Filtro de paso bajo

Un filtro de paso bajo es un filtro que permite el paso de señales con una frecuencia inferior a una frecuencia de corte seleccionada y atenúa las señales con frecuencias superiores a dicha frecuencia. La respuesta en frecuencia exacta del filtro depende de su diseño . En aplicaciones de audio, a veces se le denomina filtro de corte de agudos o filtro de corte de agudos . Un filtro de paso bajo es el complemento de un filtro de paso alto .

En óptica, los términos paso alto y paso bajo pueden tener significados diferentes, dependiendo de si se refieren a la frecuencia o a la longitud de onda de la luz, ya que estas variables están inversamente relacionadas. Los filtros de frecuencia paso alto funcionarían como filtros de longitud de onda paso bajo, y viceversa. Por esta razón, es una buena práctica referirse a los filtros de longitud de onda como paso corto y paso largo para evitar confusiones, que corresponderían a las frecuencias de paso alto y paso bajo . ^{[ 1 ]}

Los filtros de paso bajo existen en diversas formas, incluyendo circuitos electrónicos como el filtro de siseo utilizado en audio , filtros anti-aliasing para acondicionar señales antes de la conversión analógica-digital , filtros digitales para suavizar conjuntos de datos, barreras acústicas, desenfoque de imágenes, etc. La operación de promedio móvil utilizada en campos como las finanzas es un tipo particular de filtro de paso bajo y puede analizarse con las mismas técnicas de procesamiento de señales que se utilizan para otros filtros de paso bajo. Los filtros de paso bajo proporcionan una forma más suave de una señal, eliminando las fluctuaciones a corto plazo y conservando la tendencia a largo plazo.

Los diseñadores de filtros suelen usar el filtro paso bajo como prototipo . Se trata de un filtro con ancho de banda e impedancia unitarios. El filtro deseado se obtiene a partir del prototipo escalándolo para obtener el ancho de banda y la impedancia deseados y transformándolo en la forma de banda deseada (es decir, paso bajo, paso alto, paso banda o rechazo de banda ).

Ejemplos

Ejemplos de filtros de paso bajo se encuentran en la acústica , la óptica y la electrónica .

Una barrera física rígida tiende a reflejar las frecuencias sonoras más altas, actuando como un filtro acústico de paso bajo para la transmisión del sonido. Cuando suena música en otra habitación, las notas graves se oyen con claridad, mientras que las agudas se atenúan.

Un filtro óptico con la misma función puede denominarse correctamente filtro de paso bajo, pero convencionalmente se le llama filtro de paso largo (la baja frecuencia corresponde a la longitud de onda larga), para evitar confusiones. ^{[ 1 ]}

En un filtro electrónico RC de paso bajo para señales de voltaje, las altas frecuencias de la señal de entrada se atenúan, pero la atenuación por debajo de la frecuencia de corte, determinada por su constante de tiempo RC , es mínima. Para señales de corriente, un circuito similar, que utiliza una resistencia y un condensador en paralelo , funciona de manera parecida. (Véase el divisor de corriente, que se describe con más detalle más adelante ).

Los filtros electrónicos de paso bajo se utilizan en las entradas de subwoofers y otros tipos de altavoces para bloquear los tonos agudos que no pueden reproducir con eficacia. Los transmisores de radio utilizan filtros de paso bajo para bloquear las emisiones armónicas que podrían interferir con otras comunicaciones. El control de tono de muchas guitarras eléctricas es un filtro de paso bajo que se utiliza para reducir la cantidad de agudos en el sonido. Un integrador es otro filtro de paso bajo de constante de tiempo . ^{[ 2 ]}

Las líneas telefónicas equipadas con divisores DSL utilizan filtros de paso bajo para separar las señales DSL de las POTS (y de paso alto viceversa), que comparten el mismo par de cables ( canal de transmisión ). ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Los filtros de paso bajo también desempeñan un papel importante en la configuración del sonido creado por los sintetizadores analógicos y virtuales . Véase síntesis sustractiva .

Se utiliza un filtro de paso bajo como filtro anti-aliasing antes del muestreo y para la reconstrucción en la conversión digital-analógica .

Filtros ideales y reales

Respuesta en frecuencia de ganancia-magnitud de un filtro paso bajo de primer orden (un polo). La *ganancia de potencia* se muestra en decibelios (es decir, una disminución de 3 dB refleja una ganancia adicional). ${\textstyle 1/{\sqrt {2}}}$ atenuación). La frecuencia angular se muestra en una escala logarítmica en unidades de radianes por segundo.

Un filtro paso bajo ideal elimina por completo todas las frecuencias superiores a la frecuencia de corte , dejando pasar sin cambios las inferiores; su respuesta en frecuencia es una función rectangular y se trata de un filtro de pared de ladrillo . La región de transición presente en los filtros prácticos no existe en un filtro ideal. Un filtro paso bajo ideal puede implementarse matemáticamente (teóricamente) multiplicando una señal por la función rectangular en el dominio de la frecuencia o, equivalentemente, mediante la convolución con su respuesta impulsional , una función sinc , en el dominio del tiempo.

Sin embargo, el filtro ideal es imposible de implementar sin contar con señales de duración infinita, por lo que generalmente se requiere una aproximación para señales reales en curso, ya que la región de soporte de la función sinc abarca todo el tiempo pasado y futuro. Por lo tanto, el filtro necesitaría un retardo infinito, o el conocimiento del futuro y el pasado infinitos, para realizar la convolución. Es factible implementarlo para señales digitales pregrabadas asumiendo extensiones de cero hacia el pasado y el futuro, o, más comúnmente, haciendo que la señal sea repetitiva y utilizando el análisis de Fourier.

Los filtros reales para aplicaciones en tiempo real aproximan el filtro ideal truncando y aplicando una ventana a la respuesta impulsional infinita para obtener una respuesta impulsional finita . La aplicación de este filtro requiere retrasar la señal durante un período de tiempo moderado, lo que permite que el cálculo anticipe ligeramente el futuro. Este retraso se manifiesta como un desfase . Una mayor precisión en la aproximación requiere un retraso mayor.

La truncación de un filtro paso bajo ideal produce artefactos de oscilación debido al fenómeno de Gibbs , que pueden reducirse o agravarse mediante la elección de la función de ventana. El diseño y la selección de filtros reales implican comprender y minimizar estos artefactos. Por ejemplo, una simple truncación de la función sinc genera graves artefactos de oscilación, que pueden reducirse utilizando funciones de ventana con una atenuación más suave en los bordes. ^{[ 5 ]}

Tiempo de respuesta

La respuesta temporal de un filtro paso bajo se obtiene resolviendo la respuesta del filtro RC paso bajo simple.

Utilizando las leyes de Kirchhoff llegamos a la ecuación diferencial ^{[ 6 ].}

v_{\text{out}}(t)=v_{\text{in}}(t)-RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}

Ejemplo de respuesta de entrada escalón

Si dejamos $v_{\text{en}}(t)$ ser una función escalón de magnitud $V_{i}$ entonces la ecuación diferencial tiene la solución ^{[ 7 ]}

v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t}),

dónde $\omega _{0}={1 \over RC}$ es la frecuencia de corte del filtro.

Respuesta en frecuencia

La forma más común de caracterizar la respuesta en frecuencia de un circuito es encontrar su función de transferencia de transformada de Laplace ^{[ 6 ] .} $H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}$ . Aplicando la transformada de Laplace a nuestra ecuación diferencial y resolviendo para $H(s)$ obtenemos

H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}={\omega _{0} \over s+\omega _{0}}

Ecuación de diferencias mediante muestreo en tiempo discreto

Una ecuación de diferencias discretas se obtiene fácilmente muestreando la respuesta de entrada escalón anterior a intervalos regulares de $nT$ dónde $n=0,1,...$ y $T$ es el tiempo entre muestras. Tomando la diferencia entre dos muestras consecutivas tenemos

v_{\rm {out}}(nT)-v_{\rm {out}}((n-1)T)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}nT})-V_{i}(1-e^{-\omega _{0}((n-1)T)})

Resolver para $v_{\rm {out}}(nT)$ obtenemos

v_{\rm {out}}(nT)=\beta v_{\rm {out}}((n-1)T)+(1-\beta )V_{i}

Dónde $\beta =e^{-\omega _{0}T}$

Utilizando la notación $V_{n}=v_{\rm {out}}(nT)$ y $v_{n}=v_{\rm {in}}(nT)$ y sustituyendo nuestro valor muestreado, $v_{n}=V_{i}$ obtenemos la ecuación de diferencias

V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}

Análisis de errores

Comparando la señal de salida reconstruida a partir de la ecuación de diferencias, $V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}$ , a la respuesta de entrada escalón, $v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t})$ , encontramos que hay una reconstrucción exacta (0% de error). Esta es la salida reconstruida para una entrada invariante en el tiempo. Sin embargo, si la entrada es variable en el tiempo , como $v_{\text{in}}(t)=V_{i}\sin(\omega t)$ Este modelo aproxima la señal de entrada como una serie de funciones escalón con duración $T$ produciendo un error en la señal de salida reconstruida. El error producido por entradas variables en el tiempo es difícil de cuantificar , pero disminuye a medida que $T\rightarrow 0$ .

Realización en tiempo discreto

Muchos filtros digitales están diseñados para ofrecer características de paso bajo. Se utilizan ampliamente tanto filtros de paso bajo con respuesta de impulso infinita como con respuesta de impulso finita , así como filtros que utilizan transformadas de Fourier .

Filtro simple de respuesta de impulso infinita

El efecto de un filtro paso bajo con respuesta de impulso infinita se puede simular en un ordenador analizando el comportamiento de un filtro RC en el dominio del tiempo y, a continuación, discretizando el modelo.

Según el diagrama de circuitos de la derecha, de acuerdo con las leyes de Kirchhoff y la definición de capacitancia :

dónde $Q_{c}(t)$ es la carga almacenada en el condensador en el instante $t$ . Sustituyendo la ecuación Q en la ecuación I se obtiene $i(t)\;=\;C{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}$ , que puede sustituirse en la ecuación V de modo que

v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}.

Esta ecuación se puede discretizar. Para simplificar, supongamos que se toman muestras de la entrada y la salida en puntos de tiempo igualmente espaciados, separados por $\Delta _{T}$ tiempo. Deje que las muestras de $v_{\text{in}}$ estar representado por la secuencia $(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ y dejar $v_{\text{out}}$ estar representado por la secuencia $(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})$ , que corresponden a los mismos puntos en el tiempo. Haciendo estas sustituciones,

x_{i}-y_{i}=RC\,{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}.

Reorganizando los términos se obtiene la relación de recurrencia.

y_{i}=\overbrace {x_{i}\left({\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Input contribution}}+\overbrace {y_{i-1}\left({\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Inertia from previous output}}.

Es decir, esta implementación en tiempo discreto de un filtro paso bajo RC simple es la media móvil ponderada exponencialmente.

{\displaystyle y_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )y_{i-1}\qquad {\text{where}}\qquad \alpha

Por definición, el factor de suavizado está dentro del rango $0\;\leq \;\alpha \;\leq \;1$ La expresión para $α$ produce la constante de tiempo equivalente $RC$ en términos del período de muestreo. $\Delta _{T}$ y factor de suavizado $α$ ,

RC=\Delta _{T}\left({\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right).

Recordando que

f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}

entonces

RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}},

nota $α$ y $f_{c}$ están relacionados por,

\alpha ={\frac {2\pi \Delta _{T}f_{c}}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}

y

f_{c}={\frac {\alpha }{(1-\alpha )2\pi \Delta _{T}}}.

Si $α$ = 0,5, entonces la constante de tiempo RC es igual al período de muestreo. Si $\alpha \;\ll \;0.5$ , entonces RC es significativamente mayor que el intervalo de muestreo, y $\Delta _{T}\;\approx \;\alpha RC$ .

La relación de recurrencia del filtro proporciona una forma de determinar las muestras de salida en función de las muestras de entrada y la salida precedente. El siguiente algoritmo en pseudocódigo simula el efecto de un filtro de paso bajo sobre una serie de muestras digitales:

// Devuelve muestras de salida del filtro paso bajo RC, dadas las muestras de entrada, // intervalo de tiempo dt y constante de tiempo RC función lowpass( real[1..n] x, real dt, real RC) var real[1..n] y var real α := dt / (RC + dt) y[1] := α * x[1] para i desde 2 hasta n y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1] regresar y

El bucle que calcula cada una de las n salidas se puede refactorizar en el equivalente:

para i desde 2 hasta n y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1])

Es decir, el cambio de una salida de filtro a la siguiente es proporcional a la diferencia entre la salida anterior y la siguiente entrada. Esta propiedad de suavizado exponencial coincide con el decaimiento exponencial observado en el sistema de tiempo continuo. Como era de esperar, a medida que aumenta la constante de tiempo RC , el parámetro de suavizado de tiempo discreto $\alpha$ disminuye y las muestras de salida $(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})$ responden más lentamente a un cambio en las muestras de entrada. $(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ ; el sistema tiene más inercia . Este filtro es un filtro paso bajo de un solo polo con respuesta de impulso infinita (IIR).

Respuesta de impulso finita

Se pueden construir filtros de respuesta de impulso finito que aproximen la respuesta en el dominio del tiempo de la función sinc de un filtro paso bajo ideal de corte abrupto. Para una distorsión mínima, el filtro de respuesta de impulso finito tiene un número ilimitado de coeficientes que operan sobre una señal ilimitada. En la práctica, la respuesta en el dominio del tiempo debe truncarse y suele tener una forma simplificada; en el caso más simple, se puede usar un promedio móvil , lo que da como resultado una respuesta en el tiempo cuadrada. ^{[ 8 ]}

transformada de Fourier

Para el filtrado no en tiempo real, para lograr un filtro de paso bajo, generalmente se toma la señal completa como una señal en bucle, se aplica la transformada de Fourier, se filtra en el dominio de la frecuencia y, finalmente, se realiza una transformada inversa de Fourier. Solo se requieren O(n log(n)) operaciones en comparación con O(n² ⁾ para el algoritmo de filtrado en el dominio del tiempo.

Esto también puede hacerse en tiempo real, donde la señal se retrasa lo suficiente como para realizar la transformada de Fourier en bloques más cortos y superpuestos.

Realización en tiempo continuo

{\displaystyle \omega _{0}=1} — Gráfico de la ganancia de los filtros paso bajo de Butterworth de órdenes 1 a 5, con frecuencia de corte $\omega _{0}=1$ . Tenga en cuenta que la pendiente es 20 n dB/década, donde n es el orden del filtro.

Existen diversos tipos de circuitos de filtrado, con distintas respuestas a los cambios de frecuencia. La respuesta en frecuencia de un filtro se representa generalmente mediante un diagrama de Bode , y se caracteriza por su frecuencia de corte y su atenuación . En todos los casos, en la frecuencia de corte, el filtro atenúa la potencia de entrada a la mitad, es decir, en 3 dB. Por lo tanto, el orden del filtro determina la cantidad de atenuación adicional para frecuencias superiores a la frecuencia de corte.

Un filtro de primer orden , por ejemplo, reduce la amplitud de la señal a la mitad (por lo que la potencia se reduce en un factor de 4, o 6 dB) cada vez que la frecuencia se duplica (sube una octava ); más precisamente, la atenuación de potencia se aproxima a 20 dB por década en el límite de alta frecuencia. El diagrama de Bode de magnitud para un filtro de primer orden se ve como una línea horizontal por debajo de la frecuencia de corte y una línea diagonal por encima de la frecuencia de corte. También hay una "curva de rodilla" en el límite entre las dos, que transiciona suavemente entre las dos regiones de línea recta. Si la función de transferencia de un filtro paso bajo de primer orden tiene un cero además de un polo , el diagrama de Bode se aplana nuevamente, en cierta atenuación máxima de altas frecuencias; tal efecto es causado, por ejemplo, por una pequeña fuga de entrada alrededor del filtro de un polo; este filtro de un polo y un cero sigue siendo un filtro paso bajo de primer orden. Véase Diagrama de polo-cero y circuito RC .
Un filtro de segundo orden atenúa las altas frecuencias de forma más pronunciada. El diagrama de Bode para este tipo de filtro se asemeja al de un filtro de primer orden, excepto que la atenuación es más rápida. Por ejemplo, un filtro Butterworth de segundo orden reduce la amplitud de la señal a una cuarta parte de su nivel original cada vez que la frecuencia se duplica (por lo que la potencia disminuye en 12 dB por octava, o 40 dB por década). Otros filtros de segundo orden con todos los polos pueden atenuarse inicialmente a diferentes velocidades dependiendo de su factor Q , pero se aproximan a la misma velocidad final de 12 dB por octava; al igual que con los filtros de primer orden, los ceros en la función de transferencia pueden cambiar la asíntota de alta frecuencia. Véase el circuito RLC .
Los filtros de tercer orden y superiores se definen de forma similar. En general, la tasa final de atenuación de potencia para un filtro de polos de orden $n es de 6$ $n$ dB por octava (20 $n$ dB por década).

En cualquier filtro Butterworth, si se extiende la línea horizontal hacia la derecha y la diagonal hacia la parte superior izquierda (las asíntotas de la función), se intersecan exactamente en la frecuencia de corte , 3 dB por debajo de la línea horizontal. Los distintos tipos de filtros ( filtro Butterworth , filtro Chebyshev , filtro Bessel , etc.) presentan curvas de inflexión de aspecto diferente . Muchos filtros de segundo orden tienen un pico o resonancia que sitúa su respuesta en frecuencia por encima de la línea horizontal en dicho pico.

Los significados de «bajo» y «alto» —es decir, la frecuencia de corte— dependen de las características del filtro. El término «filtro de paso bajo» simplemente se refiere a la forma de su respuesta; se podría construir un filtro de paso alto con una frecuencia de corte inferior a la de cualquier filtro de paso bajo; es su respuesta lo que los diferencia. Se pueden diseñar circuitos electrónicos para cualquier rango de frecuencia deseado, hasta frecuencias de microondas (superiores a 1 GHz) e incluso superiores.

notación de Laplace

Los filtros de tiempo continuo también pueden describirse mediante la transformada de Laplace de su respuesta impulsional , lo que facilita el análisis de todas sus características al considerar el patrón de polos y ceros de dicha transformada en el plano complejo. (En tiempo discreto, se puede considerar de forma similar la transformada Z de la respuesta impulsional).

Por ejemplo, un filtro paso bajo de primer orden puede describirse mediante la función de transferencia de tiempo continuo , en el dominio de Laplace , como:

H(s)={\frac {\text{Output}}{\text{Input}}}=K{\frac {1}{\tau s+1}}=K{\frac {\alpha }{s+\alpha }}

donde H es la función de transferencia, s es la variable de la transformada de Laplace (frecuencia angular compleja), τ es la constante de tiempo del filtro , $\alpha$ es la frecuencia de corte, y K es la ganancia del filtro en la banda de paso . La frecuencia de corte está relacionada con la constante de tiempo mediante:

\alpha ={1 \over \tau }

Filtros electrónicos de paso bajo

Pasiva de primer orden

Filtro RC

Un circuito de filtro paso bajo simple consta de una resistencia en serie con una carga y un condensador en paralelo con la carga. El condensador presenta reactancia y bloquea las señales de baja frecuencia, forzándolas a pasar a través de la carga. A frecuencias más altas, la reactancia disminuye y el condensador funciona efectivamente como un cortocircuito. La combinación de resistencia y capacitancia da la constante de tiempo del filtro. $\tau \;=\;RC$ (representada por la letra griega tau ). La frecuencia de ruptura, también llamada frecuencia de rotación, frecuencia de esquina o frecuencia de corte (en hercios), está determinada por la constante de tiempo:

f_{\mathrm {c} }={1 \over 2\pi \tau }={1 \over 2\pi RC}

o equivalentemente (en radianes por segundo):

\omega _{\mathrm {c} }={1 \over \tau }={1 \over RC}

Este circuito puede entenderse considerando el tiempo que necesita el condensador para cargarse o descargarse a través de la resistencia:

A bajas frecuencias, el condensador tiene tiempo suficiente para cargarse hasta alcanzar prácticamente el mismo voltaje que el voltaje de entrada.
A altas frecuencias, el condensador solo tiene tiempo de cargarse ligeramente antes de que la entrada cambie de dirección. La salida varía solo una pequeña fracción de la variación de la entrada. Al doble de frecuencia, solo tiene tiempo para cargarse a la mitad.

Otra forma de entender este circuito es a través del concepto de reactancia a una frecuencia determinada:

Dado que la corriente continua (CC) no puede fluir a través del condensador, la entrada de CC debe fluir por la ruta marcada. $V_{\mathrm {out} }$ (análogo a la extracción del condensador).
Dado que la corriente alterna (CA) fluye muy bien a través del condensador, casi tan bien como fluye a través de un cable sólido, la entrada de CA sale a través del condensador, cortocircuitando efectivamente a tierra (análogo a reemplazar el condensador con solo un cable).

El condensador no es un objeto de tipo "encendido/apagado" (como en la explicación anterior sobre el bloqueo o el paso de fluidos). Su comportamiento varía entre estos dos extremos. El diagrama de Bode y la respuesta en frecuencia son los que muestran esta variabilidad.

Filtro RL

Un circuito resistor-inductor o filtro RL es un circuito eléctrico compuesto por resistores e inductores alimentados por una fuente de voltaje o corriente . Un circuito RL de primer orden está compuesto por un resistor y un inductor, y es el tipo más simple de circuito RL.

Un circuito RL de primer orden es uno de los filtros electrónicos analógicos de respuesta de impulso infinita más simples . Consta de una resistencia y un inductor , ya sea en serie alimentados por una fuente de tensión o en paralelo alimentados por una fuente de corriente.

Pasiva de segundo orden

Filtro RLC

Un circuito RLC (las letras R, L y C pueden estar en un orden diferente) es un circuito eléctrico compuesto por una resistencia , un inductor y un condensador , conectados en serie o en paralelo. La denominación RLC se debe a que estas letras son los símbolos eléctricos habituales para resistencia , inductancia y capacitancia , respectivamente. El circuito forma un oscilador armónico para la corriente y resonará de forma similar a un circuito LC . La principal diferencia que supone la presencia de la resistencia es que cualquier oscilación inducida en el circuito se atenúa con el tiempo si no se mantiene mediante una fuente. Este efecto de la resistencia se denomina amortiguación . La presencia de la resistencia también reduce ligeramente la frecuencia de resonancia máxima. Cierta resistencia es inevitable en los circuitos reales, incluso si no se incluye específicamente una resistencia como componente. Un circuito LC ideal y puro es una abstracción con fines teóricos.

Este circuito tiene numerosas aplicaciones. Se utiliza en diversos tipos de circuitos osciladores . Otra aplicación importante es la sintonización , por ejemplo, en receptores de radio o televisores , donde se emplea para seleccionar un rango estrecho de frecuencias de las ondas de radio ambientales. En este caso, el circuito se denomina a menudo circuito sintonizado. Un circuito RLC puede utilizarse como filtro paso banda , filtro rechaza banda , filtro paso bajo o filtro paso alto . El filtro RLC se describe como un circuito de segundo orden , lo que significa que cualquier voltaje o corriente en el circuito puede describirse mediante una ecuación diferencial de segundo orden en el análisis de circuitos.

Filtro paso bajo de segundo orden en formato estándar

La función de transferencia $H_{LP}(f)$ La respuesta de un filtro paso bajo de segundo orden se puede expresar como una función de la frecuencia. $f$ como se muestra en la ecuación 1, la forma estándar del filtro paso bajo de segundo orden.

H_{LP}(f)=-{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f_{c}^{2}+{\frac {1}{Q}}\cdot jf_{FSF}\cdot f_{c}+1}}\quad (1)

En esta ecuación, $f$ es la variable de frecuencia, $f_{c}$ es la frecuencia de corte, $f_{FSF}$ es el factor de escala de frecuencia, y $Q$ es el factor de calidad. La ecuación 1 describe tres regiones de operación: por debajo del punto de corte, en la zona de corte y por encima del punto de corte. Para cada zona, la ecuación 1 se reduce a:

$f\ll f_{c}$ : $H_{LP}(f)\approx K$ - El circuito transmite señales multiplicadas por el factor de ganancia. $K$ .
${\frac {f}{f_{c}}}=f_{FSF}$ : $H_{LP}(f)=jKQ$ - Las señales se desfasan 90° y se modifican mediante el factor de calidad. $Q$ .
$f\gg f_{c}$ : $H_{LP}(f)\approx -{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f^{2}}}$ - Las señales se desfasan 180° y se atenúan en el cuadrado de la relación de frecuencias. Este comportamiento se detalla en "Active Low-Pass Filter Design" (Texas Instruments, 2023) por Jim Karki. ^{[ 9 ]}

Con atenuación en frecuencias superiores $f_{c}$ Al aumentar en una potencia de dos, la última fórmula describe un filtro paso bajo de segundo orden. El factor de escala de frecuencia $f_{FSF}$ Se utiliza para ajustar la frecuencia de corte del filtro de manera que cumpla con las definiciones dadas anteriormente.

Filtros pasivos de orden superior

También se pueden construir filtros pasivos de orden superior (véase el diagrama para un ejemplo de tercer orden).

Un filtro paso bajo de tercer orden ( _topologíade Cauer ). El filtro se convierte en un filtro Butterworth con frecuencia de corte ωc = 1 cuando (por ejemplo) C2 ₌ 4/3 faradios, R4 ₌ 1 ohmio, L1 ₌ 3/2 henrios y L3 ₌ 1/2 henrios.

Primer orden activo

Un filtro paso bajo activo añade un dispositivo activo para crear un filtro activo que permite la ganancia en la banda de paso.

En el circuito amplificador operacional que se muestra en la figura, la frecuencia de corte (en hercios ) se define como:

f_{\text{c}}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}

o equivalentemente (en radianes por segundo):

\omega _{\text{c}}={\frac {1}{R_{2}C}}

La ganancia en la banda de paso es − R ₂ / R ₁ , y la banda de rechazo cae a −6 dB por octava (es decir −20 dB por década) ya que es un filtro de primer orden.

Véase también

Referencias

1 2 Información sobre filtros de paso largo y filtros de paso corto , consultado el 4 de octubre de 2017.
↑ Sedra, Adel ; Smith, Kenneth C. (1991). Circuitos microelectrónicos, 3.ª ed . Saunders College Publishing. pág . 60. ISBN 0-03-051648-X.
↑ "Filtros ADSL explicados" . Epanorama.net . Consultado el 24 de septiembre de 2013 .
↑ "Redes domésticas – Red de área local" . Pcweenie.com. 12 de abril de 2009. Archivado del original el 27 de septiembre de 2013. Consultado el 24 de septiembre de 2013 .
↑ Dominando Windows: Mejorando la reconstrucción
1 2 Hayt, William H. Jr. y Kemmerly, Jack E. (1978). Análisis de circuitos de ingeniería . Nueva York: McGRAW-HILL BOOK COMPANY. págs. 211–224 , 684–729 . {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
↑ Boyce, William y DiPrima, Richard (1965). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera . Nueva York: JOHN WILEY & SONS. págs. 11–24 . {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
↑ Whilmshurst, TH (1990) Recuperación de señales a partir del ruido en instrumentación electrónica. ISBN 9780750300582
↑ Diseño de filtro paso bajo activo" (Texas Instruments, 2023)

Enlaces externos

Simulador Java de filtro de paso bajo
ECE 209: Repaso de circuitos como sistemas LTI , una breve introducción al análisis matemático de sistemas LTI (eléctricos).
ECE 209: Fuentes de desfase , una explicación intuitiva de la fuente de desfase en un filtro paso bajo. También verifica la función de transferencia de un filtro paso bajo pasivo simple mediante una identidad trigonométrica.
Generador de código C para la implementación digital de los filtros Butterworth, Bessel y Chebyshev, creado por el difunto Dr. Tony Fisher de la Universidad de York (York, Inglaterra).

[globalspec.com-1] 1 2 Información sobre filtros de paso largo y filtros de paso corto , consultado el 4 de octubre de 2017.

[2] Sedra, Adel ; Smith, Kenneth C. (1991). Circuitos microelectrónicos, 3.ª ed . Saunders College Publishing. pág . 60. ISBN 0-03-051648-X.

[3] "Filtros ADSL explicados" . Epanorama.net . Consultado el 24 de septiembre de 2013 .

[4] "Redes domésticas – Red de área local" . Pcweenie.com. 12 de abril de 2009. Archivado del original el 27 de septiembre de 2013. Consultado el 24 de septiembre de 2013 .

[5] Dominando Windows: Mejorando la reconstrucción

[:0-6] 1 2 Hayt, William H. Jr. y Kemmerly, Jack E. (1978). Análisis de circuitos de ingeniería . Nueva York: McGRAW-HILL BOOK COMPANY. págs. 211–224 , 684–729 . {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

[7] Boyce, William y DiPrima, Richard (1965). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera . Nueva York: JOHN WILEY & SONS. págs. 11–24 . {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

[8] Whilmshurst, TH (1990) Recuperación de señales a partir del ruido en instrumentación electrónica. ISBN 9780750300582

[9] Diseño de filtro paso bajo activo" (Texas Instruments, 2023)

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