Saturación de bajo grado

En una red libre de escala, la distribución de grados sigue una función de ley de potencias . En algunos ejemplos empíricos, esta ley de potencias se ajusta bien a la distribución de grados solo en la región de grados altos; en algunos nodos de grados pequeños, la distribución de grados empírica se desvía de ella. Véase, por ejemplo, la red de citas científicas. ^{[ 1 ]} Esta desviación de la distribución de grados observada con respecto a la predicción teórica en la región de grados bajos se suele denominar saturación de grados bajos . ^{[ 2 ]} La distribución de grados empírica normalmente se desvía hacia abajo de la función de ley de potencias ajustada en nodos de orden superior, lo que significa que los nodos de grados bajos son menos frecuentes en los datos reales de lo que predice el modelo de Barabási-Albert . ^{[ 3 ]}

Una de las suposiciones clave del modelo BA es la conexión preferencial . Establece que la probabilidad de adquirir un nuevo enlace desde un nodo entrante nuevo es proporcional al grado de cada nodo. En otras palabras, cada nuevo nodo prefiere conectarse a nodos de mayor grado. Formalmente:

$${\displaystyle \Pi {\left(k_{i}\right)}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}}}$$

Dónde${\displaystyle \Pi {\left(k_{i}\right)}}$es la probabilidad de adquirir un enlace por un nodo con grado${\displaystyle k}$.

Con una ligera modificación de esta regla, la saturación de bajo grado se puede predecir fácilmente, agregando un término llamado atractivo inicial (${\displaystyle A}$). Esto fue introducido por primera vez por Dorogovtsev, Mendes y Samukhin en 2000. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

$${\displaystyle \Pi \left(k_{i}\right)={\frac {A+k_{i}}{A+\sum \limits _{j}k_{j}}}}$$

Con esta regla de conexión modificada, un nodo de bajo grado (con bajo${\displaystyle k}$) tiene una mayor probabilidad de adquirir nuevos enlaces en comparación con la configuración original. Por lo tanto, es más atractivo . En consecuencia, esta desventaja hace menos probable la existencia de nodos de grado pequeño, como se observa en los datos reales. Formalmente, esto modifica la distribución de grados de la siguiente manera:

$${\displaystyle p_{k}=C\left(k+A\right)^{-\gamma }}$$

Como efecto secundario, también aumenta el exponente en relación con el modelo BA original.

Se denomina atractivo inicial porque en el marco BA cada nodo crece en grado con el tiempo. Y como${\displaystyle k}$Esto amplía la importancia de este término aditivo fijo.${\displaystyle (A)}$disminuye.

Todas las características distintivas de las redes libres de escala se deben a la existencia de nodos de grado extremadamente alto, a menudo llamados "hubs". Su existencia se predice mediante la distribución de ley de potencias de los grados. La saturación de bajo grado es una desviación de esta distribución teórica de grados, ya que caracteriza el extremo inferior de la distribución de grados, pero no niega la existencia de hubs. Por lo tanto, una red libre de escala con saturación de bajo grado puede producir todas las siguientes características: característica de mundo pequeño , robustez , baja tolerancia a ataques, comportamiento de propagación .

Si se modela mediante el modelo BA aumentado con el atractivo inicial, entonces esta solución reduce el tamaño de los nodos centrales porque afecta positivamente al exponente de la distribución de grados en relación con el modelo BA original.

• Atractivo inicial