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Articulo de referencia

Modelo de oscilador de Lorentz

Los electrones están unidos al núcleo atómico de forma análoga a como lo harían a unos resortes. El modelo de oscilador de Lorentz (oscilador electrónico clásico o modelo CEO) d...

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Los electrones están unidos al núcleo atómico de forma análoga a como lo harían a unos resortes.

El modelo de oscilador de Lorentz (oscilador electrónico clásico o modelo CEO) describe la respuesta óptica de las cargas ligadas . El modelo recibe su nombre del físico neerlandés Hendrik Lorentz, quien lo propuso en 1878. [ 1 ] Es un modelo clásico y fenomenológico para materiales con frecuencias de resonancia características (u otras escalas de energía características) para la absorción óptica, por ejemplo, vibraciones iónicas y moleculares , transiciones interbanda (semiconductores), fonones y excitaciones colectivas. [ 2 ] [ 3 ]

Derivación

Movimiento de electrones

El modelo se deriva modelando un electrón orbitando un núcleo masivo y estacionario como un sistema masa-resorte-amortiguador . [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] Se modela el electrón conectado al núcleo mediante un resorte hipotético y su movimiento se amortigua mediante un amortiguador hipotético. La fuerza de amortiguación asegura que la respuesta del oscilador sea finita en su frecuencia de resonancia. Para una fuerza impulsora armónica en el tiempo que se origina en el campo eléctrico , se puede aplicar la segunda ley de Newton al electrón para obtener el movimiento del electrón y expresiones para el momento dipolar , la polarización , la susceptibilidad y la función dieléctrica . [ 5 ]

La ecuación de movimiento para el oscilador electrónico es Fneto=Fmojadura+Fprimavera+Fconduciendo=metrod2rdt2−metroτdrdt−kr−mimi(t)=metrod2rdt2d2rdt2+1τdrdt+ω02r=−mimetromi(t),{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{net}}=\mathbf {F} _{\text{amortiguación}}+\mathbf {F} _{\text{primavera}}+\mathbf {F} _{\text{conducción}}&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {-m}{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-k\mathbf {r} -{e}\mathbf {E} (t)&=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}\mathbf {r} \;&=\;{\frac {-e}{m}}\mathbf {E} (t),\end{aligned}}}

dónde

  • r{\displaystyle \mathbf {r} }es el desplazamiento de la carga desde la posición de reposo,
  • t{\displaystyle t}es el tiempo,
  • τ{\displaystyle \tau }es el tiempo de relajación/tiempo de dispersión,
  • k{\displaystyle k}es un factor constante característico del resorte,
  • metro{\displaystyle m}es la masa efectiva del electrón,
  • ω0=k/metro{\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}es la frecuencia de resonancia del oscilador,
  • mi{\displaystyle e}es la carga elemental ,
  • mi(t){\displaystyle \mathbf {E} (t)}es el campo eléctrico.

Para campos armónicos en el tiempo mi(t)=mi0mi−iωt,{\displaystyle \mathbf {E} (t)=\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t},}r(t)=r0mi−iωt,{\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}e^{-i\omega t},}

La solución estacionaria de esta ecuación de movimiento es r(ω)=−mimetro1ω02−ω2−iω/τmi(ω).{\displaystyle \mathbf {r} (\omega )={\frac {-e}{m}}{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega /\tau }}\mathbf {E} (\omega ).}

El hecho de que la solución anterior sea compleja significa que existe un retardo temporal (desfase) entre el campo eléctrico impulsor y la respuesta del movimiento del electrón. [ 5 ]

momento dipolar

El desplazamiento,r{\displaystyle \mathbf {r} }, induce un momento dipolar,pag{\displaystyle \mathbf {p} }, dado por pag(ω)=−mir(ω)=α^(ω)mi(ω).{\displaystyle \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {r} (\omega )={\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}

Aquí,α^(ω){\displaystyle {\sombrero {\alpha }}(\omega )}es la polarizabilidad de un oscilador simple, dada por α^(ω)=mi2metro1(ω02−ω2)−iω/τ.{\displaystyle {\hat {\alpha }}(\omega )={\frac {e^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }}.}

Se pueden interpretar tres regímenes de dispersión distintos que corresponden al término dominante del denominador en el momento dipolar: [ 6 ]

Polarización y desplazamiento eléctrico

La polarizaciónPAG{\displaystyle \mathbf {P} }es el momento dipolar por unidad de volumen. Para propiedades macroscópicas del materialnorte{\displaystyle N}es la densidad de cargas (electrones) por unidad de volumen. Considerando que cada electrón actúa con el mismo momento dipolar, tenemos la polarización como PAG=nortepag=norteα^(ω)mi(ω).{\displaystyle \mathbf {P} =N\mathbf {p} =N{\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}

El desplazamiento eléctricoD{\displaystyle \mathbf {D} }está relacionado con la densidad de polarizaciónPAG{\displaystyle \mathbf {P} }por D=ε^mi=mi+4πPAG=(1+4πnorteα^)mi.{\displaystyle \mathbf {D} ={\hat {\varepsilon }}\mathbf {E} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} =(1+4\pi N{\hat {\alpha }})\mathbf {E} .}

función dieléctrica

Modelo de oscilador de Lorentz. Se representan las componentes real (línea continua azul) e imaginaria (línea discontinua naranja) de la permitividad relativa para un modelo de oscilador único con parámetrosω0=23.8THz{\displaystyle \omega _ {0}=\mathrm {23,8\,THz} }(12,6 μm),s/ω02=3.305{\displaystyle s/\omega _ {0}^{2}=\mathrm {3.305} },Γ/ω0=0,006{\displaystyle \Gamma /\omega _{0}=\mathrm {0.006} }, yε∞=6.7{\displaystyle \varepsilon _{\infty }=\mathrm {6.7} }Estos parámetros se aproximan al carburo de silicio hexagonal. [ 7 ]

La función dieléctrica compleja es (en unidades gaussianas ): ε^(ω)=1+4πnortemi2metro1(ω02−ω2)−iω/τ,{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=1+{\frac {4\pi Ne^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }},} donde uno puede definirωpag2≡4πnortemi2metro{\displaystyle \omega _{p}^{2}\equiv {\frac {4\pi Ne^{2}}{m}}}, que es el cuadrado de la llamada frecuencia de plasma .

En la práctica, el modelo se modifica comúnmente para tener en cuenta los múltiples mecanismos de absorción presentes en un medio. Esta versión modificada se presenta en [ 8 ].ε^(ω)=ε∞+∑jχjL(ω;ω0,j),{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}\chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j}),} donde χjL(ω;ω0,j)=sjω0,j2−ω2−iΓjω,{\displaystyle \chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j})={\frac {s_{j}}{\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}-i\Gamma _{j}\omega }},} y

  • ε∞{\displaystyle \varepsilon _{\infty }}es el valor de la función dieléctrica a frecuencia infinita, que puede utilizarse como un parámetro ajustable para tener en cuenta los mecanismos de absorción de alta frecuencia;
  • sj=ωpag2Fj{\displaystyle s_{j}=\omega _{p}^{2}f_{j}}yFj{\displaystyle f_{j}}está relacionado con la fuerza de laj{\displaystyle j}el mecanismo de absorción;
  • Γj=1/τ{\displaystyle \Gamma _{j}=1/\tau }.

Separando los componentes reales e imaginarios, ε^(ω)=ε1(ω)+iε2(ω)=[ε∞+∑jsj(ω0,j2−ω2)(ω0,j2−ω2)2+(Γjω)2]+i[∑jsj(Γjω)(ω0,j2−ω2)2+(Γjω)2].{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )+i\varepsilon _{2}(\omega )=\left[\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}{\frac {s_{j}(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2})}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right]+i\left[\sum _{j}{\frac {s_{j}(\Gamma _{j}\omega )}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right].}

conductividad compleja

La conductividad óptica compleja en general está relacionada con la función dieléctrica compleja (en unidades gaussianas ) como σ^(ω)=ω4πi(ε^(ω)−1).{\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {\omega }{4\pi i}}\left({\hat {\varepsilon }}(\omega )-1\right).}

Sustituyendo la fórmula deε^(ω){\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )}En la ecuación anterior obtenemos σ^(ω)=nortemi2metroωω/τ+i(ω02−ω2).{\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\omega }{\omega /\tau +i\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)}}.}

Separar los componentes reales e imaginarios da como resultado σ^(ω)=σ1(ω)+iσ2(ω)=nortemi2metroω2τ(ω02−ω2)2+ω2/τ2−inortemi2metro(ω02−ω2)ω(ω02−ω2)2+ω2/τ2.{\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )=\sigma _{1}(\omega )+i\sigma _{2}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\frac {\omega ^{2}}{\tau }}{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}-i{\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)\omega }{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}.}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Galsin, Joginder Singh (2025). Historia de la física del estado sólido . Springer Nature. ISBN 978-981-95-0504-3.
  2. ↑ Lorentz, Hendrik Antoon (1909). La teoría de los electrones y sus aplicaciones a los fenómenos de la luz y el calor radiante . Vol. Bd. XXIX, Bd. 29. Nueva York; Leipzig: BG Teubner. OCLC 535812 .  
  3. 1 2 Dressel, Martin; Grüner, George (2002). «Semiconductores». Electrodinámica de los sólidos: Propiedades ópticas de los electrones en la materia . Cambridge. págs. 136–172 . doi : 10.1017/CBO9780511606168.008 . ISBN  9780521592536.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
  4. ↑ Almog, IF; Bradley, MS; Bulovic, V. (2011). "El oscilador de Lorentz y sus aplicaciones" (PDF) . Instituto Tecnológico de Massachusetts, Departamento de Ingeniería Eléctrica y Ciencias de la Computación . Instituto Tecnológico de Massachusetts . Recuperado el 24 de noviembre de 2021 .
  5. 1 2 3 Colton, John (2020). "Modelo de oscilador de Lorentz" (PDF) . Universidad Brigham Young, Departamento de Física y Astronomía . Universidad Brigham Young . Recuperado el 18 de noviembre de 2021 .
  6. ↑ Patel, Adam (2021). "Regímenes de Thomson y colisionales de dispersión coherente de microondas en fase en microplasmas gaseosos" . Scientific Reports . 11 (1): 23389. arXiv : 2106.02457 . Bibcode : 2021NatSR..1123389P . doi : 10.1038/s41598-021-02500- y . PMC 8642454. PMID 34862396 .  
  7. ↑ Spitzer, WG; Kleinman, D.; Walsh, D. (1959). "Propiedades infrarrojas del carburo de silicio hexagonal" . Physical Review . 113 (1): 127– 132. Bibcode : 1959PhRv..113..127S . doi : 10.1103/PhysRev.113.127 . Consultado el 24 de noviembre de 2021 .
  8. ↑ Zhang, ZM; Lefever-Button, G.; Powell, FR (1998). "Índice de refracción infrarrojo y coeficiente de extinción de películas de poliimida" . International Journal of Thermophysics . 19 (3): 905– 916. doi : 10.1023/A:1022655309574 . S2CID 116271335. Recuperado el 24 de noviembre de 2021 .