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resonador de bucle

Un resonador cilíndrico de bucle y espacio de longitud ℓ {\displaystyle \ell } . Un resonador de bucle ( LGR ) es un resonador electromagnético que opera en los rangos de radiof...

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Un resonador cilíndrico de bucle y espacio de longitudℓ{\displaystyle \ell }.

Un resonador de bucle ( LGR ) es un resonador electromagnético que opera en los rangos de radiofrecuencia y microondas . Los LGR más simples están hechos de un tubo conductor con una ranura estrecha cortada a lo largo de su longitud. [ 1 ] [ 2 ] Las dimensiones de los LGR suelen ser mucho menores que la longitud de onda en el espacio libre de los campos electromagnéticos a la frecuencia de resonancia. Por lo tanto, se pueden diseñar LGR relativamente compactos para operar a frecuencias demasiado bajas para ser alcanzadas utilizando, por ejemplo, resonadores de cavidad . Estas estructuras pueden tener resonancias muy nítidas (altos factores de calidad ), lo que las hace útiles para experimentos de resonancia de espín electrónico (ESR), [ 3 ] [ 4 ] y mediciones de precisión de propiedades electromagnéticas de materiales ( permitividad y permeabilidad ). [ 5 ]

Fondo

Los resonadores de bucle-espacio (LGR) se pueden modelar como circuitos de elementos concentrados . La ranura a lo largo de la longitud del resonador tiene una capacitancia efectiva.do{\displaystyle C}y el orificio del resonador tiene inductancia efectivaL{\displaystyle L}En la frecuencia de resonancia, o cerca de ella, se establece una corriente circunferencial a lo largo de la pared interior del resonador. La resistencia efectivaR{\displaystyle R}que limita esta corriente está determinado, en parte, por la resistividadρ{\displaystyle \rho }y profundidad de penetración electromagnéticaδ{\displaystyle \delta }del conductor utilizado para fabricar el LGR. [ 1 ] Por lo tanto, es posible modelar el LGR como unLRdo{\displaystyle LRC}circuito . Dado que la corriente LGR es máxima en la frecuencia de resonancia, el modelo de circuito equivalente es una serieLRdo{\displaystyle LRC}circuito. Este modelo de circuito funciona bien siempre que las dimensiones del resonador permanezcan pequeñas en comparación con la longitud de onda en el espacio libre de los campos electromagnéticos. [ 6 ]

Una ventaja del LGR es que produce regiones de campos eléctricos y magnéticos uniformes que están aislados entre sí. Existe un campo eléctrico uniforme dentro de la ranura del LGR y un campo magnético uniforme dentro del orificio del resonador. El campo magnético uniforme hace que el LGR sea una buena fuente de campos magnéticos de microondas en experimentos de ESR. Además, debido a que los campos eléctrico y magnético están aislados entre sí, se puede utilizar el LGR para sondear de forma independiente las propiedades eléctricas y magnéticas de los materiales. Por ejemplo, si el espacio del LGR se llena con un material dieléctrico , la capacitancia efectiva del LGR se modificará, lo que cambiará la frecuencia.F0{\displaystyle f_{0}}y factor de calidadQ{\displaystyle Q}de la resonancia. Mediciones de los cambios enF0{\displaystyle f_{0}}yQ{\displaystyle Q}puede utilizarse para determinar completamente la permitividad compleja del material dieléctrico. Del mismo modo, si el orificio del LGR se llena con un material magnético, la inductancia efectiva del LGR se modificará y los cambios resultantes enF0{\displaystyle f_{0}}yQ{\displaystyle Q}puede utilizarse para extraer la permeabilidad compleja del material magnético. [ 5 ] [ 7 ]

Frecuencia de resonancia y factor de calidad

Vista en sección transversal de un resonador cilíndrico de bucle con las dimensiones críticas indicadas.

Frecuencia de resonancia

La capacitancia del espacio del LGR viene dada por

do=ε0wℓt,{\displaystyle C=\varepsilon _{0}{\frac {w\,\ell }{t}}\,,}

dóndeε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}es la permitividad del espacio libre ,w{\displaystyle w}es el espesor de la pared del pozo,t{\displaystyle t}es el ancho del espacio, yℓ{\displaystyle \ell }es la longitud del resonador. El orificio del resonador actúa como un solenoide de una sola vuelta con una inductancia dada por

L=μ0πr02ℓ,{\displaystyle L=\mu _{0}{\frac {\pi \,r_{0}^{2}}{\ell }}\,,}

dóndeμ0{\displaystyle \mu _{0}}es la permeabilidad del espacio libre yr0{\displaystyle r_{0}}es el radio interior del orificio LGR. Para un alto-Q{\displaystyle Q}resonador, la frecuencia de resonancia viene dada, aproximadamente, por

F0≈12π1Ldo=do2πr0tπw,{\displaystyle f_{0}\approx {\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {LC}}}={\frac {c}{2\pi r_{0}}}{\sqrt {\frac {t}{\pi w}}}\,,}

dóndedo=1/ε0μ0{\displaystyle c=1/{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}es la velocidad de la luz en el vacío . Por lo tanto, la frecuencia de resonancia del LGR se determina a partir de su geometría y es, en primera aproximación, independiente de su longitud.

factor de calidad

Para una serie altamente subamortiguadaLRdo{\displaystyle LRC}circuito, el factor de calidad, que determina la nitidez de la resonancia, viene dado por

Q≈1RLdo.{\displaystyle Q\approx {\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.}

La resistencia efectiva de un LGR se puede estimar considerando la longitud del conductor a través del cual viaja la corriente y el área de sección transversal disponible para él. La longitud relevante del conductor es la circunferencia.2πr0{\displaystyle 2\pi r_{0}}de la superficie interior del conductor. La profundidad a la que penetra la corriente en la superficie interior del orificio LGR está determinada por la profundidad de penetración electromagnética.δ{\displaystyle \delta }Por lo tanto, el área de la sección transversal a través de la cual fluye la carga esδℓ{\displaystyle \delta \,\ell }La combinación de estos resultados proporciona una resistencia efectiva.

Rρ≈ρ2πr0δℓ,{\displaystyle R_{\rho }\approx \rho {\frac {2\pi r_{0}}{\delta \,\ell }}\,,}

dóndeρ{\displaystyle \rho }es la resistividad del conductor. La capacitancia, la inductancia y la resistencia efectivas conducen entonces a una expresión simple para el factor de calidad esperado del LGR.

Q≈r0δ,{\displaystyle Q\approx {\frac {r_{0}}{\delta }}\,,}

donde, para un buen conductor, la profundidad de penetración electromagnética a la frecuencia de resonancia viene dada por

δ≈2ρμ0ω0,{\displaystyle \delta \approx {\sqrt {\frac {2\rho }{\mu _{0}\omega _{0}}}}\,,}

yω0=2πF0{\displaystyle \omega _ {0} = 2 \ pi f_ {0}}. Para un resonador de aluminio conr0=1dometro{\displaystyle r_{0}=1\,\mathrm {cm} }yF0=1GRAMOHz{\displaystyle f_{0}=1\,\mathrm {GHz} }El análisis anterior prediceQ≈3900{\displaystyle Q\approx 3900}. [ 1 ] [ 6 ]

Pérdidas por radiación

En la práctica, el factor de calidad medido de un LGR cilíndrico, sin blindaje electromagnético adicional , será mucho menor que el valor previsto der0/δ{\displaystyle r_{0}/\delta }La supresión del factor de calidad se debe a la pérdida de potencia radiativa de las líneas de campo magnético que se extienden fuera del orificio del LGR hacia el espacio libre. Se puede realizar una estimación del orden de magnitud de la resistencia de radiación efectiva tratando el LGR como un bucle conductor. En el límite en que la longitud de onda de la radiación es mucho mayor que el radio del bucler0{\displaystyle r_{0}}, la resistencia a la radiación es

Rr≈π6μ0ε0(ω0r0do)4,{\displaystyle R_{\mathrm {r} }\approx {\frac {\pi }{6}}{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}\left({\frac {\omega _{0}r_{0}}{c}}\right)^{4}\,,}

y puede ser mucho mayor que la resistenciaRρ{\displaystyle R_{\rho }}debido a la resistividad del conductor LGR. [ 8 ] [ 9 ] Las pérdidas radiativas pueden suprimirse colocando el LGR dentro de una guía de onda circular . Siempre que la frecuencia de corte del modo de guía de onda TE 11 más bajo esté muy por encima de la frecuencia de resonancia del LGR, se evitará que las líneas de campo magnético se propaguen al espacio libre. La presencia del blindaje electromagnético alterará la frecuencia de resonancia y el factor de calidad del LGR, pero normalmente solo en un pequeño porcentaje. [ 1 ] [ 6 ]

LGR toroidal

Dibujo de un LGR toroidal con una sección recortada para dejar al descubierto el orificio y el espacio del resonador.
Fotografía de las dos mitades de un resonador de bucle toroidal de cobre. También se aprecian un bucle de acoplamiento inductivo suspendido dentro del orificio del resonador y un resonador de anillo partido extendido colocado en el orificio del LGR. [ 10 ]

En algunas aplicaciones que requieren altos factores de calidad, el blindaje electromagnético proporcionado por una guía de ondas circular concéntrica que rodea un LGR cilíndrico puede ser voluminoso y difícil de manejar. Un LGR toroidal se puede utilizar para altas-Q{\displaystyle Q}mediciones sin necesidad de blindaje electromagnético adicional. En la geometría toroidal, los dos extremos de un resonador magnético cilíndrico se unen para formar una estructura completamente cerrada. En este caso, el campo magnético queda totalmente confinado dentro del orificio del resonador y no hay pérdida de potencia radiativa. El resonador magnético toroidal consta de dos mitades atornilladas a lo largo del diámetro exterior de la estructura.

Al igual que el LGR cilíndrico, el LGR toroidal se puede modelar como una serieLRdo{\displaystyle LRC}circuito. En general, la capacitancia, inductancia y resistencia efectivas del LGR toroidal diferirán de las expresiones dadas anteriormente para el LGR cilíndrico. Sin embargo, en el límite en que el radio del toro es grande en comparación con el radio del orificior0{\displaystyle r_{0}}La capacitancia, la inductancia y la resistencia del LGR toroidal se aproximan mediante las expresiones anteriores si se tomaℓ{\displaystyle \ell }ser igual a la circunferencia del toroide.

El resonador magnético toroidal (LGR) resulta particularmente conveniente para caracterizar las propiedades electromagnéticas de muestras líquidas o partículas suspendidas en un líquido. En estos casos, el orificio del LGR toroidal puede llenarse parcialmente con la muestra líquida sin necesidad de un soporte especial. Esta configuración permite caracterizar las propiedades magnéticas de, por ejemplo, un ferrofluido . Alternativamente, si la muestra líquida no es magnética, el LGR toroidal completo puede sumergirse en el líquido (o gas). En este caso, las propiedades dieléctricas de la muestra solo modifican la capacitancia efectiva del resonador y los cambios enF0{\displaystyle f_{0}}yQ{\displaystyle Q}puede utilizarse para determinar la permitividad compleja de la muestra. [ 7 ] [ 9 ]

Acoplamiento a un LGR

Los bucles de acoplamiento inductivo se utilizan normalmente para acoplar el flujo magnético dentro y fuera del LGR. Estos bucles se fabrican retirando primero un tramo del conductor exterior y del dieléctrico de un cable coaxial semirrígido . El conductor central expuesto se dobla formando un bucle y se cortocircuita con el conductor exterior. El extremo opuesto del cable coaxial se conecta a un generador de señales o a un receptor. En el caso de un generador de señales, se establece una corriente oscilante en el bucle de acoplamiento. Según la ley de inducción de Faraday , esta corriente crea un flujo magnético oscilante que puede acoplarse al interior del LGR. Este flujo magnético, a su vez, induce corrientes circunferenciales a lo largo de la pared interior del LGR. La corriente inducida, también según la ley de Faraday, crea un campo magnético oscilante aproximadamente uniforme en el interior del LGR. Un segundo bucle de acoplamiento, conectado a un receptor, puede utilizarse para detectar el flujo magnético producido por el LGR. Alternativamente, utilizando un analizador de redes vectoriales (VNA), se puede usar un único bucle de acoplamiento para inyectar una señal en el LGR y medir su respuesta. El VNA puede medir la relación de los voltajes directos y reflejados (S11{\displaystyle S_{11}}, o coeficiente de reflexión ) en función de la frecuencia de microondas. Lejos de la resonancia, la magnitud del coeficiente de reflexión será cercana a uno, ya que se acopla muy poca potencia al LGR a estas frecuencias. Sin embargo, cerca de la frecuencia de resonanciaF0{\displaystyle f_{0}}La magnitud del coeficiente de reflexión disminuirá por debajo de uno a medida que se transfiera potencia al LGR. El acoplamiento entre los circuitos externos y el LGR se puede ajustar modificando las posiciones y orientaciones relativas del bucle de acoplamiento y el LGR. En el acoplamiento crítico, se logra la adaptación de impedancias y el coeficiente de reflexión se aproxima a cero. [ 11 ]

También es posible acoplar capacitivamente campos eléctricos hacia dentro y hacia fuera del espacio del LGR utilizando electrodos diseñados adecuadamente en el extremo de un cable coaxial. [ 11 ]

LGR de múltiples bucles y múltiples huecos

Diseños de algunos LGR de múltiples bucles y múltiples huecos. Arriba: LGR de dos bucles y un hueco. Centro: LGR de tres bucles y dos huecos. Abajo: LGR de cinco bucles y cuatro huecos. [ 10 ]
Fotografía de un LGR de aluminio de dos bucles y un espacio. También se aprecian un bucle de acoplamiento inductivo suspendido dentro del orificio derecho del resonador y un2×2{\displaystyle 2\times 2}Conjunto de resonadores de anillo partido planares en el orificio izquierdo del resonador. [ 12 ]

También se han desarrollado generadores de reluctancia con múltiples bucles y espacios. El más sencillo es el generador de reluctancia con dos bucles y un espacio. En este caso, las líneas de campo magnético forman bucles cerrados al pasar por cada uno de los orificios del generador, y las corrientes en las paredes internas se propagan en direcciones opuestas: en sentido horario en un orificio y en sentido antihorario en el otro. El circuito equivalente, despreciando las pérdidas, es una combinación en paralelo de inductores.L{\displaystyle L}yL0{\displaystyle L_{0}}en serie con capacitanciado{\displaystyle C}. SiL=L0{\displaystyle L=L_{0}}, entonces la frecuencia de resonancia del LGR de dos bucles y una brecha es2{\displaystyle {\sqrt {2}}}veces mayor que la del LGR convencional de un bucle y un espacio con las mismas dimensiones de orificio y espacio. También cabe destacar que, dado que las líneas de campo magnético pasan de un orificio al otro, las pérdidas de potencia radiativa se suprimen considerablemente y el resonador mantiene un alto factor de calidad sin necesidad de blindaje electromagnético adicional. [ 10 ] [ 13 ]

Los LGR de bucles múltiples y espacios múltiples con más de dos bucles tienen más de un modo resonante. Si el orificio central se identifica como poseedor de inductanciaL0{\displaystyle L_{0}}, entonces uno de los modos resonantes es uno en el que todo el flujo magnético de cada uno de los bucles externos de inductanciaL{\displaystyle L}se comparte con el bucle central. Para este modo, la frecuencia de resonancia de unnorte{\displaystyle n}-bucle,(norte−1){\displaystyle (n-1)}-gap LGR viene dado por

F0≈12πnorteLdo,{\displaystyle f_{0}\approx {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {n}{LC}}}\,,}

donde se ha asumido que todos los bucles tienen la misma inductanciaL{\displaystyle L}. [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]

LGR y superconductividad

El efecto Meissner en un monocristal superconductor de plaquetas. Las líneas azules representan un campo magnético aplicado. Los campos magnéticos penetran una profundidad.λ{\displaystyle \lambda }dentro del cristal. En un superconductor monocristalino, existe una profundidad de penetración única para cada una de las direcciones cristalográficas.

Los resonadores de bucle-gap se han utilizado para realizar mediciones precisas de las propiedades electrodinámicas de superconductores no convencionales . [ 19 ] En particular, se utilizó un LGR para revelar la dependencia lineal de la temperatura de la profundidad de penetración magnética , característica de un superconductor de onda d, en un monocristal de YBa 2 Cu 3 O 6.95 . [ 20 ] En estos experimentos, una muestra superconductora se coloca dentro del orificio de un LGR. La respuesta diamagnética del superconductor altera la inductancia del LGR y, por lo tanto, su frecuencia de resonancia. Como se describe a continuación, el seguimiento del cambio en la frecuencia de resonancia a medida que cambia la temperatura de la muestra permite deducir la dependencia de la temperatura de la profundidad de penetración magnética.

Teoría

La inductancia del LGR se puede expresar comoL=μ0Vr/ℓ2{\displaystyle L=\mu _{0}V_{\mathrm {r} }/\ell ^{2}}, dóndeVr{\displaystyle V_{\mathrm {r} }}es el volumen del orificio LGR. Dado que la frecuencia de resonanciaF0{\displaystyle f_{0}}de la LGR es proporcional aL−1/2{\displaystyle L^{-1/2}}, un pequeño cambio en el volumen efectivo del orificio del resonador dará como resultado un cambio en la frecuencia de resonancia dada por

δF0=−F02δVrVr.{\displaystyle \delta f_{0}=-{\frac {f_{0}}{2}}{\frac {\delta V_{\mathrm {r} }}{V_{\mathrm {r} }}}\,.}

Debido al efecto Meissner , cuando una muestra superconductora se coloca en el orificio de un LGR, el flujo magnético es expulsado del interior de la muestra hasta una profundidad de penetración.λ{\displaystyle \lambda }de su superficie. Por lo tanto, el volumen efectivo del orificio del resonador se reduce en una cantidad igual al volumen del cual se ha excluido el flujo magnético. Este volumen excluido viene dado por

Vmiincógnita≈ab(do−2λa),{\displaystyle V_{\mathrm {ex} }\approx ab\left(c-2\lambda _{a}\right)\,,}

dóndea{\displaystyle a},b{\displaystyle b}, ydo{\displaystyle c}son las dimensiones de la muestra a lo largo de las tres direcciones cristalográficas yabdo{\displaystyle abc}es el volumen de la muestraVs{\displaystyle V_{\mathrm {s} }}En la expresión anterior, se ha supuesto que el campo magnético de microondas se aplica en paralelo a lab{\displaystyle b}eje de la muestra. Dado que la presencia del superconductor reduce el volumen LGR,δVr=−Vmiincógnita{\displaystyle \delta V_{\mathrm {r} }=-V_{\mathrm {ex} }}y

δF0=F02Vr(Vs−2abλa).{\displaystyle \delta f_{0}={\frac {f_{0}}{2V_{\mathrm {r} }}}\left(V_{\mathrm {s} }-2ab\lambda _{a}\right)\,.}

Resolviendo esta expresión para ela{\displaystyle a}-profundidad de penetración del eje produce

λa=do2−VrabδF0F0.{\displaystyle \lambda _{a}={\frac {c}{2}}-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {\delta f_{0}}{f_{0}}}\,.}

En general, no es posible utilizar las mediciones de desplazamiento de frecuencia LGR para determinar el valor absoluto de la profundidad de penetración porque requeriría conocer el espesor de la muestra.do{\displaystyle c}muy precisamente. Por ejemplo, en YBa 2 Cu 3 O 7 totalmente dopado ,λa≈100 nortemetro{\displaystyle \lambda _ {a}\aproximadamente 100~\mathrm {nm} }a baja temperatura. [ 21 ] Por lo tanto, para utilizar la medición LGR para determinarλa{\displaystyle \lambda _{a}}Para estar dentro del 10%, habría que conocer el valor dedo{\displaystyle c}con una precisión de10 nortemetro{\displaystyle 10~\mathrm {nm} }lo cual normalmente no es posible.

En cambio, la estrategia consiste en rastrear los cambios de frecuencia a medida que varía la temperatura de la muestra (manteniendo el LGR a una temperatura fija). La profundidad de penetración absoluta se puede expresar como

λa(T)=λa(T0)+Δλa(T),{\displaystyle \lambda _{a}(T)=\lambda _{a}(T_{0})+\Delta \lambda _{a}(T)\,,}

dóndeT{\displaystyle T}es la temperatura,T0{\displaystyle T_{0}}es la temperatura base experimental, yΔλa(T){\displaystyle \Delta \lambda _{a}(T)}es el cambio en la profundidad de penetración a medida que la temperatura de la muestra aumenta por encima de la temperatura base. Por lo tanto, se puede expresar el cambio en la profundidad de penetración como

Δλa(T)=λa(T)−λa(T0)=−Vrab1F0[δF0(T)−δF0(T0)].{\displaystyle \Delta \lambda _{a}(T)=\lambda _{a}(T)-\lambda _{a}(T_{0})=-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {1}{f_{0}}}\left[\delta f_{0}(T)-\delta f_{0}(T_{0})\right]\,.}

Finalmente, definiendoΔF0(T)=δF0(T)−δF0(T0){\displaystyle \Delta f_{0}(T)=\delta f_{0}(T)-\delta f_{0}(T_{0})}, uno tiene

Δλa(T)=−VrabΔF0(T)F0.{\displaystyle \Delta \lambda _{a}(T)=-{\frac {V_{\mathrm {r} }}{ab}}{\frac {\Delta f_{0}(T)}{f_{0}}}\,.}

Esta expresión final muestra cómo los cambios en la frecuencia de resonancia de LGR pueden utilizarse para determinar la dependencia de la temperatura de la profundidad de penetración magnética en una muestra superconductora.

Detalles experimentales

En un superconductor de onda d, la profundidad de penetración cambia típicamente en unos pocos angstroms por grado kelvin , lo que corresponde aΔF0/F0∼10−10{\displaystyle \Delta f_{0}/f_{0}\sim 10^{-10}}por un1 metrometro2{\displaystyle 1~\mathrm {mm} ^{2}}muestra de plaquetas en un LGR con un volumen de orificio de1 dometro3{\displaystyle 1~\mathrm {cm} ^{3}}Medir cambios tan pequeños en la frecuencia relativa requiere una precisión extremadamente alta.Q{\displaystyle Q}resonador. Los factores de calidad ultraaltos se obtienen recubriendo las superficies LGR con un material superconductor, como una aleación de plomo-estaño. Luego, el resonador se enfría por debajo de la temperatura de transición superconductora del recubrimiento utilizando un baño de helio líquido superfluido . Factores de calidad de106{\displaystyle 10^{6}}se han logrado utilizando LGR de cobre recubiertos con plomo-estaño y enfriados a1 K{\displaystyle 1~\mathrm {K} }. [ 20 ]

Medición de la permitividad y la permeabilidad

Esta sección describe cómo se pueden utilizar los LGR para determinar las propiedades electromagnéticas de los materiales. Cuando no hay materiales que llenen el espacio o el orificio del resonador, la impedanciaZ{\displaystyle Z}de la LGR se puede expresar como

Z=R+jωL+1jωdo,{\displaystyle Z=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}\,,}

dóndej=−1{\displaystyle j={\sqrt {-1}}}Reexpresado en términos de la frecuencia de resonanciaω0{\displaystyle \omega _{0}}y factor de calidadQ{\displaystyle Q}, la impedancia viene dada por

ZQR=1Q+j(ωω0−ω0ω).{\displaystyle {\frac {Z}{QR}}={\frac {1}{Q}}+j\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right)\,.}

Una medición de la dependencia de la frecuencia de la impedancia de un LGR vacío puede utilizarse para determinarω0{\displaystyle \omega _{0}}yQ{\displaystyle Q}La medición de impedancia se realiza más fácilmente utilizando el analizador de redes vectoriales (VNA) para medir el coeficiente de reflexión.S11{\displaystyle S_{11}}de un LGR acoplado inductivamente. La impedancia y el coeficiente de reflexión están relacionados por

S11=Z0−ZZ0+Z,{\displaystyle S_{11}={\frac {Z_{0}-Z}{Z_{0}+Z}}\,,}

dóndeZ0{\displaystyle Z_{0}}es la impedancia de salida del VNA (generalmente,Z0=50 Ω){\displaystyle Z_{0}=50~\Omega )}).

permitividad compleja

Ahora supongamos que el espacio del resonador se ha llenado completamente con un material dieléctrico que tiene una permitividad relativa compleja.εr=ε′−jε′′{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }=\varepsilon ^{\prime }-j\varepsilon ^{\prime \prime }}En este caso, la capacitancia efectiva se convierte enεrdo{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }C}y la impedancia del LGR viene dada por

Zε=R+jωL+1jω(ε′−jε′′)do.{\displaystyle Z_{\varepsilon }=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega \left(\varepsilon ^{\prime }-j\varepsilon ^{\prime \prime }\right)C}}\,.}

Separar los términos reales e imaginarios conduce a

Zε=[R+(ε′′(ε′)2+(ε′′)2)1ωdo]+j[ωL−(ε′(ε′)2+(ε′′)2)1ωdo].{\displaystyle Z_{\varepsilon }=\left[R+\left({\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {1}{\omega C}}\right]+j\left[\omega L-\left({\frac {\varepsilon ^{\prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {1}{\omega C}}\right]\,.}

Esta expresión muestra que un valor distinto de ceroε′′{\displaystyle \varepsilon ^{\prime \prime }}aumenta la resistencia efectiva del LGR y, por lo tanto, reduce su factor de calidad. Un valor distinto de ceroε′{\displaystyle \varepsilon ^{\prime }}Por otro lado, altera la parte imaginaria de la impedancia y modifica la frecuencia de resonancia. Expresada en términos de la frecuencia de resonancia del resonador vacío y el factor de calidad, la impedancia anterior se puede expresar como

ZεQR=[1Q+(ε′′(ε′)2+(ε′′)2)ω0ω]+j[ωω0−(ε′(ε′)2+(ε′′)2)ω0ω].{\displaystyle {\frac {Z_{\varepsilon }}{QR}}=\left[{\frac {1}{Q}}+\left({\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]+j\left[{\frac {\omega }{\omega _{0}}}-\left({\frac {\varepsilon ^{\prime }}{\left(\varepsilon ^{\prime }\right)^{2}+\left(\varepsilon ^{\prime \prime }\right)^{2}}}\right){\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]\,.}

Siempre queω0{\displaystyle \omega _{0}}yQ{\displaystyle Q}se conocen de antemano, una medición de la dependencia de la frecuencia deZε{\displaystyle Z_{\varepsilon }}puede utilizarse para determinarε′{\displaystyle \varepsilon ^{\prime }}yε′′{\displaystyle \varepsilon ^{\prime \prime }}del material que rellena el hueco del LGR. Este análisis proporciona los valores deε′{\displaystyle \varepsilon ^{\prime }}yε′′{\displaystyle \varepsilon ^{\prime \prime }}a la frecuencia de resonancia del LGR lleno. [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

Permeabilidad compleja

A continuación, supongamos que el orificio de un LGR está lleno de un material magnético que tiene una permeabilidad relativa compleja.μr=μ′−jμ′′{\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }=\mu ^{\prime }-j\mu ^{\prime \prime }}En este caso, la inductancia efectiva se convierte enμrL{\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }L}y la impedancia del LGR viene dada por

Zμ=R+jω(μ′−jμ′′)L+1jωdo.{\displaystyle Z_{\mu }=R+j\omega \left(\mu ^{\prime }-j\mu ^{\prime \prime }\right)L+{\frac {1}{j\omega C}}\,.}

SeparandoZμ{\displaystyle Z_{\mu }}en sus componentes reales e imaginarias y escribiendo la impedancia en términos deω0{\displaystyle \omega _{0}}yQ{\displaystyle Q}de los rendimientos LGR vacíos

ZμQR=[1Q+μ′′ωω0]+j[μ′ωω0−ω0ω].{\displaystyle {\frac {Z_{\mu }}{QR}}=\left[{\frac {1}{Q}}+\mu ^{\prime \prime }{\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right]+j\left[\mu ^{\prime }{\frac {\omega }{\omega _{0}}}-{\frac {\omega _{0}}{\omega }}\right]\,.}

Una vez más,μ′′{\displaystyle \mu ^{\prime \prime }}contribuye a una disipación adicional que reduce el factor de calidad del resonador lleno yμ′{\displaystyle \mu ^{\prime }}cambia la frecuencia de resonancia. Una medición de la dependencia de la frecuencia deZμ{\displaystyle Z_{\mu }}se puede utilizar para extraer los valores deμ′{\displaystyle \mu ^{\prime }}yμ′′{\displaystyle \mu ^{\prime \prime }}a la frecuencia de resonancia del LGR lleno. [ 5 ] [ 10 ] [ 12 ] [ 22 ]

Referencias

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