos cuyas conclusiones contienen información adicional que no se encuentra en sus premisas. En este sentido, son más interesantes, ya que contienen información a un nivel más profundo y el pensador puede aprender algo genuinamente nuevo. Pero esta característica tiene un cierto costo: las premisas apoyan la conclusión en el sentido de que hacen que su verdad sea más probable, pero no la garantizan. ^{[ 74 ]} Esto significa que la conclusión de un argumento ampliativo puede ser falsa incluso si todas sus premisas son verdaderas. Esta característica está estrechamente relacionada con la no monotonicidad y la derrotabilidad : puede ser necesario retractarse de una conclusión anterior al recibir nueva información o a la luz de nuevas inferencias. ^{[ 75 ]} El razonamiento ampliativo juega un papel central en muchos argumentos que se encuentran en el discurso cotidiano y en las ciencias. Los argumentos ampliativos no son automáticamente incorrectos. En cambio, simplemente siguen diferentes estándares de corrección. El apoyo que brindan a su conclusión generalmente se presenta en grados. Esto significa que los argumentos ampliativos fuertes hacen que su conclusión sea muy probable, mientras que los débiles son menos seguros. En consecuencia, la línea entre argumentos correctos e incorrectos se difumina en algunos casos, como cuando las premisas ofrecen un apoyo débil pero no despreciable. Esto contrasta con los argumentos deductivos, que son válidos o inválidos, sin término medio. ^{[ 76 ]}

La terminología utilizada para categorizar los argumentos ampliativos es inconsistente. Algunos autores, como James Hawthorne, usan el término " inducción " para abarcar todas las formas de argumentos no deductivos. ^{[ 77 ]} Pero en un sentido más estricto, la inducción es solo un tipo de argumento ampliativo junto con los argumentos abductivos . ^{[ 78 ]} Algunos filósofos, como Leo Groarke , también admiten los argumentos conductivos ^{[ b ]} como otro tipo. ^{[ 79 ]} En este sentido estricto, la inducción se define a menudo como una forma de generalización estadística. ^{[ 80 ]} En este caso, las premisas de un argumento inductivo son muchas observaciones individuales que muestran un patrón determinado. La conclusión entonces es una ley general que este patrón siempre se cumple. ^{[ 81 ]} En este sentido, se puede inferir que "todos los elefantes son grises" basándose en observaciones previas del color de los elefantes. ^{[ 78 ]} Una forma de inferencia inductiva estrechamente relacionada tiene como conclusión no una ley general, sino un caso más específico, como cuando se infiere que un elefante que aún no se ha visto también es gris. ^{[ 81 ]} Algunos teóricos, como Igor Douven, estipulan que las inferencias inductivas se basan únicamente en consideraciones estadísticas. De esta manera, se pueden distinguir de la inferencia abductiva. ^{[ 78 ]}

La inferencia abductiva puede o no tener en cuenta las observaciones estadísticas. En cualquier caso, las premisas ofrecen apoyo a la conclusión porque esta es la mejor explicación de por qué las premisas son verdaderas. ^{[ 82 ]} En este sentido, la abducción también se denomina inferencia a la mejor explicación . ^{[ 83 ]} Por ejemplo, dada la premisa de que hay un plato con migas de pan en la cocina a primera hora de la mañana, se puede inferir la conclusión de que el compañero de piso comió algo a medianoche y estaba demasiado cansado para limpiar la mesa. Esta conclusión se justifica porque es la mejor explicación del estado actual de la cocina. ^{[ 78 ]} Para la abducción, no basta con que la conclusión explique las premisas. Por ejemplo, la conclusión de que un ladrón entró en la casa anoche, tuvo hambre en el trabajo y comió algo a medianoche también explicaría el estado de la cocina. Pero esta conclusión no se justifica porque no es la mejor ni la más probable explicación. ^{[ 82 ]}^{[ 83 ]}

Falacias

No todos los argumentos cumplen con los estándares del razonamiento correcto. Cuando no lo hacen, generalmente se les denomina falacias . Su aspecto central no es que su conclusión sea falsa, sino que existe algún defecto en el razonamiento que lleva a dicha conclusión. ^{[ 84 ]} Así, el argumento «hoy hace sol; por lo tanto, las arañas tienen ocho patas» es falaz, aunque la conclusión sea verdadera. Algunos teóricos, como John Stuart Mill , ofrecen una definición más restrictiva de falacias al exigir además que parezcan correctas. ^{[ 85 ]} De esta manera, las falacias genuinas pueden distinguirse de los meros errores de razonamiento debidos a la negligencia. Esto explica por qué las personas tienden a cometer falacias: porque poseen un elemento atractivo que las seduce y las lleva a aceptarlas. ^{[ 86 ]} Sin embargo, esta referencia a las apariencias es controvertida porque pertenece al campo de la psicología , no de la lógica, y porque las apariencias pueden ser diferentes para diferentes personas. ^{[ 87 ]}

Las falacias se dividen generalmente en falacias formales e informales. ^{[ 38 ]} En las falacias formales, la fuente del error se encuentra en la forma del argumento. Por ejemplo, negar el antecedente es un tipo de falacia formal, como en "si Otelo es soltero, entonces es varón; Otelo no es soltero; por lo tanto, Otelo no es varón". ^{[ 88 ]} Pero la mayoría de las falacias se clasifican como falacias informales, de las cuales se discute una gran variedad en la literatura académica. La fuente de su error generalmente se encuentra en el contenido o el contexto del argumento. ^{[ 89 ]} Las falacias informales a veces se clasifican como falacias de ambigüedad, falacias de presunción o falacias de relevancia. En las falacias de ambigüedad, la ambigüedad y la vaguedad del lenguaje natural son responsables de su error, como en "las plumas son claras; lo que es claro no puede ser oscuro; por lo tanto, las plumas no pueden ser oscuras". ^{[ 90 ]} Las falacias de presunción tienen una premisa errónea o injustificada, pero pueden ser válidas de otra manera. ^{[ 91 ]} En el caso de las falacias de relevancia, las premisas no apoyan la conclusión porque no son relevantes para ella. ^{[ 92 ]}

Reglas definitorias y estratégicas

El principal objetivo de la mayoría de los lógicos es estudiar los criterios según los cuales un argumento es correcto o incorrecto. Se comete una falacia si se violan estos criterios. En el caso de la lógica formal, se conocen como reglas de inferencia . ^{[ 93 ]} Son reglas definitorias, que determinan si una inferencia es correcta o qué inferencias están permitidas. Las reglas definitorias contrastan con las reglas estratégicas. Las reglas estratégicas especifican qué movimientos inferenciales son necesarios para llegar a una conclusión dada a partir de un conjunto de premisas. Esta distinción no solo se aplica a la lógica, sino también a los juegos. En ajedrez , por ejemplo, las reglas definitorias dictan que los alfiles solo pueden moverse en diagonal. Las reglas estratégicas, por otro lado, describen cómo se pueden usar los movimientos permitidos para ganar una partida, por ejemplo, controlando el centro y defendiendo el propio rey . ^{[ 94 ]} Se ha argumentado que los lógicos deberían dar mayor énfasis a las reglas estratégicas, ya que son muy relevantes para un razonamiento eficaz. ^{[ 93 ]}

Sistemas formales

Un sistema formal de lógica consta de un lenguaje formal junto con un conjunto de axiomas y un sistema de demostración utilizado para extraer inferencias de estos axiomas. ^{[ 95 ]} En lógica, los axiomas son enunciados que se aceptan sin demostración. Se utilizan para justificar otros enunciados. ^{[ 96 ]} Algunos teóricos también incluyen una semántica que especifica cómo se relacionan las expresiones del lenguaje formal con los objetos reales. ^{[ 97 ]} A partir de finales del siglo XIX, se propusieron muchos sistemas formales nuevos. ^{[ 98 ]}

Un lenguaje formal consta de un alfabeto y reglas sintácticas. El alfabeto es el conjunto de símbolos básicos utilizados en expresiones . Las reglas sintácticas determinan cómo se pueden organizar estos símbolos para dar como resultado fórmulas bien formadas. ^{[ 99 ]} Por ejemplo, las reglas sintácticas de la lógica proposicional determinan que " $P\land Q$ " es una fórmula bien formada pero " $\land Q$ " no es ya que la conjunción lógica $\land$ requiere condiciones por ambas partes. ^{[ 100 ]}

Un sistema de demostración es un conjunto de reglas para construir demostraciones formales. Es una herramienta para llegar a conclusiones a partir de un conjunto de axiomas. Las reglas en un sistema de demostración se definen en términos de la forma sintáctica de las fórmulas, independientemente de su contenido específico. Por ejemplo, la regla clásica de introducción de conjunciones establece que $P\land Q$ Se deduce de las premisas $P$ y $Q$ Estas reglas pueden aplicarse secuencialmente, proporcionando un procedimiento mecánico para generar conclusiones a partir de premisas. Existen diferentes tipos de sistemas de prueba, incluyendo la deducción natural y el cálculo de secuentes . ^{[ 101 ]}

Una semántica es un sistema para asignar expresiones de un lenguaje formal a sus denotaciones. En muchos sistemas lógicos, las denotaciones son valores de verdad. Por ejemplo, la semántica de la lógica proposicional clásica asigna la fórmula $P\land Q$ la denotación "verdadero" siempre que $P$ y $Q$ son verdaderas. Desde el punto de vista semántico, una premisa implica una conclusión si la conclusión es verdadera siempre que la premisa sea verdadera. ^{[ 102 ]}

Un sistema lógico es sólido cuando su sistema de prueba no puede derivar una conclusión de un conjunto de premisas a menos que esté semánticamente implicada por ellas. En otras palabras, su sistema de prueba no puede conducir a conclusiones falsas, según lo define la semántica. Un sistema es completo cuando su sistema de prueba puede derivar toda conclusión que esté semánticamente implicada por sus premisas. En otras palabras, su sistema de prueba puede conducir a cualquier conclusión verdadera, según lo define la semántica. Por lo tanto, la solidez y la completitud describen conjuntamente un sistema cuyas nociones de validez e implicación coinciden perfectamente. ^{[ 103 ]}

Sistemas de lógica

Los sistemas lógicos son marcos teóricos para evaluar la corrección del razonamiento y los argumentos. Durante más de dos mil años, la lógica aristotélica fue considerada el canon de la lógica en el mundo occidental, ^{[ 104 ]} pero los desarrollos modernos en este campo han dado lugar a una vasta proliferación de sistemas lógicos. ^{[ 105 ]} Una categorización destacada divide los sistemas lógicos formales modernos en lógica clásica , lógicas extendidas y lógicas desviadas . ^{[ 106 ]}

aristotélico

La lógica aristotélica abarca una gran variedad de temas. Estos incluyen tesis metafísicas sobre categorías ontológicas y problemas de explicación científica. Pero en un sentido más estricto, es idéntica a la lógica de términos o silogística. Un silogismo es una forma de argumento que involucra tres proposiciones: dos premisas y una conclusión. Cada proposición tiene tres partes esenciales: un sujeto , un predicado y una cópula que conecta el sujeto con el predicado. ^{[ 107 ]} Por ejemplo, la proposición "Sócrates es sabio" está compuesta por el sujeto "Sócrates", el predicado "sabio" y la cópula "es". ^{[ 108 ]} El sujeto y el predicado son los términos de la proposición. La lógica aristotélica no contiene proposiciones complejas compuestas por proposiciones simples. En este aspecto difiere de la lógica proposicional, en la que dos proposiciones cualesquiera pueden vincularse mediante un conector lógico como "y" para formar una nueva proposición compleja. ^{[ 109 ]}

En la lógica aristotélica, el sujeto puede ser universal , particular , indefinido o singular . Por ejemplo, el término «todos los humanos» es un sujeto universal en la proposición «todos los humanos son mortales». Una proposición similar podría formarse reemplazándolo por el término particular «algunos humanos», el término indefinido «un humano» o el término singular «Sócrates». ^{[ 110 ]}

La lógica aristotélica solo incluye predicados para propiedades simples de entidades. Pero carece de predicados que correspondan a relaciones entre entidades. ^{[ 111 ]} El predicado puede vincularse al sujeto de dos maneras: afirmándolo o negándolo. ^{[ 112 ]} Por ejemplo, la proposición "Sócrates no es un gato" implica la negación del predicado "gato" al sujeto "Sócrates". Usando combinaciones de sujetos y predicados, se puede formar una gran variedad de proposiciones y silogismos. Los silogismos se caracterizan porque las premisas están vinculadas entre sí y a la conclusión compartiendo un término en cada caso. ^{[ 113 ]} Así, estas tres proposiciones contienen tres términos, denominados término mayor , término menor y término medio . ^{[ 114 ]} El aspecto central de la lógica aristotélica consiste en clasificar todos los silogismos posibles en argumentos válidos e inválidos según cómo se formen las proposiciones. ^{[ 112 ]}^{[ 115 ]} Por ejemplo, el silogismo «todos los hombres son mortales; Sócrates es un hombre; por lo tanto, Sócrates es mortal» es válido. El silogismo «todos los gatos son mortales; Sócrates es mortal; por lo tanto, Sócrates es un gato», en cambio, es inválido. ^{[ 116 ]}

Clásico

La lógica clásica se distingue de la lógica tradicional o aristotélica. Comprende la lógica proposicional y la lógica de primer orden. Es «clásica» en el sentido de que se basa en intuiciones lógicas básicas compartidas por la mayoría de los lógicos. ^{[ 117 ]} Estas intuiciones incluyen la ley del tercero excluido , la eliminación de la doble negación , el principio de explosión y la bivalencia de la verdad. ^{[ 118 ]} Originalmente se desarrolló para analizar argumentos matemáticos y solo posteriormente se aplicó a otros campos. Debido a este enfoque en las matemáticas, no incluye vocabulario lógico relevante para muchos otros temas de importancia filosófica. Ejemplos de conceptos que omite son el contraste entre necesidad y posibilidad y el problema de la obligación ética y el permiso. De igual manera, no aborda las relaciones entre pasado, presente y futuro. ^{[ 119 ]} Estas cuestiones se abordan mediante lógicas extendidas. Estas se basan en las intuiciones básicas de la lógica clásica y la expanden introduciendo nuevo vocabulario lógico. De esta manera, el enfoque lógico exacto se aplica a campos como la ética o la epistemología, que se encuentran fuera del ámbito de las matemáticas. ^{[ 120 ]}

Lógica proposicional

La lógica proposicional comprende sistemas formales en los que las fórmulas se construyen a partir de proposiciones atómicas utilizando conectores lógicos . Por ejemplo, la lógica proposicional representa la conjunción de dos proposiciones atómicas. $P$ y $Q$ como la fórmula compleja $P\land Q$ A diferencia de la lógica de predicados, donde los términos y los predicados son las unidades más pequeñas, la lógica proposicional toma como componente más básico las proposiciones completas con valores de verdad. ^{[ 121 ]} Por lo tanto, las lógicas proposicionales solo pueden representar relaciones lógicas que surgen de la forma en que las proposiciones complejas se construyen a partir de otras más simples. Pero no pueden representar inferencias que resultan de la estructura interna de una proposición. ^{[ 122 ]}

Lógica de primer orden

{\displaystyle \forall xF(x)} — *El Begriffsschrift* de Gottlob Frege introdujo la noción de cuantificador en una notación gráfica, que aquí representa el juicio de que $\forall xF(x)$ Es cierto.

La lógica de primer orden incluye los mismos conectores proposicionales que la lógica proposicional, pero se diferencia de ella porque articula la estructura interna de las proposiciones. Esto ocurre a través de mecanismos como los términos singulares, que se refieren a objetos particulares, los predicados , que se refieren a propiedades y relaciones, y los cuantificadores, que tratan nociones como "algunos" y "todos". ^{[ 123 ]} Por ejemplo, para expresar la proposición "este cuervo es negro", se puede usar el predicado $B$ para la propiedad "negro" y el término singular $r$ haciendo referencia al cuervo para formar la expresión $B(r)$ Para expresar que algunos objetos son negros, el cuantificador existencial $\exists$ se combina con la variable $x$ para formular la proposición $\exists xB(x)$ La lógica de primer orden contiene varias reglas de inferencia que determinan cómo las expresiones articuladas de esta manera pueden formar argumentos válidos, por ejemplo, que uno puede inferir $\exists xB(x)$ de $B(r)$ . ^{[ 124 ]}

Extendido

Las lógicas extendidas son sistemas lógicos que aceptan los principios básicos de la lógica clásica. Introducen símbolos y principios adicionales para aplicarla a campos como la metafísica , la ética y la epistemología . ^{[ 125 ]}

Lógica modal

La lógica modal es una extensión de la lógica clásica. En su forma original, a veces llamada "lógica modal alethica", introduce dos nuevos símbolos: $\Diamond$ expresa que algo es posible mientras $\Box$ expresa que algo es necesario. ^{[ 126 ]} Por ejemplo, si la fórmula $B(s)$ representa la frase "Sócrates es banquero" y luego la fórmula $\Diamond B(s)$ articula la frase "Es posible que Sócrates sea banquero". ^{[ 127 ]} Para incluir estos símbolos en el formalismo lógico, la lógica modal introduce nuevas reglas de inferencia que rigen el papel que desempeñan en las inferencias. Una regla de inferencia establece que, si algo es necesario, entonces también es posible. Esto significa que $\Diamond A$ sigue de $\Box A$ Otro principio establece que si una proposición es necesaria, entonces su negación es imposible y viceversa. Esto significa que $\Box A$ es equivalente a $\lnot \Diamond \lnot A$ . ^{[ 128 ]}

Otras formas de lógica modal introducen símbolos similares, pero les asocian significados diferentes para aplicarla a otros campos. Por ejemplo, la lógica deóntica se refiere al campo de la ética e introduce símbolos para expresar las ideas de obligación y permiso , es decir, para describir si un agente tiene que realizar una determinada acción o si se le permite realizarla. ^{[ 129 ]} Los operadores modales en la lógica modal temporal articulan relaciones temporales. Se pueden usar para expresar, por ejemplo, que algo sucedió en un momento dado o que algo sucede continuamente. ^{[ 129 ]} En epistemología, la lógica modal epistémica se usa para representar las ideas de saber algo en contraste con simplemente creer que es así. ^{[ 130 ]}

Lógica de orden superior

Las lógicas de orden superior extienden la lógica clásica no mediante el uso de operadores modales, sino mediante la introducción de nuevas formas de cuantificación. ^{[ 131 ]} Los cuantificadores corresponden a términos como "todos" o "algunos". En la lógica clásica de primer orden, los cuantificadores solo se aplican a individuos. La fórmula " $\exists x(Apple(x)\land Sweet(x))$ " ( algunas manzanas son dulces) es un ejemplo del cuantificador existencial " $\exists$ " aplicado a la variable individual " $x$ " . En lógicas de orden superior, también se permite la cuantificación sobre predicados. Esto aumenta su poder expresivo. Por ejemplo, para expresar la idea de que María y Juan comparten algunas cualidades, se podría usar la fórmula " $\exists Q(Q(María)\land Q(Juan))$ " En este caso, el cuantificador existencial se aplica a la variable predicativa ." $Q$ " . ^{[ 132 ]} El poder expresivo adicional es especialmente útil para las matemáticas, ya que permite formulaciones más concisas de las teorías matemáticas. ^{[ 43 ]} Pero tiene inconvenientes con respecto a sus propiedades metalógicas e implicaciones ontológicas, razón por la cual la lógica de primer orden todavía se usa con más frecuencia. ^{[ 133 ]}

Desviado

Las lógicas desviadas son sistemas lógicos que rechazan algunas de las intuiciones básicas de la lógica clásica. Por ello, suelen considerarse no como complementos, sino como rivales. Los sistemas lógicos desviados difieren entre sí bien porque rechazan distintas intuiciones clásicas o bien porque proponen alternativas diferentes para un mismo problema. ^{[ 134 ]}

La lógica intuicionista es una versión restringida de la lógica clásica. ^{[ 135 ]} Utiliza los mismos símbolos pero excluye algunas reglas de inferencia. Por ejemplo, según la ley de eliminación de la doble negación, si una oración no es falsa, entonces es verdadera. Esto significa que $A$ sigue de $\lnot \lnot A$ Esta es una regla de inferencia válida en la lógica clásica, pero no es válida en la lógica intuicionista. Otro principio clásico que no forma parte de la lógica intuicionista es la ley del tercero excluido . Establece que para cada enunciado, o bien es verdadero o bien su negación. Esto significa que toda proposición de la forma $A\lor \lnot A$ es cierto. ^{[ 135 ]} Estas desviaciones de la lógica clásica se basan en la idea de que la verdad se establece mediante la verificación utilizando una prueba. La lógica intuicionista es especialmente prominente en el campo de las matemáticas constructivas , que enfatiza la necesidad de encontrar o construir un ejemplo específico para probar su existencia. ^{[ 136 ]}

Las lógicas multivaluadas se apartan de la clasicismo al rechazar el principio de bivalencia , que exige que todas las proposiciones sean verdaderas o falsas. Por ejemplo, Jan Łukasiewicz y Stephen Cole Kleene propusieron lógicas ternarias que poseen un tercer valor de verdad que indica que el valor de verdad de una proposición es indeterminado. ^{[ 137 ]} Estas lógicas se han aplicado en el campo de la lingüística. Las lógicas difusas son lógicas multivaluadas que poseen un número infinito de "grados de verdad", representados por un número real entre 0 y 1. ^{[ 138 ]}

Las lógicas paraconsistentes son sistemas lógicos capaces de manejar contradicciones. Se formulan para evitar el principio de explosión: para ellas, no se deriva nada de una contradicción. ^{[ 139 ]} A menudo se basan en el dialeteísmo , la postura que sostiene que las contradicciones son reales o que la realidad misma es contradictoria. Graham Priest es un influyente defensor contemporáneo de esta posición, y se han atribuido ideas similares a Georg Wilhelm Friedrich Hegel . ^{[ 140 ]}

Informal

La lógica informal se suele aplicar de forma menos sistemática. A menudo se centra en cuestiones más específicas, como investigar un tipo particular de falacia o estudiar un aspecto concreto de la argumentación. No obstante, también se han presentado algunos marcos de lógica informal que intentan proporcionar una caracterización sistemática de la corrección de los argumentos. ^{[ 141 ]}

El enfoque pragmático o dialógico de la lógica informal considera los argumentos como actos de habla y no simplemente como un conjunto de premisas junto con una conclusión. ^[¹⁴²^] Como actos de habla, ocurren en un contexto determinado, como un diálogo , que afecta los estándares de los argumentos correctos e incorrectos. ^[¹⁴³^] Una versión destacada de Douglas N. Walton entiende un diálogo como un juego entre dos jugadores. La posición inicial de cada jugador se caracteriza por las proposiciones a las que se compromete y la conclusión que pretende demostrar. Los diálogos son juegos de persuasión: cada jugador tiene el objetivo de convencer al oponente de su propia conclusión. ^[¹⁴⁴^] Esto se logra mediante la argumentación: los argumentos son los movimientos del juego. ^[¹⁴⁵^] Afectan a las proposiciones a las que se comprometen los jugadores. Un movimiento ganador es un argumento exitoso que toma los compromisos del oponente como premisas y muestra cómo la propia conclusión se deriva de ellos. Esto generalmente no es posible de inmediato. Por esta razón, normalmente es necesario formular una secuencia de argumentos como pasos intermedios, cada uno de los cuales acerca al oponente un poco más a la conclusión que se pretende alcanzar. Además de estos argumentos positivos que conducen a la victoria, también existen argumentos negativos que impiden la victoria del oponente al negar su conclusión. ^[¹⁴⁴^] La corrección de un argumento depende de si promueve el progreso del diálogo. Las falacias, por otro lado, son violaciones de las normas de las reglas argumentativas adecuadas. ^[¹⁴⁶^] Estas normas también dependen del tipo de diálogo. Por ejemplo, las normas que rigen el discurso científico difieren de las normas en las negociaciones comerciales. ^[¹⁴⁷^]

Por otro lado, el enfoque epistémico de la lógica informal se centra en el papel epistémico de los argumentos. ^{[ 148 ]} Se basa en la idea de que los argumentos buscan aumentar nuestro conocimiento. Lo logran al vincular creencias justificadas con creencias que aún no están justificadas. ^{[ 149 ]} Los argumentos correctos tienen éxito en expandir el conocimiento, mientras que las falacias son fallas epistémicas: no justifican la creencia en su conclusión. ^{[ 150 ]} Por ejemplo, la falacia de petición de principio es una falacia porque no proporciona una justificación independiente para su conclusión, aunque sea deductivamente válida. ^{[ 151 ]} En este sentido, la normatividad lógica consiste en el éxito epistémico o racionalidad. ^{[ 149 ]} El enfoque bayesiano es un ejemplo de un enfoque epistémico. ^{[ 152 ]} Central para el bayesianismo no es solo si el agente cree algo, sino el grado en que lo cree, la llamada credencia . Los grados de creencia se consideran probabilidades subjetivas en la proposición creída, es decir, cuán seguro está el agente de que la proposición es verdadera. ^{[ 153 ]} Desde esta perspectiva, el razonamiento puede interpretarse como un proceso de cambio de creencias, a menudo en reacción a nueva información. ^{[ 154 ]} El razonamiento correcto y los argumentos en los que se basa siguen las leyes de la probabilidad, por ejemplo, el principio de condicionalización . El razonamiento erróneo o irracional, por otro lado, viola estas leyes. ^{[ 155 ]}

Áreas de investigación

La lógica se estudia en diversos campos. En muchos casos, esto se hace aplicando su método formal a temas específicos fuera de su ámbito, como la ética o la informática. ^{[ 156 ]} En otros casos, la lógica misma se convierte en objeto de investigación en otra disciplina. Esto puede ocurrir de diversas maneras. Por ejemplo, puede implicar la investigación de los supuestos filosóficos vinculados a los conceptos básicos utilizados por los lógicos. Otras formas incluyen la interpretación y el análisis de la lógica a través de estructuras matemáticas, así como el estudio y la comparación de propiedades abstractas de sistemas lógicos formales. ^{[ 157 ]}

Filosofía de la lógica y lógica filosófica

La filosofía de la lógica es la disciplina filosófica que estudia el alcance y la naturaleza de la lógica. ^{[ 59 ]} Examina muchos presupuestos implícitos en la lógica, como la definición de sus conceptos básicos o las suposiciones metafísicas asociadas a ellos. ^{[ 158 ]} También se ocupa de cómo clasificar los sistemas lógicos y considera los compromisos ontológicos que conllevan. ^{[ 159 ]} La lógica filosófica es una de las áreas dentro de la filosofía de la lógica. Estudia la aplicación de métodos lógicos a problemas filosóficos en campos como la metafísica, la ética y la epistemología. ^{[ 160 ]} Esta aplicación suele darse en forma de sistemas lógicos extendidos o desviados . ^[¹⁶¹^]

Metalogic

La metalógica es el campo de investigación que estudia las propiedades de los sistemas lógicos formales. Por ejemplo, cuando se desarrolla un nuevo sistema formal, los metalógicos pueden estudiarlo para determinar qué fórmulas pueden demostrarse en él. También pueden estudiar si se podría desarrollar un algoritmo para encontrar una demostración para cada fórmula y si toda fórmula demostrable en él es una tautología. Finalmente, pueden compararlo con otros sistemas lógicos para comprender sus características distintivas. Un aspecto clave en la metalógica se refiere a la relación entre sintaxis y semántica. Las reglas sintácticas de un sistema formal determinan cómo deducir conclusiones a partir de premisas, es decir, cómo formular demostraciones. La semántica de un sistema formal rige qué oraciones son verdaderas y cuáles son falsas. Esto determina la validez de los argumentos, ya que, para que los argumentos sean válidos, es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. La relación entre sintaxis y semántica se refiere a cuestiones como si todo argumento válido es demostrable y si todo argumento demostrable es válido. Los metalógicos también estudian si los sistemas lógicos son completos, sólidos y consistentes . Les interesa saber si los sistemas son decidibles y qué poder expresivo poseen. Los metalógicos suelen recurrir en gran medida al razonamiento matemático abstracto al examinar y formular pruebas metalógicas. De este modo, buscan llegar a conclusiones precisas y generales sobre estos temas. ^{[ 162 ]}

Lógica matemática

Fotografía de Bertrand Russell — Bertrand Russell realizó varias contribuciones a la lógica matemática. ^{[ 163 ]}

El término «lógica matemática» se usa a veces como sinónimo de «lógica formal». Pero en un sentido más restringido, se refiere al estudio de la lógica dentro de las matemáticas. Las principales subáreas incluyen la teoría de modelos , la teoría de la demostración , la teoría de conjuntos y la teoría de la computabilidad . ^{[ 164 ]} La investigación en lógica matemática suele abordar las propiedades matemáticas de los sistemas formales de lógica. Sin embargo, también puede incluir intentos de usar la lógica para analizar el razonamiento matemático o para establecer fundamentos de las matemáticas basados en la lógica . ^{[ 165 ]} Esto último fue una preocupación importante en la lógica matemática de principios del siglo XX, que siguió el programa del logicismo iniciado por filósofos-lógicos como Gottlob Frege, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell . Se suponía que las teorías matemáticas eran tautologías lógicas , y su programa era demostrarlo mediante una reducción de las matemáticas a la lógica. Muchos intentos de realizar este programa fracasaron, desde el fracaso del proyecto de Frege en sus Grundgesetze debido a la paradoja de Russell , hasta la derrota del programa de Hilbert por los teoremas de incompletitud de Gödel . ^{[ 166 ]}

La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor , y ha sido la fuente de muchos de los problemas más desafiantes e importantes de la lógica matemática. Entre ellos se incluyen el teorema de Cantor , el estatus del axioma de elección , la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuo y el debate moderno sobre los axiomas cardinales grandes . ^{[ 167 ]}

La teoría de la computabilidad es la rama de la lógica matemática que estudia los procedimientos eficaces para resolver problemas de cálculo. Uno de sus principales objetivos es comprender si es posible resolver un problema dado mediante un algoritmo. Por ejemplo, dada una afirmación sobre los enteros positivos, examina si se puede encontrar un algoritmo para determinar si dicha afirmación es verdadera. La teoría de la computabilidad utiliza diversas herramientas y modelos teóricos, como las máquinas de Turing , para explorar este tipo de cuestiones. ^{[ 168 ]}

Lógica computacional

Diagrama de una puerta lógica AND que utiliza transistores. — La conjunción (AND) es una de las operaciones básicas de la lógica booleana. Se puede implementar electrónicamente de varias maneras, por ejemplo, utilizando dos transistores .

La lógica computacional es la rama de la lógica y la informática que estudia cómo implementar el razonamiento matemático y los formalismos lógicos mediante ordenadores. Esto incluye, por ejemplo, los demostradores automáticos de teoremas , que emplean reglas de inferencia para construir una prueba paso a paso desde un conjunto de premisas hasta la conclusión deseada sin intervención humana. ^{[ 169 ]} Los lenguajes de programación lógica están diseñados específicamente para expresar hechos mediante fórmulas lógicas y para extraer inferencias de estos hechos. Por ejemplo, Prolog es un lenguaje de programación lógica basado en la lógica de predicados. ^{[ 170 ]} Los informáticos también aplican conceptos de la lógica a problemas de computación. Los trabajos de Claude Shannon fueron influyentes en este sentido. Demostró cómo se puede utilizar la lógica booleana para comprender e implementar circuitos informáticos. ^{[ 171 ]} Esto se puede lograr utilizando puertas lógicas electrónicas , es decir, circuitos electrónicos con una o más entradas y, por lo general, una salida. Los valores de verdad de las proposiciones se representan mediante niveles de voltaje. De esta forma, se pueden simular funciones lógicas aplicando los voltajes correspondientes a las entradas del circuito y determinando el valor de la función midiendo el voltaje de la salida. ^{[ 172 ]}

Semántica formal del lenguaje natural

La semántica formal es un subcampo de la lógica, la lingüística y la filosofía del lenguaje . Esta disciplina estudia el significado del lenguaje. La semántica formal utiliza herramientas formales de la lógica simbólica y las matemáticas para formular teorías precisas sobre el significado de las expresiones del lenguaje natural . Generalmente, comprende el significado en relación con las condiciones de verdad , es decir, examina en qué situaciones una oración sería verdadera o falsa. Uno de sus supuestos metodológicos centrales es el principio de composicionalidad . Este principio establece que el significado de una expresión compleja está determinado por los significados de sus partes y cómo se combinan. Por ejemplo, el significado de la frase verbal "caminar y cantar" depende de los significados de las expresiones individuales "caminar" y "cantar". Muchas teorías de la semántica formal se basan en la teoría de modelos. Esto significa que emplean la teoría de conjuntos para construir un modelo y luego interpretar los significados de las expresiones en relación con los elementos de este modelo. Por ejemplo, el término "caminar" puede interpretarse como el conjunto de todos los individuos del modelo que comparten la propiedad de caminar. Los primeros teóricos influyentes en este campo fueron Richard Montague y Barbara Partee , quienes centraron su análisis en la lengua inglesa. ^{[ 173 ]}

Epistemología de la lógica

La epistemología de la lógica estudia cómo se sabe que un argumento es válido o que una proposición es lógicamente verdadera. ^{[ 174 ]} Esto incluye cuestiones como cómo justificar que el modus ponens es una regla de inferencia válida o que las contradicciones son falsas. ^{[ 175 ]} La visión tradicionalmente dominante es que esta forma de comprensión lógica pertenece al conocimiento a priori . ^{[ 176 ]} En este sentido, a menudo se argumenta que la mente tiene una facultad especial para examinar las relaciones entre ideas puras y que esta facultad también es responsable de aprehender las verdades lógicas. ^{[ 177 ]} Un enfoque similar entiende las reglas de la lógica en términos de convenciones lingüísticas . Desde esta perspectiva, las leyes de la lógica son triviales, ya que son verdaderas por definición: simplemente expresan los significados del vocabulario lógico. ^{[ 178 ]}

Algunos teóricos, como Hilary Putnam y Penelope Maddy , se oponen a la idea de que la lógica sea cognoscible a priori. Sostienen, en cambio, que las verdades lógicas dependen del mundo empírico . Esto suele combinarse con la afirmación de que las leyes de la lógica expresan regularidades universales que se encuentran en las características estructurales del mundo. Según esta visión, pueden explorarse estudiando patrones generales de las ciencias fundamentales . Por ejemplo, se ha argumentado que ciertas ideas de la mecánica cuántica refutan el principio de distributividad en la lógica clásica, que establece que la fórmula $A\land (B\lor C)$ es equivalente a $(A\land B)\lor (A\land C)$ Esta afirmación puede utilizarse como argumento empírico para la tesis de que la lógica cuántica es el sistema lógico correcto y debería reemplazar a la lógica clásica. ^{[ 179 ]}

Historia

Fila superior: Aristóteles , quien estableció el canon de la filosofía occidental; ^{[ 108 ]} y Avicena , quien reemplazó la lógica aristotélica en el discurso islámico . ^{[ 180 ]} Fila inferior: Guillermo de Ockham , una figura importante del pensamiento académico medieval; ^{[ 181 ]} y Gottlob Frege , uno de los fundadores de la lógica simbólica moderna. ^{[ 182 ]}

La lógica se desarrolló de forma independiente en varias culturas durante la Antigüedad. Uno de los primeros y más importantes contribuyentes fue Aristóteles , quien desarrolló la lógica de términos en su Organon y Primeros Analíticos . ^{[ 183 ]} Fue responsable de la introducción del silogismo hipotético ^{[ 184 ]} y la lógica modal temporal. ^{[ 185 ]} Otras innovaciones incluyen la lógica inductiva ^{[ 186 ]} , así como el análisis de nuevos conceptos lógicos como términos , predicables , silogismos y proposiciones. La lógica aristotélica fue muy valorada en la época clásica y medieval, tanto en Europa como en Oriente Medio. Siguió utilizándose ampliamente en Occidente hasta principios del siglo XIX. ^{[ 187 ]} Actualmente ha sido superada por trabajos posteriores, aunque muchas de sus ideas clave aún están presentes en los sistemas lógicos modernos. ^{[ 188 ]}

Ibn Sina (Avicena) fue el fundador de la lógica aviceniana, que reemplazó a la lógica aristotélica como el sistema lógico dominante en el mundo islámico . ^{[ 189 ]} Influyó en escritores medievales occidentales como Alberto Magno y Guillermo de Ockham . ^{[ 190 ]} Ibn Sina escribió sobre el silogismo hipotético ^{[ 191 ]} y sobre el cálculo proposicional . ^{[ 192 ]} Desarrolló una teoría silogística original "temporalmente modalizada", que involucra lógica temporal y lógica modal. ^{[ 193 ]} También utilizó la lógica inductiva, como sus métodos de concordancia, diferencia y variación concomitante, que son fundamentales para el método científico . ^{[ 191 ]} Fakhr al-Din al-Razi fue otro lógico musulmán influyente. Criticó la silogística aristotélica y formuló un sistema temprano de lógica inductiva, que anticipó el sistema de lógica inductiva desarrollado por John Stuart Mill. ^{[ 194 ]}

Durante la Edad Media , se realizaron numerosas traducciones e interpretaciones de la lógica aristotélica. Las obras de Boecio fueron particularmente influyentes. Además de traducir la obra de Aristóteles al latín, también elaboró manuales de lógica. ^{[ 195 ]} Posteriormente, se recurrió a las obras de filósofos islámicos como Ibn Sina e Ibn Rushd (Averroes). Esto amplió el abanico de obras antiguas disponibles para los eruditos cristianos medievales, ya que los eruditos musulmanes tenían acceso a más obras griegas conservadas en comentarios latinos. En 1323, se publicó la influyente Summa Logicae de Guillermo de Ockham . Se trata de un tratado exhaustivo sobre lógica que aborda muchos conceptos básicos de la misma y proporciona una exposición sistemática de los tipos de proposiciones y sus condiciones de verdad. ^{[ 196 ]}

En la filosofía china, la Escuela de los Nombres y el Mohismo fueron particularmente influyentes. La Escuela de los Nombres se centró en el uso del lenguaje y en las paradojas. Por ejemplo, Gongsun Long propuso la paradoja del caballo blanco , que defiende la tesis de que un caballo blanco no es un caballo. La escuela del Mohismo también reconoció la importancia del lenguaje para la lógica e intentó relacionar las ideas de estos campos con el ámbito de la ética. ^{[ 197 ]}

En la India, el estudio de la lógica fue abordado principalmente por las escuelas de Nyaya , el budismo y el jainismo . No se la consideraba una disciplina académica independiente y las discusiones sobre sus temas solían tener lugar en el contexto de la epistemología y las teorías del diálogo o la argumentación. ^{[ 198 ]} En Nyaya, la inferencia se entiende como una fuente de conocimiento ( pramāṇa ). Sigue la percepción de un objeto e intenta llegar a conclusiones, por ejemplo, sobre la causa de este objeto. ^{[ 199 ]} Un énfasis similar en la relación con la epistemología también se encuentra en las escuelas de lógica budista y jainista, donde la inferencia se utiliza para ampliar el conocimiento obtenido a través de otras fuentes. ^{[ 200 ]} Algunas de las teorías posteriores de Nyaya, pertenecientes a la escuela Navya-Nyāya , se asemejan a formas modernas de lógica, como la distinción de Gottlob Frege entre sentido y referencia y su definición de número. ^{[ 201 ]}

La lógica silogística desarrollada por Aristóteles predominó en Occidente hasta mediados del siglo XIX, cuando el interés por los fundamentos de las matemáticas impulsó el desarrollo de la lógica simbólica moderna. ^{[ 202 ]} Muchos consideran la Begriffsschrift de Gottlob Frege como la cuna de la lógica moderna. La idea de Gottfried Wilhelm Leibniz de un lenguaje formal universal se considera a menudo un precursor. Otros pioneros fueron George Boole , quien inventó el álgebra booleana como un sistema matemático de lógica, y Charles Peirce , quien desarrolló la lógica de los relativos . Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, a su vez, condensaron muchas de estas ideas en su obra Principia Mathematica . La lógica moderna introdujo conceptos novedosos, como funciones , cuantificadores y predicados relacionales. Un rasgo distintivo de la lógica simbólica moderna es su uso del lenguaje formal para codificar con precisión sus ideas. En este sentido, se diferencia de los lógicos anteriores, que se basaban principalmente en el lenguaje natural. ^{[ 203 ]} De particular influencia fue el desarrollo de la lógica de primer orden, que generalmente se considera el sistema estándar de la lógica moderna. ^{[ 204 ]} Su generalidad analítica permitió la formalización de las matemáticas e impulsó la investigación de la teoría de conjuntos . También hizo posible el enfoque de Alfred Tarski a la teoría de modelos y proporcionó los fundamentos de la lógica matemática moderna. ^{[ 205 ]}

Véase también

Glosario de lógica
Esquema de lógica : descripción general y guía temática de la lógica.
Lista de revistas de lógica
Lista de símbolos lógicos : lista de símbolos utilizados para expresar relaciones lógicas.
Lista de lógicos
Rompecabezas lógico : Rompecabezas derivado del campo matemático de la deducción.
Logos – Concepto en filosofía, religión, retórica y psicología
lógica vectorial

Referencias

Notas

↑ Sin embargo, existen algunas formas de lógica, como la lógica imperativa , donde esto puede no ser así.^{[ 42 ]}
↑ Los argumentos conductivos presentan razones a favor de una conclusión sin afirmar que dichas razones sean lo suficientemente fuertes como para respaldar decisivamente la conclusión.

Citas

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Enlaces externos

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